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多源最短路径的引入
Floyd算法
原理
加入a：
加入b：
加入c：
数据结构
核心代码
Floyd()
void MGraph::Floyd(){ for(int i=0;i<vertexNum;i++){ for(int j=0;j<vertexNum;j++){ dist[i][j]=arc[i][j]; //dist数组初始化
if(dist[i][j]!=INFINIT&&dist[i][j]!=0) //dist为INFINIT则无路径，dist为0则指向自己
path[i][j]=vertex[i]+vertex[j]; //path数组初始化
else path[i][j]=""; //不符合则path为空串
} } for(int k=0;k<vertexNum;k++){ //k个顶点循环k次
for(int i=0;i<vertexNum;i++){ //k每循环一次，要更新dist和path数组
for(int j=0;j<vertexNum;j++){ if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]){ dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j]; //这里两个path拼接的时候，第一个字符串的最后一个字符和第二个字符串的第一个字符重复 //用substr去除第一个字符串的最后一个字符
string tmp=path[i][k].substr(0,path[i][k].length()-1); path[i][j]=tmp+path[k][j]; } } } } displayDist(); displayPath(); }
完整代码
#include<iostream>
#define MAX 50
#define INFINIT 65535 #include <string>
using namespace std; class MGraph{ private: int vertexNum,arcNum; //顶点数，边数
int arc[MAX][MAX]; //邻接矩阵
string vertex[MAX]; //顶点信息
int dist[MAX][MAX]; string path[MAX][MAX]; public: MGraph(string v[],int n,int e); void display(); void Floyd(); void displayDist(); void displayPath(); }; void MGraph::Floyd(){ for(int i=0;i<vertexNum;i++){ for(int j=0;j<vertexNum;j++){ dist[i][j]=arc[i][j]; //dist数组初始化
if(dist[i][j]!=INFINIT&&dist[i][j]!=0) //dist为INFINIT则无路径，dist为0则指向自己
path[i][j]=vertex[i]+vertex[j]; //path数组初始化
else path[i][j]=""; //不符合则path为空串
} } for(int k=0;k<vertexNum;k++){ //k个顶点循环k次
for(int i=0;i<vertexNum;i++){ //k每循环一次，要更新dist和path数组
for(int j=0;j<vertexNum;j++){ if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]){ dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j]; //这里两个path拼接的时候，第一个字符串的最后一个字符和第二个字符串的第一个字符重复 //用substr去除第一个字符串的最后一个字符
string tmp=path[i][k].substr(0,path[i][k].length()-1); path[i][j]=tmp+path[k][j]; } } } } displayDist(); displayPath(); } void MGraph::displayDist(){ //打印dist数组
cout<<"dist数组："<<endl; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ for(int j=0;j<vertexNum;j++){ cout<<dist[i][j]<<"\t"; } cout<<endl; } } void MGraph::displayPath(){ //打印path数组
cout<<"path数组：" <<endl; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ for(int j=0;j<vertexNum;j++){ cout<<path[i][j]<<"\t"; } cout<<endl; } } MGraph::MGraph(string v[],int n,int e){ //n是顶点数，e是边数
vertexNum=n; arcNum=e; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ vertex[i]=v[i]; } for(int i=0;i<arcNum;i++){ //初始化邻接矩阵
for(int j=0;j<arcNum;j++){ if(i==j) arc[i][j]=0; else arc[i][j]=INFINIT; } } int vi,vj,w; for(int i=0;i<arcNum;i++){ cout<<"请输入有向边的两个顶点和这条边的权值"<<endl; cin>>vi>>vj>>w; //输入边依附的两个顶点的编号 和权值
arc[vi][vj]=w; //有边标志
} } void MGraph::display(){ cout<<"邻接矩阵："<<endl; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ for(int j=0;j<vertexNum;j++){ if(arc[i][j]==INFINIT) cout<<"∞"<<"\t"; else cout<<arc[i][j]<<"\t"; } cout<<endl; } cout<<endl; cout<<"结点信息："<<endl; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ cout<<vertex[i]<<" "; } cout<<endl; } int main(){ int n,e; string v[MAX]; cout<<"请输入顶点数和边数"<<endl; cin>>n>>e; cout<<"请输入顶点信息"<<endl; for(int i=0;i<n;i++){ cin>>v[i]; } MGraph mgraph(v,n,e); mgraph.display(); mgraph.Floyd(); return 0; }
输入：
3 5
a b c
0 1 4
0 2 11
1 0 6
1 2 2
2 0 3
输出：
邻接矩阵：
0 4 11
6 0 2
3 ∞ 0
结点信息：
a b c
dist数组：
0 4 6
5 0 2
3 7 0
path数组：
ab abc
bca bc
ca cab
例题：娱乐中心选址
#include<iostream>
#define MAX 50
#define INFINIT 65535 #include <string>
using namespace std; class MGraph{ private: int vertexNum,arcNum; //顶点数，边数
int arc[MAX][MAX]; //邻接矩阵
string vertex[MAX]; //顶点信息
