从零构造一台计算机——二进制

二进制的定义

人类发明0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字，大概率是因为我们有十个手指。假如我们把这种计数方式称为十进制计数法，然后我们来到了一个世界，那里面的人只有2个手指。我们该如何用十进制的思想去用创造出二进制呢。

简单约定一下，后面用下标表示进制，比如\(10_2\)表示二进制，而\(10_{10}\)表示十进制。

首先，我们能用的数字只有0,1这2个，忘掉十进制中其余的数字。那么我们如何计数呢？以数苹果为例，在十进制中，我们数到第\(9_{10}\)个苹果的时候，我们需要做一个操作就是进位，然后低位置为0。现在来到二进制，我们如何表示下面苹果的数量：

需要注意的是，二进制中只有0,1，当我们数到第\(1_2\)个苹果的时候，我们需要做的也是进位。类似地，我们会得到\(10_2\)，继续数下去，就是\(11_2\)，所以答案就是这里有\(11_2\)个苹果。

对于一个十进制数，我们知道它有个位，十位，百位，千位，万位……，其实这些位代表的就是\(10^n\)。比如个位是\(10^0\)，十位是\(10^1\)，百位是\(10^2\)，对于一个数\(123_{10}\)，我们可以说它的个位是3，十位是2，百位是1，那么我们可以通过这样计算来得到：

\[123_{10} = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 \]

于是，对于十进制，我们可以抽象出下面的公式：

\[x_{n}x_{n-1}x_{n-2}...x_{0}=\sum_{i=0}^{n}{10^i \cdot x_i} \]

那么，对于二进制，我们自然而然可以得到下面的公式（需要注意的是，下面公式右边的10其实是\(10_2\)）：

\[x_{n}x_{n-1}x_{n-2}...x_{0}=\sum_{i=0}^{n}{10^i \cdot x_i} \]

公式右边的10我们称之为基底，十进制的基低是\(10_{10}\)，二进制的基低是\(10_{2}\)。

二进制转十进制

对于二进制，我们已经得到这样的公式：

\[x_{n}x_{n-1}x_{n-2}...x_{0}=\sum_{i=0}^{n}{\left(10_2\right)^i \cdot x_i} \]

由于二进制中的0,1和十进制中的0,1的含义是一样的，并且二进制中的\(10_2\)等价于十进制中的\(2_{10}\)，而\(x_i\)（公式右侧）在二进制中只有可能是0,1，所以我们可以作如下推导：

\[\sum_{i=0}^{n}{\left(10_2\right)^i \cdot x_i} \Rightarrow \sum_{i=0}^{n}{\left(2_{10}\right)^i \cdot x_i} \]

于是我们可以用十进制的方式去表达二进制：

\[\left(x_{n}x_{n-1}x_{n-2}...x_{0}\right)_{2}=\sum_{i=0}^{n}{\left(2_{10}\right)^i \cdot x_i} \]

我们可以验证一下：

\[11_2=1\cdot2^1+1\cdot2^0=3 \]

所以二进制的\(11_2\)等价于十进制的\(3_{10}\)，他们都表示上图中苹果的数量。

二进制的加法运算

二进制的加减法运算，也可以用十进制的思想来做，首先通过上面例子我们知道\(1_2\)个苹果加上\(1_2\)个苹果等于\(10_2\)个苹果，也就是说在二进制中1+1=10。基于这个条件，我们分别来计算1001+0101和1011+0111。

首先看1001+0101，我们列出下面的式子，然后用十进制加法的思想去做，可以得到结果是1110：

\[\begin{split} \left(进位\right)0\quad&0\quad0\quad1\\ &1\quad0\quad0\quad1\\ +&\underline{0\quad1\quad0\quad1}\\ 0\quad&1\quad1\quad1\quad0\\ \end{split} \]

然后来看1011+0111，我们也可以列出下面的式子，用同样的方法去做，但是这边最后发生了进位，所以结果是10010：

\[\begin{split} \left(进位\right)1\quad&1\quad1\quad1\\ &1\quad0\quad1\quad1\\ +&\underline{0\quad1\quad1\quad1}\\ 1\quad&0\quad0\quad1\quad0\\ \end{split} \]

我们可以转成十进制来验算一下，结果是没问题的。那么减法也可以用类似的思想来做。

计算机中二进制的表示

由于二进制只能由0,1组成，那么对于\(n\)位的二进制数，我们有\(2^n\)中组合：从\(000...0\)到\(111...1\)。所以一个\(n\)位二进制数的表示范围是\(0 \to 2^n\)（这里的\(2^n\)是十进制）。

那么如何表示负数呢？可能有人会说前面加个-号，和我们平时表示的方式一样。

其实通过前面的课程我们知道，我们用电路的通断来表示1或者0，电路连通的时候为1，断开的时候为0，只有这两种状态，没有第三种。所以-号其实是无法在计算机中表示出来的。

为此，前辈们想出了有符号数，即把二进制的第一位拿出来作为符号位，1表示负数，0表示正数，剩下的来表示具体的数值。

但是如果负数仅仅用第一位符号位来指示，可能还会遇到很多麻烦：比我们知道十进制中\((-3)+3=0\)，这时候我们转化为4位的二进制（第一位为符号位）可以得到\(1011_2+0011_2\)，结果是\(1011_2+0011_2=1110_2\)，如果\(1110_2\)我们仍然把第一位解释成符号位，那么转换成十进制，就得到了\((-3)+3=-6\)，这显然是不对的。

那么如何让\(1011_2+0011_2=0000_2\)呢？在上面加法的例子中，我们还记得\(1011+0111=10010\)，这里发生了进位，也就是2个四位数的二进制相加，得到一个五位数的二进制数。那么在计算机中，假如我们设计的计算机只能表示4位的二进制数，那么最终的结果也只能有4位，也就是在该计算机中，我们会得到\(1011+0111=0010\)（最高位1丢弃了）。

