（pytorch-深度学习系列）pytorch避免过拟合-权重衰减的实现-学习笔记

pytorch避免过拟合-权重衰减的实现

首先学习基本的概念背景

L0范数是指向量中非0的元素的个数；(L0范数难优化求解)
L1范数是指向量中各个元素绝对值之和；
L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。
权重衰减等价于 L2范数正则化（regularization）。正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较小，是应对过拟合的常用手段。

对于线性回归损失函数

\[\ell(w_1, w_2, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y^{(i)}\right)^2 \]

其中\(w_1, w_2\)是权重参数，\(b\)是偏差参数，样本\(i\)的输入为\(x_1^{(i)}, x_2^{(i)}\)，标签为\(y^{(i)}\)，样本数为\(n\)。将权重参数用向量\(\boldsymbol{w} = [w_1, w_2]\)表示，带有\(L_2\)范数惩罚项的新损失函数为

\[\begin{aligned}\ell(w_1, w_2, b) + \frac{\lambda}{2n} |\boldsymbol{w}|^2,\end{aligned} \]

其中超参数\(\lambda > 0\)。当权重参数均为0时，惩罚项最小。当\(\lambda\)较大时，惩罚项在损失函数中的比重较大，这通常会使学到的权重参数的元素较接近0。当\(\lambda\)设为0时，惩罚项完全不起作用。上式中\(L_2\)范数平方\(|\boldsymbol{w}|^2\)展开后得到\(w_1^2 + w_2^2\)。有了\(L_2\)范数惩罚项后，在小批量随机梯度下降中，我们将线性回归中权重\(w_1\)和\(w_2\)的迭代方式更改为

\[\begin{aligned} w_1 &\leftarrow \left(1- \frac{\eta\lambda}{|\mathcal{B}|} \right)w_1 - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}}x_1^{(i)} \left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y^{(i)}\right),\end{aligned} \]

\[\begin{aligned}\ w_2 &\leftarrow \left(1- \frac{\eta\lambda}{|\mathcal{B}|} \right)w_2 - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}}x_2^{(i)} \left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y^{(i)}\right). \end{aligned} \]

注：
原线性回归的\(w_1\)和\(w_2\)的迭代方式为

\[\begin{aligned} w_1 &\leftarrow w_1 - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \frac{ \partial \ell^{(i)}(w_1, w_2, b) }{\partial w_1} = w_1 - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}}x_1^{(i)} \left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y^{(i)}\right), \end{aligned} \]

\[\begin{aligned}\ w_2 &\leftarrow w_2 - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \frac{ \partial \ell^{(i)}(w_1, w_2, b) }{\partial w_2} = w_2 - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}}x_2^{(i)} \left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y^{(i)}\right), \end{aligned} \]

\[\begin{aligned}\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \frac{ \partial \ell^{(i)}(w_1, w_2, b) }{\partial b} = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}}\left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y^{(i)}\right). \end{aligned} \]

在上式中，\(|\mathcal{B}|\) 代表每个小批量中的样本个数（批量大小，batch size），\(\eta\) 称作学习率（learning rate）并取正数。这里的批量大小和学习率的值是人为设定的，并不是通过模型训练学出的，因此叫作超参数（hyperparameter）。我们通常所说的“调参”指的正是调节超参数，例如通过反复试错来找到超参数合适的值。在少数情况下，超参数也可以通过模型训练学出。

可见，\(L_2\)范数正则化令权重\(w_1\)和\(w_2\)先自乘小于1的数，再减去不含惩罚项的梯度。因此，\(L_2\)范数正则化又叫权重衰减。权重衰减通过惩罚绝对值较大的模型参数为需要学习的模型增加了限制，这可能对过拟合有效。实际场景中，我们有时也在惩罚项中添加偏差元素的平方和。

设置一个过拟合问题

以高维线性回归为例来引入一个过拟合问题，并使用权重衰减来应对过拟合。设数据样本特征的维度为\(p\)。对于训练数据集和测试数据集中特征为\(x_1, x_2, \ldots, x_p\)的任一样本，我们使用如下的线性函数来生成该样本的标签：

\[y = 0.05 + \sum_{i = 1}^p 0.01x_i + \epsilon \]

其中噪声项\(\epsilon\)服从均值为0、标准差为0.01的正态分布。
为了较容易地观察过拟合，我们考虑高维线性回归问题，如设维度\(p=200\)；同时，我们特意把训练数据集的样本数设低，如20。

