给你一个数列 7, 3, 10, 12, 5, 1, 9，要求能够高效的完成对数据的查询和添加。
在 为什么需要树这种数据结构 中讲解了数组、链表数据结构的优缺点，简单说：
-
数组访问快，增删慢
新增或移除时，需要整体移动数据
-
链表增删快，访问慢
只能从头开始遍历查找
那么利用 二叉排序树（Binary Sort/Search Tree），既可以保证数据的检索速度，同时也可以保证数据的插入、删除、修改 的速度
二叉排序树介绍
二叉排序树（Binary Sort/Search Tree），简称 BST ，又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树。。
对于二叉排序树的任何一个 非叶子节点，要求如下：
- 左节点，比父节点
小 - 右节点，比父节点
大
特殊说明：如果有相同的值，可以将该节点放在左节点或右节点。当然，最理想的是没有重复的值，比如 Mysql 中的 B 树索引，就是以主键 ID 来排序的。
创建二叉排序树的动图：
比如对下面这个二叉排序树增加一个节点：
- 从根节点开始，发现比 7 小，直接往左子树查找，相当于直接折半了
- 比 3 小，再次折半
- 比 1 大：直接挂在 1 的右节点
这里提出一个疑问，如果添加元素为 4，不是应该挂在 3 的右侧吗？带着这个疑问往下看。
创建与遍历
在我前面的博客中讲解了很多的二叉树知识点，添加和遍历相对简单（如果不懂的就去学习前面的知识再来看，就简单很多了），下面直接上代码
/**
* 二叉排序树
*/
public class BinarySortTreeTest {
/**
* 二叉排序树 添加和遍历 测试
*/
@Test
public void addTest() {
BinarySortTree tree = new BinarySortTree();
int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
tree.add(new Node(arr[i]));
}
tree.infixOrder();
int item = 2;
tree.add(new Node(item));
System.out.println("\n添加新节点：" + item + " 到二叉排序树中");
System.out.println("添加之后的中序顺序：");
tree.infixOrder();
item = 4;
tree.add(new Node(item));
System.out.println("\n添加新节点：" + item + " 到二叉排序树中");
System.out.println("添加之后的中序顺序：");
tree.infixOrder();
}
}
/**
* 排序二叉树
*/
class BinarySortTree {
Node root;
/**
* 添加节点
*
* @param node
*/
public void add(Node node) {
if (root == null) {
root = node;
return;
}
root.add(node);
}
/**
* 中序遍历
*/
public void infixOrder() {
if (root == null) {
return;
}
root.infixOrder();
}
}
/**
* 节点类
*/
class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
/**
* 添加节点：按照二叉排序树的要求添加
*
* @param node
*/
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 如果添加的值小于当前节点，则往左走
if (node.value < this.value) {
// 左节点为空，则直接挂在上面
if (this.left == null) {
this.left = node;
} else {
// 否则继续往下查找
this.left.add(node);
}
} else {
// 往右走
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
this.right.add(node);
}
}
}
/**
* 中序遍历：刚好是从小到大的顺序
*/
public void infixOrder() {
if (this.left != null) {
left.infixOrder();
}
System.out.println(this.value);
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
}
输出测试
1
3
5
7
9
10
12
添加新节点：2 到二叉排序树中
添加之后的中序顺序：
1
2
3
5
7
9
10
12
添加新节点：4 到二叉排序树中
添加之后的中序顺序：
1
2
3
4
5
7
9
10
12
现在来回答这个疑问，如果添加元素为 4，不是应该挂在 3 的右侧吗？
看输出结果，没有做任何的判定，对于 中序来说就是从小到大的输出，所以这里针对的是 某一棵子树，是如下规则：
对于二叉排序树的任何一个 非叶子节点，要求如下：
- 左节点，比父节点小
- 右节点，比父节点大
所以并不需要针对已经存在的节点进行调整。
删除（重点）
由于节点只有 left 和 right，是单向节点，要删除一个节点：
-
先找到这个要删除 目标节点
-
找到这个目标节点的 父节点
只有一种情况没有父节点，那就是目标节点就是 root 节点
找到父节点之后，我们才可以删掉目标节点，那么就有如下三种情况需要考虑：
-
目标节点是 叶子节点
①如果目标节点是 父节点的 left 节点，那么父节点的 left 置空
②如果目标节点是 父节点的 right 节点，那么父节点的 rigt 置空
-
目标节点是 有一个子节点 left 或则 right 的树，那么就需要将目标节点的子节点提升到目标节点位置上
①如果目标节点是 父节点 的 left 节点，那么将目标节点的 left 或 right 节点设置为 父节点的 left 节点
②如果目标节点是 父节点 的 right 节点，那么将目标节点的 left 或 right 节点设置为父节点的 right 节点
简单说：因为目标节点有一子节点，将目标节点删除，将目标节点的子节点放到被删除的位置上。
-
目标节点有 两个子节点
-
以目标节点为根节点，往右子树的，左子树一直 找到最小的节点，删除它，并持有它（保存它）
为什么要这么操作呢？原因是二叉排序树的规则是 左节点，比父节点
小，右节点，比父节点大，因此树的左边的数是恒小于右边的数的，所以你找左边树的最小的值替换到要删除的目标节点是符合排序树的规则的。注意！！不一定是找到左子树中的一个 叶子节点，这一点一定要明白 -
把 目标节点 从 父节点 的 left 或 right 中删掉（说是删掉实则替换）
①删掉的位置：替换上第 1 步中删掉的最小节点。
②将 最小节点的 left 和 right 节点 重置为 目标节点的 left 和 right 节点
如上图所示：目标节点是 10