基于这个特性，我们可以这样设计负的二进制数，假设这里计算机只能表示4位二进制数，并且\(0011_2\)的负数设为\(x\)，我们需要得到\(0011_2+x=0000_2\)，又因为该计算机只能表示4位数，所以在该计算机中，\(0000_2=10000_2\)，注意后面是一个5位二进制数。所以，我们可以这样去设计\(x\)，使得\(0011_2+x=10000_2\)，得到\(x=1101\)。我们再来验算一下：\(0011_2+1101_2=10000_2 \Rightarrow 0000_2\)，于是我们可以说，在该计算机中\(0011_2+1101_2=0000_2\)是成立的。

补码

上面这种二进制的表示法，我们就称之为补码表示法。

总结一下，可以得到如下的定义（假设计算机能表示的二进制数为\(n\)位）：

\[x_补=\left\{ \begin{aligned} x & & (x\ge0) \\ 2^n & - x & (x<0) \end{aligned} \right. \]

最高位的含义

我们现在知道了补码的定义，那么在补码中，任何符号位为0的整数都能得到符号位为1的负数吗？我们可以简单证明一下：

假设有\(n\)位的二进制数\(x_nx_{n-1}x_{n-2}x_{n-3}...x_2x_1\)，且最高位为符号位，所以其数值部分为\(x_{n-1}x_{n-2}x_{n-3}...x_2x_1\)。我们设\(x_{n-1}x_{n-2}x_{n-3}...x_2x_1\)为\(t\)，那么\(-t\)可以表示为\(2^n-t\)，而\(2^n \Rightarrow 100...0\left(n个0\right)\)，所以我们可以列出下面的式子：

\[\begin{split} &1_{n+1}\quad0_{n}\quad0_{n-1}\quad0_{n-2}\quad...\quad0_3\quad0_2\quad0_1\\ -&\underline{ 0_{n+1}\quad0_{n}\quad x_{n-1} \quad x_{n-2} \quad... \quad x_{3}\quad x_2\quad x_1}\\ &r_{n+1}\quad r_{n}\quad r_{n-1} \quad r_{n-2} \quad... \quad r_{3}\quad r_2\quad r_1\\ \end{split} \]

我们设结果为\(r_{n+1}r_nr_{n-1}r_{n-2}r_{n-3}...r_2r_1\)，当\(t\)不为0的时候，不管是哪一位不为0，我们做减法的时候肯定会向前借位，但是因为\(2^n\)只有第\(n+1\)位为1，所以只能向前传递，借第\(n+1\)位的1。但是因为\(t\)中的\(n+1\)位恒为0，所以我们可以得到\(r_{n+1}=0\)，同理\(r_{n}=1\)。所以对于任意的符号位为0的正数，其补码都是符号位为1的负数。

这里面有个特殊情况，对于0来说，是不分正负的，而且\(0+0=0\)，那么0到底是+0还是-0呢，也就是说0的最高位应该是什么？

我们先来看+0，由于+0所有位都是0，所以\((+0)+(+0)=(+0)\)，是没有问题的。但是对于-0来说就不是这样了，由于-0的最高位为1，所以当\((-0)+(-0)\)之后，最高位变成了0，并且发生了进位，并且进位被丢弃（前面讲过），于是我们得到\((-0)+(-0)=(+0)\)，这显然不太对，直觉告诉我们应该用+0来表示0。

那么当最高位为1，其余位都是0的时候，这个数字代表什么呢？

还记得我们得出补码的过程吗，我们是用\(2^n-x\)算出来的。那么对于最高位为1的\(n位\)二进制数来说，其我们可以用十进制数\(2^{n-1}\)来表示他的值，通过计算\(2^n-2^{n-1}\)我们可以得到他的正数表示也是\(2^{n-1}\)，所以当一个\(n\)位二进制数的最高位为1，其余位全是0的时候，他的值就是\(\left(-2^{n-1}\right)\)。

以一个4位二进制数为例：

正数	负数
0   0000
1   0001	1111   -1
2   0010	1110   -2
3   0011	1101   -3
4   0100	1100   -4
5   0101	1011   -5
6   0110	1010   -6
7   0111	1001   -7
	1000   -8

用加法代替减法

前面补码的定义可知，一个\(n\)位的二进制正数\(x\)的负数我们可以用\(x_补 \Rightarrow 2^n - x\)来表示。假如我们要计算\(t-x\)，我们可以作如下推断：

\[\begin{split} & t-x \\ \Rightarrow & t+(-x) \\ \Rightarrow & t+x_补 \end{split} \]

那么当\(x\)是负数的时候呢？类似地，我们可以得到：

\[\begin{split} & t-x \\ \Rightarrow & t+|x| \\ \Rightarrow & t+x_补 \end{split} \]

这里的\(|x|\)表示\(x\)的绝对值，我们知道，当\(x\)为负数的时候，其绝对值就是他的补码。

综上所述，不论\(x\)是正的还是负的，我们都可以用其补码来实现用加法代替减法的操作。

总结

最高位作为符号位是一个很巧妙的设计，对于\(n\)位的二进制数\(x_nx_{n-1}x_{n-2}x_{n-3}...x_1x_0\)来说，他们的数值部分都是\(x_{n-1}x_{n-2}x_{n-2}...x_1x_0\)，相当于正好把取值范围一分为二，一半给了正数，一半给了负数。

补码的引入也非常合理，最高位不仅可以作为符号位表示数字的正负，并且也可以参与计算、实现用加法代替减法。