面板数据变系数模型
前言
在这一篇文章中，我们将某些影响因素的作用范围扩大，这些因素不仅影响截距项的变动，而且也能影响到斜率项。因素的作用范围就可能有一下几种组合，单独影响截距，单独影响斜率，既影响截距又影响斜率，既不影响截距也不影响斜率（随机效应）。因素又区分为两类，时间因素与个体特质因素。推荐先阅读数据分析-面板数据变截距模型 再阅读本文。
为了方便理解，我们将包含个体特质与时间因素的面板回归方程拆写为：
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + \lambda_0 +\lambda_t + X_{it}' \beta_i+ X_{it}' \beta_t+ X_{it}' \beta_c + \varepsilon_{it}\)
\(\beta= \beta_i+ \beta_t + \beta_c\)
\(,i = 1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T\)
当然这里的\(\beta_t与\beta_i\)也可以像拆分 \(\alpha和\lambda\)一样，拆分出均值和差异项
| 项目 | 含义 |
|---|---|
| \(i\) | 个体标志序数 |
| \(t\) | 时间序数 |
| \(X_{it}\) | 观测变量，\(K*1\)向量，\((X_{1it,},X_{2it},..,X_{kit})'\) |
| \(\beta_i\) | 随个体特质而变动的参数，\(K*1\)向量, \((0,0,...,\beta_i,..0)'\) |
| \(\beta_t\) | 随时间而变动的参数，\(K*1\)向量, \((0,0,...,\beta_t,..0)'\) |
| \(\beta_c\) | 不变动的参数，\(K*1\)向量, \((\beta_{1},\beta_{2},..0...,\beta_{k})'\) |
| \(\beta\) | 总参数向量，\(K*1\)向量, \((\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_i,...,\beta_t,...,\beta_{k})'\) |
| \(\alpha_0\) | 个体效应在个体维度上的平均值 |
| \(\alpha_i\) | 个体效应在个体维度上差异 |
| \(\alpha_0+\alpha_i\) | 个体效应引起的截距项 |
| \(\lambda_0\) | 时间效应在时间维度上的平均值 |
| \(\lambda_t\) | 时间效应在时间维度上差异 |
| \(\lambda_0 +\lambda_t\) | 时间效应引起的截距项 |
| \(\varepsilon_{it}\) | 随机扰动项 |
固定系数模型
模型
以截距项为个体固定效应，系数为个体固定效应：
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i +X_{it}' \beta_i + X_{it}' \beta_c + \varepsilon_{it}\)
以截距项为个体固定效应，系数为时间固定效应：
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i +X_{it}' \beta_t + X_{it}' \beta_c + \varepsilon_{it}\)
-
以截距项为个体固定效应，系数为个体固定效应，仅考虑第3个参数随个体变化，举例理解：
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + \beta_1 x_{1it}+\beta_2x_{2it}+ \beta_{3i}x_{3it} + \varepsilon_{it}\)
其中\(x_{1it} 表示第i个个体在t时刻的第1个变量值， \beta_1表示第1个变量前的参数\)
其中\(x_{2it} 表示第i个个体在t时刻的第2个变量值， \beta_2表示第2个变量前的参数\)
其中\(x_{3it} 表示第i个个体在t时刻的第3个变量值， \beta_{3i}表示依赖于第i个个体特质(第i个个体特质是个体分类的类别，表示个体差异影响x_3的斜率)、第3个变量前的参数\) -
以截距项为个体固定效应，系数为时间固定效应，仅考虑第3个参数随时间变化，举例理解：
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + \beta_1 x_{1it}+\beta_2x_{2it}+ \beta_{3t}x_{3it} + \varepsilon_{it}\)
其中\(x_{1it} 表示第i个个体在t时刻的第1个变量值， \beta_1表示第1个变量前的参数\)
其中\(x_{2it} 表示第i个个体在t时刻的第2个变量值， \beta_2表示第2个变量前的参数\)
其中\(x_{3it} 表示第i个个体在t时刻的第3个变量值， \beta_{3t}表示依赖于第t个时段特质(第t个时段是依据时间段分类的类别，表示时间段变动影响x_3的斜率)、第3个变量前的参数\)
估计方法
- 最小二乘虚拟变量法（LSDV）
引入虚拟变量进行回归
举例，以截距项为个体固定效应，系数为个体固定效应：
考虑\(\beta_2 与 \beta_3\)受到性别的影响
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + \beta_1 x_{1it}+\beta_{2i}x_{2it}+ \beta_{3i}x_{3it} + \varepsilon_{it}\)
\(=\alpha_0 +\alpha_i +\beta_1 x_{1it}+(\beta_{2}x_{2it}+ \gamma_1 x_{2it}*D_1+ \gamma_2 x_{2it}*D_2)+( \beta_{3}x_{3it} + \eta_1 x_{3it}*D_1+\eta_2 x_{3it}*D_2)+ \varepsilon_{it}\)
\(=\alpha_0 +\alpha_i +\beta_1 x_{1it}+( \gamma_{3}x_{2it}*D_3+ \gamma_1 x_{2it}*D_1+ \gamma_2 x_{2it}*D_2)+ (\eta_{3}x_{3it}*D_3 + \eta_1 x_{3it}*D_1+\eta_2 x_{3it}*D_2)+ \varepsilon_{it}\)
设置虚拟变量：
\(D_1=\begin{cases} 1 &\text{if } 第i个个体性别为男性 \\ 0 &\text{if } 第i个个体性别为其他 \end{cases}\)
