一.实验内容
（1）求任意一个命题公式的真值表。
（2）利用真值表求任意一个命题公式的主范式。
（3）利用真值表进行逻辑推理。
注：（2）和（3）可在（1）的基础上完成。
二.实验目的
真值表是命题逻辑中的一个十分重要的概念，利用它几乎可以解决命题逻辑中的所有问题。例如，利用命题公式的真值表，可以判断命题公式的类型、求命题公式的主范式、判断两命题公式是否等价，还可以进行推理等。
本实验通过编写一个程序，让计算机给出命题公式的真值表，并在此基础上进行命题公式类型的判定、求命题公式的主范式等。目的是让学生更加深刻地理解真值表的概念，并掌握真值表的求解方法及其在解决命题逻辑中其他问题中的应用。
三.算法的主要思想
利用计算机求命题公式真值表的关键是：①给出命题变元的每一组赋值；②计算命题公式在每一组赋值下的真值。
真值表中命题变元的取值具有如下规律：每列中0和1是交替出现的，且0和1连续出现的个数相同。n个命题变元的每组赋值的生成算法可基于这种思想。
含有n个命题变元的命题公式的真值的计算采用的方法为“算符优先法”。
为了程序实现的方便，约定命题变元只用一个字母表示，非、合取、析取、条件和双条件联结词分别用！、&、|、－、＋来表示。
算符之间的优先关系如表1-32所示：
表1-32 算符优先级
|
|
＋ － | & ! （ ） # |
| ＋ － | & ! （ ） # |
＞ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＜ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＞ ＞ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＝ E ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ E ＞ ＞ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ E ＝ |
为实现算符优先算法，我们采用两个工作栈。一个称作OPTR，用以寄存运算符；另一个称作OPND，用以寄存操作数或运算结果。
四.算法的具体实现
（1）定义全局的属性：
（这里栈就直接调用C++有的库#include<stack>,就不用自己再写栈的代码）
运算符栈OPTR
操作数或运算结果栈OPND
常量操作字符集合operateChar
公式中的变元VarList
stack<bool> OPND;//操作数或运算结果栈
stack<char> OPTR;//运算符栈
const char operateChar[8] = { '+', '-', '|', '&', '!', '(', ')','#' };//运算符(+:等价、-:蕴涵、|:析取、&:合取、!:否定
string VarList;//保存公式中的变元
（2）判断字符是否是运算符
//判断字符是否是运算符
bool In(char ch) {
for (int i = 0; i < (int)strlen(operateChar); i++)
if (operateChar[i] == ch)
return true;
return false;
}
（3）比较运算符的优先级
这里可以直接用二维字符数组实现运算符优先级表，将OPTR的栈顶运算符(theta1)与新输入的运算符(theta1)作比较，各自按照operateChar的顺序赋值就可以得到优先级
//比较运算符的优先级
char Precede(char theta1, char theta2) {
//运算符优先级表
char operate_Table[8][9] = {
"><<<<<>>",
">><<<<>>",
">>><<<>>",
">>>><<>>",
">>>>><>>",
"<<<<<<=E",
">>>>>E>>",
"<<<<<<E="
};
int theta1_Index=0, theta2_Index=0;//定义运算符1和运算符2的索引
for (int i = 0; i < (int)strlen(operateChar); i++){
if (operateChar[i] == theta1)
theta1_Index = i ;
if (operateChar[i] == theta2)
theta2_Index = i ;
}
return operate_Table[theta1_Index][theta2_Index];
}
（4）计算表达式，并将结果返回（这里是计算双目的，在这次试验命题公式中只有!是单目运算符所以到时直接在计算表达式时直接计算）
//计算表达式，并将结果返回(双目)
bool Calculate(bool x, char operate, bool y) {
switch (operate)
{
case '+': return (((!x) || y) && (x || (!y))); break;
case '-': return ((!x) || y); break;
case '|': return x || y; break;
case '&': return x && y; break;
}
return -1;
}
（5）判断是否是字母（用来将公式中的命题变元提取出来），然后将变元按递增顺序赋值给VarList
我就只做了小写字母的，大写字母可以自己改下判断条件
//判断是否是字母(仅小写字母)
bool isAlpha(char ch) {
if (((int)ch >= 97 && (int)ch <= 122)&&VarList.find(ch)==-1)//若字符的ascii码在97~122中则是字母
return true;
else return false;
}
//提取公式字符串中全部命题变元，并按递增顺序存放在VarList中
void createVarList(string source) {
int indexNum=0;//比较字母用的下标
for (auto ch:source) {
if (isAlpha(ch))
VarList += ch;
}
for (int i = 0; i < VarList.length()-1;i++) {
for (int j = 0; j < VarList.length() - i-1; j++) {
if ((int)VarList[j] > (int)VarList[j + 1]) {
char temp = VarList[j];
VarList[j] = VarList[j + 1];
VarList[j + 1] = temp;
}
}
}
}
（6）计算表达式
bool InfixValue(string source) {
OPTR.push('#');
char item = source[0];
bool OPNDtop2, OPNDtop1;
char OPTRtop;
int i = 1;
while (item != '#' || OPTR.top() != '#') {
if (!In(item)) {
if (item == '0')
OPND.push(false);
else
OPND.push(true);
item = source[i++];
}
else if (OPTR.top() == '!')