%matplotlib inline
import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np

n_train, n_test, num_inputs = 20, 100, 200
true_w, true_b = torch.ones(num_inputs, 1) * 0.01, 0.05

features = torch.randn((n_train + n_test, num_inputs))
labels = torch.matmul(features, true_w) + true_b
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()), dtype=torch.float)
train_features, test_features = features[:n_train, :], features[n_train:, :]
train_labels, test_labels = labels[:n_train], labels[n_train:]

这里就定义好了线性回归问题，现在开始设置模型进行线性回归求解：

随机初始化模型参数的函数：

def init_params():
    w = torch.randn((num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

定义\(L_2\)范数惩罚项：

def l2_penalty(w):
    return (w**2).sum() / 2

定义训练模型需要的函数

def linreg(X, w, b):
    return torch.mm(X, w) + b

def squared_loss(y_hat, y): 
    # 注意这里返回的是向量, 另外, pytorch里的MSELoss并没有除以 2
    return ((y_hat - y.view(y_hat.size())) ** 2) / 2
    
def sgd(params, lr, batch_size):
    # 为了和原书保持一致，这里除以了batch_size，但是应该是不用除的，因为一般用PyTorch计算loss时就默认已经
    # 沿batch维求了平均了。
    for param in params:
        param.data -= lr * param.grad / batch_size # 注意这里更改param时用的是param.data

def semilogy(x_vals, y_vals, x_label, y_label, x2_vals=None, y2_vals=None,
             legend=None, figsize=(3.5, 2.5)):
    set_figsize(figsize)
    plt.xlabel(x_label)
    plt.ylabel(y_label)
    plt.semilogy(x_vals, y_vals)
    if x2_vals and y2_vals:
        plt.semilogy(x2_vals, y2_vals, linestyle=':')
        plt.legend(legend)
    # plt.show()

训练模型：

batch_size, num_epochs, lr = 1, 100, 0.003
net, loss = linreg, squared_loss

dataset = torch.utils.data.TensorDataset(train_features, train_labels)
train_iter = torch.utils.data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=True)

def fit_and_plot(lambd):
    w, b = init_params()
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 添加了L2范数惩罚项
            l = loss(net(X, w, b), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l = l.sum()
            
            if w.grad is not None:
                w.grad.data.zero_()
                b.grad.data.zero_()
            l.backward()
            sgd([w, b], lr, batch_size)
        train_ls.append(loss(net(train_features, w, b), train_labels).mean().item())
        test_ls.append(loss(net(test_features, w, b), test_labels).mean().item())
    semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
                 range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
    print('L2 norm of w:', w.norm().item())

训练并测试高维线性回归模型。当lambd设为0时，我们没有使用权重衰减。结果训练误差远小于测试集上的误差。这是典型的过拟合现象。

fit_and_plot(lambd=0)

使用权重衰减

fit_and_plot(lambd=3)

你会发现训练误差虽然有所提高，但测试集上的误差有所下降。

可以直接在构造优化器实例时通过weight_decay参数来指定权重衰减超参数默认下，PyTorch会对权重和偏差同时衰减。我们可以分别对权重和偏差构造优化器实例，从而只对权重衰减。
修改上面的训练代码：

def fit_and_plot_pytorch(wd):
    # 对权重参数衰减。权重名称一般是以weight结尾
    net = nn.Linear(num_inputs, 1)
    nn.init.normal_(net.weight, mean=0, std=1)
    nn.init.normal_(net.bias, mean=0, std=1)
    optimizer_w = torch.optim.SGD(params=[net.weight], lr=lr, weight_decay=wd) # 对权重参数衰减
    optimizer_b = torch.optim.SGD(params=[net.bias], lr=lr)  # 不对偏差参数衰减
    
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            l = loss(net(X), y).mean()
            optimizer_w.zero_grad()
            optimizer_b.zero_grad()
            
            l.backward()
            
            # 对两个optimizer实例分别调用step函数，从而分别更新权重和偏差
            optimizer_w.step()
            optimizer_b.step()
        train_ls.append(loss(net(train_features), train_labels).mean().item())
        test_ls.append(loss(net(test_features), test_labels).mean().item())
    semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
                 range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
    print('L2 norm of w:', net.weight.data.norm().item())

通过设置不同的衰减权重：

fit_and_plot_pytorch(0) #labmda=0,不衰减
fit_and_plot_pytorch(3) #labmda=3,衰减