1. 先往右侧为起点：12 2. 再往左侧找，且一直往左侧找（也就是找最小）：11，这个时候 11 的左已经为空了，那么 11 就是最小节点 3. 用临时变量保存 11 这个节点，并删除 4. 将 10 删掉（用 11 这个节点替换该节点） 4. 将 11 挂在原来 10 的位置 -
动图演示：
以上描述注意事项：
-
省略了需要判断目标节点是父的 left 还是 right 节点，因为涉及到你删除的时候，置空的是 父节点的 left 还是 right；这一步算是一个公共的描述步骤吧，重置的时候都需要，记得写代码的时候需要判断下。
-
当要删除的节点是：「有两个子节点」和「只有一个子节点」的时候，要考虑到要删除的是否是 root 节点，如果不做考虑，当要删除的是 root 节点，直接操作「父节点」就会空指针异常。 这一点要注意到！！！
/**
* 二叉排序树
*/
public class BinarySortTreeTest {
/**
* 删除：叶子节点
*/
@Test
public void delete1() {
System.out.println("\n\n删除叶子节点：2，5，9，12");
BinarySortTree tree = new BinarySortTree();
int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
tree.add(new Node(arr[i]));
}
tree.infixOrder();
// 当只实现了删除叶子节点时，这步骤是删除不成功的
// tree.delete(1);
// System.out.println("删除非叶子节点后的内容：");
// tree.infixOrder();
tree.delete(2);
tree.delete(5);
tree.delete(9);
tree.delete(12);
System.out.println("删除后的内容：");
tree.infixOrder();
}
/**
* 删除：只有一颗叶子节点的节点
*/
@Test
public void delete2() {
System.out.println("\n\n只有一颗叶子节点的节点：1");
BinarySortTree tree = new BinarySortTree();
int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
tree.add(new Node(arr[i]));
}
tree.infixOrder();
tree.delete(1);
System.out.println("删除后的内容：");
tree.infixOrder();
}
/**
* 删除：有两颗子节点的 节点
*/
@Test
public void delete3() {
System.out.println("\n\n有两颗子节点的节点: 10");
BinarySortTree tree = new BinarySortTree();
int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
tree.add(new Node(arr[i]));
}
tree.infixOrder();
tree.delete(10);
System.out.println("删除节点后的内容：");
tree.infixOrder();
}
/**
* 删除 root 节点
*/
@Test
public void deleteRoot() {
System.out.println("\n\n删除 root 节点:7");
BinarySortTree tree = new BinarySortTree();
int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
tree.add(new Node(arr[i]));
}
tree.infixOrder();
tree.delete(7);
System.out.println("删除节点后的内容：");
tree.infixOrder();
}
/**
* 排序二叉树
*/
class BinarySortTree {
Node root;
/**
* 添加节点
*
* @param node
*/
public void add(Node node) {
if (root == null) {
root = node;
return;
}
root.add(node);
}
/**
* 中序遍历
*/
public void infixOrder() {
if (root == null) {
return;
}
root.infixOrder();
}
/**
* 查找目标节点
*
* @param value
* @return
*/
public Node searchTarget(int value) {
if (root == null) {
return null;
}
return root.searchTarget(value);
}
/**
* 查找目标节点的父节点
*
* @param value
* @return
*/
public Node searchParent(int value) {
if (root == null) {
return null;
}
if (root.value == value) {
return null;
}
return root.searchParent(value);
}
/**
* 删除节点
*
* 注意：删除节点的思路是找到 目标节点 和 父节点，利用这两个节点就可以完成删除了，
* 而不是去递归查找的。这一点需要明白，而且很重要。否则你将不知道递归如何写
*
*
* @param value
*/
public void delete(int value) {
if (root == null) {
return;
}
Node target = searchTarget(value);
// 如果没有找到目标节点，则返回
if (target == null) {
return;
}
// 如果找到了节点
// 并且，root 没有子节点，则说明当前只有 root 一个节点，而且root就是目标节点
if (root.left == null && root.right == null) {
root = null;
return;
}
//找目标节点的父节点
Node parent = searchParent(value);
// 1. 如果目标节点是叶子节点
if (target.left == null && target.right == null) {
// 如果目标节点是 父节点的 左节点
if (parent.left != null && target.value == parent.left.value) {
parent.left = null;
return;
}
// 如果目标节点是 父节点的 右节点
if (parent.right != null && target.value == parent.right.value) {