{
OPTR.pop();
OPNDtop1 = OPND.top();
OPND.pop();
OPND.push(!OPNDtop1);
}
else
{
switch (Precede(OPTR.top(), item))
{
case '<':
OPTR.push(item);
item = source[i++];
break;
case '>':
OPTRtop = OPTR.top();
OPTR.pop();
OPNDtop1 = OPND.top();
OPND.pop();
OPNDtop2 = OPND.top();
OPND.pop();
OPND.push(Calculate(OPNDtop2, OPTRtop, OPNDtop1));
break;
case '=':
OPTR.pop();
item = source[i++];
break;
}
}
}
return OPND.top();
}
（7）因为我们要获得变元所有的取值情况，所以可以当成二进制来依次递增
比如 变元有 a b c 三个，就是从 000 开始依次取到111
这就需要一个对二进制增值的方法
//依次取值的二进制值加1
void IncreaseVarValue(char(&v)[26], int& flag) {
int m = 1;
int n = VarList.length();
for (int j = n - 1; j > -1; j--) {
int temp;
temp = int(v[j]) - 48;
flag = flag + temp;
if (flag == 2) {
v[j] = '0'; flag = 1;
}
else {
v[j] = '1'; flag = 0; break;
}
}
}
（8）得到真值表
void TruthTable(string expression,bool * &truthTab,string *&expressionValueList,string *&trowList,int &CircleNum) {
int m = 1;
int n = VarList.length();
int flag;
char trow[26];//表达式中变元的依次取值
for (int i = 0; i < n; i++) { m *= 2; trow[i] = '0'; }
string* expressionValueList_IN = new string[m];
string* trowList_IN = new string[m];
bool *truthtable_IN=new bool[m];//真值表中的值
CircleNum = m;
//转换成用0或1表示的表达式
for (int i = 0; i < m; i++) {
string value1 = expression;//因为公式是字符串无法直接计算，所以定义value1，将里面的命题变元变成0或1
//使表达式的变元用0或1表示
for (int j = 0; j < n; j++) {
char x = VarList[j];
for (int k = 0; k < expression.length(); k++) {
char a = value1[k];
if (value1[k] == x)
value1[k] =trow[j];
}
}
trowList_IN[i] = trow;
expressionValueList_IN[i] = value1;
truthtable_IN[i] = InfixValue(value1);//将得出来的值依次给truthtable
flag = 1;
IncreaseVarValue(trow,flag);
}
truthTab = truthtable_IN;
expressionValueList = expressionValueList_IN;
trowList = trowList_IN;
}
（9）最后输出真值表
//输出真值表
void PrintTable(string expression) {
string* expressionValueList;//用来保存所有的表达式
string* trowList;//保存变元的所有取值
bool* truthtab;//保存所有的表达式的值
int CircleNum;//循环次数
createVarList(expression);
TruthTable(expression, truthtab, expressionValueList, trowList,CircleNum);
//打印真值表
for (int i = 0; i < VarList.length(); i++) {
cout << VarList[i] << "\t";
}
cout << expression <<"\t" <<"值"<<endl;
for (int i = 0; i < CircleNum; i++) {
for (int j = 0; j < VarList.length(); j++) {
cout << trowList[i][j] << "\t";
}
cout << expressionValueList[i] << "\t" << truthtab[i] << endl;;
}
}
完整的代码：
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<stack>
using namespace std;
stack<bool> OPND;//操作数或运算结果栈
stack<char> OPTR;//运算符栈
const char operateChar[8] = { '+', '-', '|', '&', '!', '(', ')','#' };//运算符(+:等价、-:蕴涵、|:析取、&:合取、!:否定
string VarList;//保存公式中的变元
//判断字符是否是运算符
bool In(char ch) {
for (int i = 0; i < (int)strlen(operateChar); i++)
if (operateChar[i] == ch)
return true;
return false;
}
//比较运算符的优先级
char Precede(char theta1, char theta2) {
//运算符优先级表
char operate_Table[8][9] = {
"><<<<<>>",
">><<<<>>",
">>><<<>>",
">>>><<>>",
">>>>><>>",
"<<<<<<=E",
">>>>>E>>",
"<<<<<<E="
};
int theta1_Index=0, theta2_Index=0;//定义运算符1和运算符2的索引
for (int i = 0; i < (int)strlen(operateChar); i++){
if (operateChar[i] == theta1)
theta1_Index = i ;
if (operateChar[i] == theta2)
theta2_Index = i ;
}
return operate_Table[theta1_Index][theta2_Index];
}
//计算表达式，并将结果返回(双目)
bool Calculate(bool x, char operate, bool y) {
switch (operate)
{
case '+': return (((!x) || y) && (x || (!y))); break;
case '-': return ((!x) || y); break;
case '|': return x || y; break;
case '&': return x && y; break;
}
return -1;
}
//判断是否是字母(仅小写字母)
bool isAlpha(char ch) {
if (((int)ch >= 97 && (int)ch <= 122)&&VarList.find(ch)==-1)//若字符的ascii码在97~122中则是字母
return true;
else return false;
}
//提取公式字符串中全部命题变元，并按递增顺序存放在VarList中
//比如 (!a-d)-（c+b) VarList值就是 "abcd"
void createVarList(string source) {
int indexNum=0;//比较字母用的下标
for (auto ch:source) {
if (isAlpha(ch))
VarList += ch;
}
for (int i = 0; i < VarList.length()-1;i++) {
for (int j = 0; j < VarList.length() - i-1; j++) {
if ((int)VarList[j] > (int)VarList[j + 1]) {
char temp = VarList[j];
VarList[j] = VarList[j + 1];
VarList[j + 1] = temp;
}
}
}
}
//计算表达式
bool InfixValue(string source) {
OPTR.push('#');
char item = source[0];
bool OPNDtop2, OPNDtop1;
char OPTRtop;
int i = 1;
while (item != '#' || OPTR.top() != '#') {
if (!In(item)) {
if (item == '0')
OPND.push(false);
else
OPND.push(true);
item = source[i++];
}
else if (OPTR.top() == '!')