int dist[MAX][MAX]; string path[MAX][MAX]; int rowSum[MAX]; int rowMax[MAX]; public: MGraph(string v[],int n,int e); void display(); void Floyd(); void displayDist(); void displayPath(); void bestCentralAmusement(); void displayRowMax(); void displayRowSum(); }; void MGraph::bestCentralAmusement(){ for(int i=0;i<vertexNum;i++) rowSum[i]=0; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ for(int j=0;j<vertexNum;j++){ rowSum[i]+=dist[i][j]; } } int tmp; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ tmp=0; for(int j=0;j<vertexNum;j++){ if(tmp<dist[i][j]) tmp=dist[i][j]; } rowMax[i]=tmp; } int tmp2=INFINIT; int index=-1; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ if(rowMax[i]<tmp2){ tmp2=rowMax[i]; index=i; } if(tmp2==rowMax[i]){ if(rowSum[i]<tmp2){ index=i; }else{ ; } } } displayRowMax(); displayRowSum(); cout<<"index:"<<index<<endl; cout<<"最合适的位置是"<<vertex[index]<<endl; } void MGraph::displayRowSum(){ cout<<"rowSum: "<<endl; for(int i=0;i<vertexNum;i++) cout<<rowSum[i]<<" "; cout<<endl; } void MGraph::displayRowMax(){ cout<<"rowMax:"<<endl; for(int j=0;j<vertexNum;j++) cout<<rowMax[j]<<" "; cout<<endl; } void MGraph::Floyd(){ for(int i=0;i<vertexNum;i++){ for(int j=0;j<vertexNum;j++){ dist[i][j]=arc[i][j]; //dist数组初始化
if(dist[i][j]!=INFINIT&&dist[i][j]!=0) //dist为INFINIT则无路径，dist为0则指向自己
path[i][j]=vertex[i]+vertex[j]; //path数组初始化
else path[i][j]=""; //不符合则path为空串
} } for(int k=0;k<vertexNum;k++){ //k个顶点循环k次
for(int i=0;i<vertexNum;i++){ //k每循环一次，要更新dist和path数组
for(int j=0;j<vertexNum;j++){ if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]){ dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j]; //这里两个path拼接的时候，第一个字符串的最后一个字符和第二个字符串的第一个字符重复 //用substr去除第一个字符串的最后一个字符
string tmp=path[i][k].substr(0,path[i][k].length()-1); path[i][j]=tmp+path[k][j]; } } } } displayDist(); displayPath(); } void MGraph::displayDist(){ //打印dist数组
cout<<"dist数组："<<endl; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ for(int j=0;j<vertexNum;j++){ cout<<dist[i][j]<<"\t"; } cout<<endl; } } void MGraph::displayPath(){ //打印path数组
cout<<"path数组：" <<endl; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ for(int j=0;j<vertexNum;j++){ cout<<path[i][j]<<"\t"; } cout<<endl; } } MGraph::MGraph(string v[],int n,int e){ //n是顶点数，e是边数
vertexNum=n; arcNum=e; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ vertex[i]=v[i]; } for(int i=0;i<arcNum;i++){ //初始化邻接矩阵
for(int j=0;j<arcNum;j++){ if(i==j) arc[i][j]=0; else arc[i][j]=INFINIT; } } int vi,vj,w; for(int i=0;i<arcNum;i++){ cout<<"请输入有向边的两个顶点和这条边的权值"<<endl; cin>>vi>>vj>>w; //输入边依附的两个顶点的编号 和权值
arc[vi][vj]=w; //有边标志
} } void MGraph::display(){ cout<<"邻接矩阵："<<endl; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ for(int j=0;j<vertexNum;j++){ if(arc[i][j]==INFINIT) cout<<"∞"<<"\t"; else cout<<arc[i][j]<<"\t"; } cout<<endl; } cout<<endl; cout<<"结点信息："<<endl; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ cout<<vertex[i]<<" "; } cout<<endl; } int main(){ int n,e; string v[MAX]; cout<<"请输入顶点数和边数"<<endl; cin>>n>>e; cout<<"请输入顶点信息"<<endl; for(int i=0;i<n;i++){ cin>>v[i]; } MGraph mgraph(v,n,e); mgraph.display(); mgraph.Floyd(); mgraph.bestCentralAmusement(); return 0; }
输入：
5 10
a b c d e
0 1 13
0 3 4
1 0 13
1 2 15
1 4 5
2 3 12
3 0 4
3 2 12
4 2 6
4 3 3
输出：
邻接矩阵：
0 13 ∞ 4 ∞
13 0 15 ∞ 5
∞ ∞ 0 12 ∞
4 ∞ 12 0 ∞
∞ ∞ 6 3 0
结点信息：
a b c d e
dist数组：
0 13 16 4 18
12 0 11 8 5
16 29 0 12 34
4 17 12 0 22
7 20 6 3 0
path数组：
ab adc ad abe
beda bec bed be
cda cdab cd cdabe
da dab dc dabe
eda edab ec ed
rowMax:
18 12 34 22 20
rowSum:
51 36 91 55 36
index:1
最合适的位置是b