parent.right = null;
return;
}
}
// 2. 如果目标节点有两个子节点
else if (target.left != null && target.right != null) {
// 1. 以目标节点为 root 节点，往右子树的左子树中找最小的节点，用临时变量保存，并删掉；
// 2. 并把目标节点使用这个最小节点替换掉
// 可以有一个更简单的方式实现，删掉最小节点之后，直接将目标节点的 value 值替换为最小节点的值。 下面的实现没有采用替换值的方式，而是采用替换节点的方式，看起来就麻烦一点，但这个方法是适合很多场景的。
// 以目标节点为 root 节点，往右子树的左子树中找最小的节点，用临时变量保存，并删掉；注意！！不一定是找到左子树中的一个 叶子节点，这一点一定要明白
Node min = deleteRightTreeMin(target);
// 如果删除的是 root 节点，全程不要操作 parent
if (parent == null) {
root = min;
min.right = target.right;
min.left = target.left;
return;
}
// 如果是父节点的 左节点
if (parent.left != null && target.value == parent.left.value) {
parent.left = min;
min.right = target.right;
min.left = target.left;
return;
}
// 如果是父节点的 右节点
if (parent.right != null && target.value == parent.right.value) {
parent.right = min;
min.right = target.right;
min.left = target.left;
return;
}
}
// 3. 如果目标节点有 1 个子节点
else {
// 注意！！！如果删除的是 root 节点，全程不要操作 parent，否则会出现空指针异常
// 由于目标节点有一个节点，先拿到这个要替换掉目标节点的 节点
Node replaceNode = null;
// 要替换的节点，由于只有一个，不是左就是右
if (target.left != null) {
replaceNode = target.left;
} else {
replaceNode = target.right;
}
// 如果要删除的是 root 节点
if (parent == null) {
root = replaceNode;
return;
}
// 如果是父节点的 左节点
if (parent.left != null && target.value == parent.left.value) {
parent.left = replaceNode;
return;
}
if (parent.right != null && target.value == parent.right.value) {
parent.right = replaceNode;
}
}
return;
}
/**
* 以目标节点为 root 节点，找到左子树中最小的节点，并删掉；也就是找到左子树中的一个 叶子节点
*
* @param target
* @return
*/
private Node deleteRightTreeMin(Node target) {
Node min = target.right;
while (min.left != null) {
min = min.left;
}
delete(min.value);
return min;
}
}
}
/**
* 节点
*/
class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
/**
* 搜索目标节点
*
* @param value
* @return
*/
public Node searchTarget(int value) {
if (value == this.value) {
return this;
} else if (value < this.value) {
if (left != null) {
return left.searchTarget(value);
}
} else {
if (right != null) {
return right.searchTarget(value);
}
}
return null;
}
/**
* 查找目标值的父节点
*
* @param value
* @return
*/
public Node searchParent(int value) {
// 本节点能匹配到左右两节点其中一个等于，则父节点是本节点
if (left != null && left.value == value
|| right != null && right.value == value
) {
return this;
}
if (value < this.value && left != null) {
return left.searchParent(value);
}
if (value >= this.value && right != null) {
return right.searchParent(value);
}
return null;
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"value=" + value +
'}';
}
}
测试输出
删除叶子节点：2，5，9，12
1
2
3
5
7
9
10
12
删除后的内容：
1
3
7
10
只有一颗叶子节点的节点：1
1
2
3
5
7
9
10
12
删除后的内容：
2
3
5
7
9
10
12
有两颗子节点的节点: 10
1
2
3
5
7
9
10
12
删除节点后的内容：
1
2
3
5
7
9
12
删除 root 节点:7
1
2
3
5
7
9
10
12
删除节点后的内容：
1
2
3
5
9
10
12
看懂上面的代码后再来看下面的完整代码。
完整代码
/**
* 二叉排序树
*/
public class BinarySortTreeTest {
/**
* 二叉排序树添加和遍历测试
*/
@Test
public void addTest() {
BinarySortTree tree = new BinarySortTree();
int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
tree.add(new Node(arr[i]));
}
tree.infixOrder();
int item = 2;
tree.add(new Node(item));
System.out.println("\n添加新节点：" + item + " 到二叉排序树中");
System.out.println("添加之后的中序顺序：");
tree.infixOrder();
item = 4;
