最小生成树（Prim算法，Kruskal算法 ）

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最小生成树原理

、

普利姆（Prim）算法

原理

Prim算法的实现

 

 核心代码

void MGraph::Prim(int start){ shortEdge shortEdge; //建立shortEdge数组 
    for(int i=0;i<vertexNum;i++){ shortEdge[i].lowcost=arc[start][i]; // 数组初始化，lowcost为邻接矩阵第i行的权值 
        shortEdge[i].adjvex=start;          //adjvex初始化为起始值 
 } shortEdge[start].lowcost=0;;            //lowcost为0，把start放入集合 
    
    for(int i=0;i<vertexNum-1;i++){ int k=minEdge(shortEdge,vertexNum); //求出最小权值下标 
 outputSMT(k,shortEdge[k]); shortEdge[k].lowcost=0;             //k放入集合 
        for(int j=0;j<vertexNum;j++){           //更新shortEdge数组，当前集合和刚进入集合的结点的权值比较 
            if(arc[k][j]<shortEdge[j].lowcost){ shortEdge[j].lowcost=arc[k][j]; shortEdge[j].adjvex=k; } } } }

int minEdge(shortEdge shortEdge,int vertexNum){  //求shortEdge数组中最小权值的下标 
    Edge e;                   //e是个临时变量用来记录当前小权值的下标和权值 
    e.lowcost=INFINIT; e.adjvex=-1; int i; for(i=0;i<vertexNum;i++){             //权值不为0（已经在集合中），不为无穷 （无路径） 
        if(shortEdge[i].lowcost!=0&&shortEdge[i].lowcost!=INFINIT&&e.lowcost>shortEdge[i].lowcost){ e.lowcost=shortEdge[i].lowcost; e.adjvex=i; } } return e.adjvex; }

void outputSMT(int k,Edge Edge){            //打印路径和权值 
    cout<<"("<<Edge.adjvex<<","<<k<<") "<<Edge.lowcost<<endl; }

完整代码

#include<iostream>
#define MAXVEX 100
using namespace std; const int INFINIT=65535; int visit[MAXVEX]; typedef struct Edge{ int lowcost; int adjvex; }Edge,shortEdge[MAXVEX]; class MGraph { private: int *vertex;         //顶点信息
        int **arc;         //邻接矩阵
        int vertexNum,arcNum;        //顶点数，边数
    public: MGraph(int v[],int n,int e); ~MGraph(); void display(); void Prim(int start); }; MGraph::MGraph(int v[],int n,int e) {  //n是顶点数，e是边数
    vertexNum=n; arcNum=e; vertex = new int[vertexNum];         //建立顶点信息
    arc = new int*[vertexNum];         //建立邻接表
    for(int i=0; i<vertexNum; i++) arc[i]=new int[vertexNum]; for(int i=0; i<vertexNum; i++) {   //初始化顶点信息 
        vertex[i]=v[i]; } for(int i=0;i<vertexNum;i++)       //初始化邻接表 
        for(int j=0;j<vertexNum;j++){ if(i==j)     arc[i][j]=0; else     arc[i][j]=INFINIT; } int vi,vj,w; for(int i=0;i<arcNum;i++){ cout<<"请输入边的两个顶点和这条边的权值"<<endl; cin>>vi>>vj>>w;   //输入边依附的两个顶点的编号 和权值 
        arc[vi][vj]=w; //有边标志 
        arc[vj][vi]=w; } } void MGraph::display(){ for(int i=0;i<vertexNum;i++){ for(int j=0;j<vertexNum;j++){ if(arc[i][j]==INFINIT) cout<<"∞"<<"\t"; else cout<<arc[i][j]<<"\t"; } cout<<endl; } cout<<endl; for(int i=0;i<vertexNum;i++){ cout<<vertex[i]<<" "; } cout<<endl; } MGraph::~MGraph(){ delete []vertex; for(int i=0;i<vertexNum;i++) delete [] arc[i]; delete [] arc; } int minEdge(shortEdge shortEdge,int vertexNum){  //求shortEdge数组中最小权值的下标 
    Edge e;                   //e是个临时变量用来记录当前小权值的下标和权值 
    e.lowcost=INFINIT; e.adjvex=-1; int i; for(i=0;i<vertexNum;i++){             //权值不为0（已经在集合中），不为无穷 （无路径） 
        if(shortEdge[i].lowcost!=0&&shortEdge[i].lowcost!=INFINIT&&e.lowcost>shortEdge[i].lowcost){ e.lowcost=shortEdge[i].lowcost; e.adjvex=i; } } return e.adjvex; } void outputSMT(int k,Edge Edge){            //打印路径和权值 
    cout<<"("<<Edge.adjvex<<","<<k<<") "<<Edge.lowcost<<endl; } void MGraph::Prim(int start){ shortEdge shortEdge; //建立shortEdge数组 
    for(int i=0;i<vertexNum;i++){ shortEdge[i].lowcost=arc[start][i]; // 数组初始化，lowcost为邻接矩阵第i行的权值 
        shortEdge[i].adjvex=start;          //adjvex初始化为起始值 
 } shortEdge[start].lowcost=0;;            //lowcost为0，把start放入集合 
    
