题目：求 \(a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27\) 的最小值
解法一：
用十字相乘判断原式为非完全平方式（加常数）的形式
用待定系数法设
\(a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27=(x_1a+x_2b)^2+(x_3a+x_4)^2+(x_5b+x_6)^2+x_7\)
且存在 \(a,b\) 使三个平方和为0
解得\(a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27=(\dfrac{\sqrt{6}}{3}a-\dfrac{\sqrt{6}}{2}b)^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a-\sqrt{3})^2+(\dfrac{\sqrt{2}}{2}b-2\sqrt{2})^2+17\)
即\(\begin{cases}a=4\\b=3\end{cases}\)时取到最小为17
解法二：
设\(f(a,b)=a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27=a^2+(-2b-2)a+(2b^2-4b+27)\)
此函数 \(b\) 值固定时 \(a=b+1\) 时取最小值(二次函数的最小值)
所以原式拆出 \((b+1-a)^2\) 一项
原式 \(=(a-b-1)^2+b^2-6b+26=(a-b-1)^2+(b-3)^2+17\)
即\(\begin{cases}a=4\\b=3\end{cases}\)时取到最小为17