tree.add(new Node(item));
System.out.println("\n添加新节点：" + item + " 到二叉排序树中");
System.out.println("添加之后的中序顺序：");
tree.infixOrder();
}
/**
* 删除：叶子节点
*/
@Test
public void delete1() {
System.out.println("\n\n删除叶子节点：2，5，9，12");
BinarySortTree tree = new BinarySortTree();
int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
tree.add(new Node(arr[i]));
}
tree.infixOrder();
// 当只实现了删除叶子节点时，这步骤是删除不成功的
// tree.delete(1);
// System.out.println("删除非叶子节点后的内容：");
// tree.infixOrder();
tree.delete(2);
tree.delete(5);
tree.delete(9);
tree.delete(12);
System.out.println("删除后的内容：");
tree.infixOrder();
}
/**
* 删除：只有一颗叶子节点的节点
*/
@Test
public void delete2() {
System.out.println("\n\n只有一颗叶子节点的节点：1");
BinarySortTree tree = new BinarySortTree();
int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
tree.add(new Node(arr[i]));
}
tree.infixOrder();
tree.delete(1);
System.out.println("删除后的内容：");
tree.infixOrder();
}
/**
* 删除：有两颗子节点的 节点
*/
@Test
public void delete3() {
System.out.println("\n\n有两颗子节点的节点: 10");
BinarySortTree tree = new BinarySortTree();
int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
tree.add(new Node(arr[i]));
}
tree.infixOrder();
tree.delete(10);
System.out.println("删除节点后的内容：");
tree.infixOrder();
}
/**
* 删除 root 节点
*/
@Test
public void deleteRoot() {
System.out.println("\n\n删除 root 节点:7");
BinarySortTree tree = new BinarySortTree();
int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
tree.add(new Node(arr[i]));
}
tree.infixOrder();
tree.delete(7);
System.out.println("删除节点后的内容：");
tree.infixOrder();
}
/**
* 排序二叉树
*/
class BinarySortTree {
Node root;
/**
* 添加节点
*
* @param node
*/
public void add(Node node) {
if (root == null) {
root = node;
return;
}
root.add(node);
}
/**
* 中序遍历
*/
public void infixOrder() {
if (root == null) {
return;
}
root.infixOrder();
}
/**
* 查找目标节点
*
* @param value
* @return
*/
public Node searchTarget(int value) {
if (root == null) {
return null;
}
return root.searchTarget(value);
}
/**
* 查找父节点
*
* @param value
* @return
*/
public Node searchParent(int value) {
if (root == null) {
return null;
}
if (root.value == value) {
return null;
}
return root.searchParent(value);
}
/**
* 删除节点
*
* 注意：删除节点的思路是找到 目标节点 和 父节点，利用这两个节点就可以完成删除了，
* 而不是去递归查找的。这一点需要明白，而且很重要。否则你将不知道递归如何写
*
*
* @param value
*/
public void delete(int value) {
if (root == null) {
return;
}
Node target = searchTarget(value);
// 如果没有找到目标节点，则返回
if (target == null) {
return;
}
// 如果找到了节点
// 并且，root 没有子节点了，则说明当前只有 root 一个节点，并且root是目标节点
if (root.left == null && root.right == null) {
root = null;
return;
}
Node parent = searchParent(value);
// 1. 如果目标节点是叶子节点
if (target.left == null && target.right == null) {
// 如果目标节点是 父节点的 左节点
if (parent.left != null && target.value == parent.left.value) {
parent.left = null;
return;
}
// 如果目标节点是 父节点的 右节点
if (parent.right != null && target.value == parent.right.value) {
parent.right = null;
return;
}
}
// 2. 如果目标节点有两颗子节点
else if (target.left != null && target.right != null) {
// 以目标节点为 root 节点，找到左子树中最小的节点，并删掉；也就是找到左子树中的一个 叶子节点
Node min = deleteRightTreeMin(target);
// 如果删除的是 root 节点，全程不要操作 parent
if (parent == null) {
root = min;
min.right = target.right;