    for(int i=0;i<vertexNum-1;i++){          //注意：i<vectexNum-1 
        int k=minEdge(shortEdge,vertexNum); //求出最小权值下标 
 outputSMT(k,shortEdge[k]); shortEdge[k].lowcost=0;             //k放入集合 
        for(int j=0;j<vertexNum;j++){           //更新shortEdge数组，当前集合和刚进入集合的结点的权值比较 
            if(arc[k][j]<shortEdge[j].lowcost){ shortEdge[j].lowcost=arc[k][j]; shortEdge[j].adjvex=k; } } } } int main(){ int v[6]={0,1,2,3,4,5}; cout<<"请输入顶点个数和边的个数"<<endl; int m,n; cin>>m>>n; cout<<"请输入prim算法的起点"<<endl; int k; cin>>k; MGraph mgraph(v,m,n); cout<<"输出邻接矩阵信息和边数组信息："<<endl; mgraph.display(); cout<<"输出起点从"<<k<<"开始的最小生成树：" <<endl; mgraph.Prim(k); return 0; }

 

输入：

6 9

3

0 1 34
0 2 46
0 5 19
1 4 12
2 3 17
2 5 25
3 5 25
3 4 38
4 5 26

输出：

输出邻接矩阵信息和边数组信息：
0  34  46  ∞  ∞  19
34 0   ∞   ∞  12  ∞
46 ∞   0   17 ∞  25
∞  ∞   17  0  38 25
∞  12  ∞  38  0  26
19 ∞   25 25 26  0

0 1 2 3 4 5
输出起点从3开始的最小生成树：
(3,2) 17
(3,5) 25
(5,0) 19
(5,4) 26
(4,1) 12

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

原理

Kruskal算法的实现

核心代码

void EdgeGraph::Kruskal(){ for(int i=0;i<vertexNum;i++){  //parent数组初始化 
        parent[i]=-1; } sortEdge(); //边集排序 
    int vex1,vex2,num=0; for(int i=0;i<edgeNum;i++){ vex1=findRoot(edge[i].from); //找到所在生成树的根节点 
        vex2=findRoot(edge[i].to);   //找到所在生成树的根节点 
        if(vex1!=vex2){          //找到两个根节点不相同，不会构成环 
            outputMST(edge[i]);    //打印 
            parent[vex2]=vex1; //合并生成树
            num++; if(num==vertexNum-1) return;   //循环vetexNum-1次，提前返回 
 } } }

int EdgeGraph::findRoot(int v){      //寻找根节点 
    int t=v; while(parent[t]>-1){ t=parent[t]; } return t; }

完整代码

#include<iostream>
#define dataType int
using namespace std; const int MaxVertex=10; const int MaxEdge=100; struct EdgeType{ int from,to; int weight; }; class EdgeGraph{ private: dataType vertex[MaxVertex]; EdgeType edge[MaxEdge]; int vertexNum,edgeNum; int parent[MaxVertex]; public: EdgeGraph(int n,int e,dataType v[]); int findRoot(int v); void Kruskal(); void outputMST(EdgeType edge); void sortEdge(); }; EdgeGraph::EdgeGraph(int n,int e,dataType v[]){ vertexNum=n;  //顶点数 
    edgeNum=e;    //边数
    for(int i=0;i<vertexNum;i++){ vertex[i]=v[i]; } int start,end,w; for(int i=0;i<e;i++){ cout<<"请输入第"<<i+1<<"条边的两个邻接点和权值"<<endl; cin>>start>>end>>w; edge[i].from=start; edge[i].to=end; edge[i].weight=w; } } void EdgeGraph::Kruskal(){ for(int i=0;i<vertexNum;i++){  //parent数组初始化 
        parent[i]=-1; } sortEdge(); //边集排序 
    int vex1,vex2,num=0; for(int i=0;i<edgeNum;i++){ vex1=findRoot(edge[i].from); //找到所在生成树的根节点 
        vex2=findRoot(edge[i].to);   //找到所在生成树的根节点 
        if(vex1!=vex2){          //找到两个根节点不相同，不会构成环 
            outputMST(edge[i]);    //打印 
            parent[vex2]=vex1; //合并生成树
            num++; if(num==vertexNum-1) return;   //循环vetexNum-1次，提前返回 
 } } } void EdgeGraph::sortEdge(){ bool flag=true; while(flag){                  //优化版冒泡排序 
        flag=false; for(int i=0;i<edgeNum-1;i++){ for(int j=i+1;j<edgeNum;j++){ if(edge[i].weight>edge[j].weight){ flag=true; EdgeType t=edge[i]; edge[i]=edge[j]; edge[j]=t; } } } } } int EdgeGraph::findRoot(int v){      //寻找根节点 
    int t=v; while(parent[t]>-1){ t=parent[t]; } return t; } void EdgeGraph::outputMST(EdgeType edge){ cout<<"("<<edge.from<<","<<edge.to<<") "<<edge.weight<<endl; } int main(){ cout<<"请输入结点数和边数"<<endl; int n,e; cin>>n>>e; int v[MaxEdge]; cout<<"请输入"<<n<<"个结点信息"<<endl; for(int i=0;i<n;i++) cin>>v[i]; EdgeGraph edgegraph(n,e,v); edgegraph.Kruskal(); return 0; }

输入：

6 9

0 1 2 3 4 5

1 4 12
2 3 17
0 5 19
2 5 25
3 5 25
4 5 26
0 1 34
3 4 38
0 2 46

输出：

(1,4) 12
(2,3) 17
(0,5) 19
(2,5) 25
(4,5) 26