\(D_2=\begin{cases} 1 &\text{if } 第i个个体性别为女性 \\ 0 &\text{if } 第i个个体性别为其他 \end{cases}\)
\(D_3=\begin{cases} 1 &\text{if } 第i个个体性别为中性 \\ 0 &\text{if } 第i个个体性别为其他 \end{cases}\)
注意：这里引入m-1个虚拟变量与m个虚拟变量的两种方式等价。
随机系数模型
这个模型是有局限性的：模型多多少少会忽略一些解释变量，因此会导致截距项与解释变量相关。所以说模型设置为个体固定效应的模型很正常。随机变系数效应模型的截距项也应该是随机的，截距项如果不是随机的最好不要用随机变系数效应模型。
模型举例：
Swamy随机模型：
\(Y_i=X_i\tilde{\beta_i}+\varepsilon_i,i=1,2,...,N\)
\(\tilde{\beta_i}=\beta_0+\beta_i\)
\(E(\beta_i)=0_{k *1},\)
\(E(\beta_i\beta_j')=\begin{cases} \Delta_i &\text{ }i=j \\ 0 &\text{ } i \neq j \end{cases}\);
\(E(X_{it}'\beta_i)=0\);
\(E(\varepsilon_i\varepsilon_j')=\begin{cases} \sigma_i &\text{ }i=j \\ 0 &\text{ } i \neq j \end{cases}\);
模型设定检验
由于我们不知道模型中哪些变量的系数是变动的，所以需要依据检验是否某个变量的系数是变动的
- 数据量很大，可以考虑全部变量系数变化
- 依次从全部变量系数不同，m-1个系数不同，m-2个系数不同，...,1个系数不同逐个检验（此方法用于变量个数很多或者虚拟变量个数很多的情形）
LR检验
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i +\beta_1 x_{1it}+(\beta_{2}x_{2it}+ \gamma_1 x_{2it}*D_1+ \gamma_2 x_{2it}*D_2)+( \beta_{3}x_{3it} + \eta_1 x_{3it}*D_1+\eta_2 x_{3it}*D_2)+ \varepsilon_{it}\)
原假设：\(\gamma_1=\gamma_2=\eta_1=\eta_2=0\)；（变量的系数不变动）
备择假设：\(\gamma_1,\gamma_2,\eta_1,\eta_2\)不全为0；（变系数模型）
LR检验的无约束回归方程（备择假设成立）：
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i +\beta_1 x_{1it}+(\beta_{2}x_{2it}+ \gamma_1 x_{2it}*D_1+ \gamma_2 x_{2it}*D_2)+( \beta_{3}x_{3it} + \eta_1 x_{3it}*D_1+\eta_2 x_{3it}*D_2)+ \varepsilon_{it}\)
计算\(lnL_u\)
LR检验的约束回归方程（原假设成立）：
\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + \beta_1 x_{1it}+\beta_{2}x_{2it}+ \beta_{3}x_{3it} + \varepsilon_{it}\)
计算\(lnL_r\)
Swamy检验
\(Y_i=X_i\tilde{\beta_i}+\varepsilon_i,i=1,2,...,N\)
\(\tilde{\beta_i}=\beta_0+\beta_i\)
\(E(\beta_i)=0_{k *1},\)
原假设：\(\beta_0=\beta_1=\beta_2=\beta_3=...=\beta_N\) （不变系数）
备择假设：\(\beta_0,\beta_1,\beta_2,\beta_3,...,\beta_N\)不全相等（变系数）
- 同方差\(var(\varepsilon_i)=\sigma_\varepsilon^2\)
服从F分布 - 异方差\(var(\varepsilon_i)=\sigma_i^2\)
检验统计量为 \(Sw=\displaystyle\sum_{i=1}^N\frac{(\hat\beta_i-\hat\beta_0^*)'X_i'X_i(\hat\beta_i-\hat\beta_0^*)}{\hat\sigma_i^2}\xrightarrow[]{d}\chi^2((N-1)k)(给定N;T\xrightarrow{} \infty时 )\)
\(\hat\beta_0^*=(\displaystyle\sum_{i=1}^N\hat\sigma_i^2X_i'X_i)^{-1}(\displaystyle\sum_{i=1}^N\hat\sigma_i^2X_i'Y_i)\)
模型检验步骤
固定效应
LR逐次检验：
-
原假设：混合回归模型（截距与斜率都不变）
备择假设：截距项与斜率项（k个变量）发生变化
此时：不拒绝原假设，建立混合回归模型，检验结束；拒绝原假设，截距项与斜率项之中至少有一项在变化，因此进入下一步检验。 -
引入截距项的约束函数，验证是否成立
原假设：变量的斜率变化 (约束条件成立)
备择假设：截距项、变量的斜率变化（约束条件不成立）
此时：不拒绝原假设，认为截距项不变。接下来要检验哪些变量的斜率发生变化；拒绝原假设，认为截距项变化，接下来需要检验截距项随时点变化、个体变化、个体时点变化，以及哪些变量的斜率发生变化。 -
在上一步原假设的基础上在引入任意k-1个关于变量系数的约束条件，有1个变量系数自由另外的k-1个约束条件的，认为这1个变量系数为模型唯一变动的变量系数，否则认为至少有2个变量系数变动。
原假设：个体FX变截距，考察其中一个变量变化，另外k-1个变量不发生变化。
备择假设：个体FX变截距，至少有两个变量系数变化。
此时：不拒绝原假设，我们认为个体FE变截距，且只有一个变量斜率发生变动。检验结束。
拒绝原假设，认为截距项发生变动，并且k-1个变量的斜率中至少有一个会变。继续检验。 -
减少1个约束条件个数，重复第三步检验。
随机效应原假设：混合模型
备择假设：截距项、所有变量（k个变量）的斜率都是随机效应。
此时：若不拒绝原假设，表明建立混合（pool）模型，检验到此结束。
若拒绝原假设，建立随机系数模型。
注意：随机系数模型的截距项也应该是随机效应。