min.left = target.left;
return;
}
// 如果是父节点的 左节点
if (parent.left != null && target.value == parent.left.value) {
parent.left = min;
min.right = target.right;
min.left = target.left;
return;
}
// 如果是父节点的 右节点
if (parent.right != null && target.value == parent.right.value) {
parent.right = min;
min.right = target.right;
min.left = target.left;
return;
}
}
// 3. 如果目标节点有 1 颗子节点
else {
// 如果删除的是 root 节点，全程不要操作 parent
// 因为只有一颗节点，不是左就是右边
/* if (target.left != null) {
// 删除的如果是 root 节点
if (parent == null) {
root = target.left;
return;
}
// 如果是父节点的 左节点
if (parent.left != null && target.value == parent.left.value) {
parent.left = target.left;
return;
}
if (parent.right != null && target.value == parent.right.value) {
parent.right = target.left;
}
} else {
// 删除的如果是 root 节点
if (parent == null) {
root = target.right;
return;
}
// 如果是父节点的 右节点
if (parent.left != null && target.value == parent.left.value) {
parent.left = target.right;
return;
}
if (parent.right != null && target.value == parent.right.value) {
parent.right = target.right;
}
}
*/
// 上面的写法重构后为下面这样
// 由于目标节点有一颗节点，先拿到这个要替换掉目标节点的 节点
Node replaceNode = null;
// 要替换的节点，由于只有一个，不是左就是右
if (target.left != null) {
replaceNode = target.left;
} else {
replaceNode = target.right;
}
// 如果要删除的是 root 节点
if (parent == null) {
root = replaceNode;
return;
}
// 如果是父节点的 左节点
if (parent.left != null && target.value == parent.left.value) {
parent.left = replaceNode;
return;
}
if (parent.right != null && target.value == parent.right.value) {
parent.right = replaceNode;
}
}
return;
}
/**
* 以目标节点为 root 节点，找到左子树中最小的节点，并删掉；也就是找到左子树中的一个 叶子节点
*
* @param target
* @return
*/
private Node deleteRightTreeMin(Node target) {
Node min = target.right;
while (min.left != null) {
min = min.left;
}
delete(min.value);
return min;
}
}
}
/**
* 节点
*/
class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
/**
* 添加节点：按照排序二叉树的要求添加
*
* @param node
*/
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 如果添加的值小于当前节点，则往左走
if (node.value < value) {
// 左节点为空，则直接挂在上面
if (left == null) {
left = node;
} else {
// 否则继续往下查找
left.add(node);
}
} else {
// 往右走
if (right == null) {
right = node;
} else {
right.add(node);
}
}
}
/**
* 中序遍历：刚好是从小到大的顺序
*/
public void infixOrder() {
if (left != null) {
left.infixOrder();
}
System.out.println(value);
if (right != null) {
right.infixOrder();
}
}
/**
* 搜索目标节点
*
* @param value
* @return
*/
public Node searchTarget(int value) {
if (value == this.value) {
return this;
} else if (value < this.value) {
if (left != null) {
return left.searchTarget(value);
}
} else {
if (right != null) {
return right.searchTarget(value);
}
}
return null;
}
/**
* 查找目标值的父节点
*
* @param value
* @return
*/
public Node searchParent(int value) {
// 本节点能匹配到左右两节点其中一个等于，则父节点是本节点
if (left != null && left.value == value
|| right != null && right.value == value
) {
return this;
}
if (value < this.value && left != null) {
return left.searchParent(value);
}
if (value >= this.value && right != null) {
return right.searchParent(value);
}
return null;
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"value=" + value +
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