{
OPTR.pop();
OPNDtop1 = OPND.top();
OPND.pop();
OPND.push(!OPNDtop1);
}
else
{
switch (Precede(OPTR.top(), item))
{
case '<':
OPTR.push(item);
item = source[i++];
break;
case '>':
OPTRtop = OPTR.top();
OPTR.pop();
OPNDtop1 = OPND.top();
OPND.pop();
OPNDtop2 = OPND.top();
OPND.pop();
OPND.push(Calculate(OPNDtop2, OPTRtop, OPNDtop1));
break;
case '=':
OPTR.pop();
item = source[i++];
break;
}
}
}
return OPND.top();
}
//依次取值的二进制值加1
void IncreaseVarValue(char(&v)[26], int& flag) {
int m = 1;
int n = VarList.length();
for (int j = n - 1; j > -1; j--) {
int temp;
temp = int(v[j]) - 48;
flag = flag + temp;
if (flag == 2) {
v[j] = '0'; flag = 1;
}
else {
v[j] = '1'; flag = 0; break;
}
}
}
//得到真值表
void TruthTable(string expression,bool * &truthTab,string *&expressionValueList,string *&trowList,int &CircleNum) {
int m = 1;
int n = VarList.length();
int flag;
char trow[26];//表达式中变元的依次取值
for (int i = 0; i < n; i++) { m *= 2; trow[i] = '0'; }
string* expressionValueList_IN = new string[m];
string* trowList_IN = new string[m];
bool *truthtable_IN=new bool[m];//真值表中的值
CircleNum = m;
//转换成用0或1表示的表达式
for (int i = 0; i < m; i++) {
string value1 = expression;//因为公式是字符串无法直接计算，所以定义value1，将里面的命题变元变成0或1
//使表达式的变元用0或1表示
for (int j = 0; j < n; j++) {
char x = VarList[j];
for (int k = 0; k < expression.length(); k++) {
char a = value1[k];
if (value1[k] == x)
value1[k] =trow[j];
}
}
trowList_IN[i] = trow;
expressionValueList_IN[i] = value1;
truthtable_IN[i] = InfixValue(value1);//将得出来的值依次给truthtable
flag = 1;
IncreaseVarValue(trow,flag);
}
truthTab = truthtable_IN;
expressionValueList = expressionValueList_IN;
trowList = trowList_IN;
}
//输出真值表
void PrintTable(string expression) {
string* expressionValueList;//用来保存所有的表达式
string* trowList;//保存变元的所有取值
bool* truthtab;//保存所有的表达式的值
int CircleNum;//循环次数
createVarList(expression);
TruthTable(expression, truthtab, expressionValueList, trowList,CircleNum);
//打印真值表
for (int i = 0; i < VarList.length(); i++) {
cout << VarList[i] << "\t";
}
cout << expression <<"\t" <<"值"<<endl;
for (int i = 0; i < CircleNum; i++) {
for (int j = 0; j < VarList.length(); j++) {
cout << trowList[i][j] << "\t";
}
cout << expressionValueList[i] << "\t" << truthtab[i] << endl;;
}
}
void main() {
system("pause");
while (true) {
cout << "*****************************************************" << endl;
cout << "*** +表示等价 ***" << endl;
cout << "*** -表示蕴涵 ***" << endl;
cout << "*** &表示合取 ***" << endl;
cout << "*** |表示析取 ***" << endl;
cout << "*** 注：必须用#结束 ***" << endl;
cout << "*** 输入1退出程序 ***" << endl;
cout << "*****************************************************" << endl;
cout << "请输入命题公式：";
string expression;
cin >> expression;
if (expression == "1") {
break;
}
//如果没有#
if (expression.find('#') != expression.length() - 1)
{
cout << "请以#结束！" << endl;;
system("pause");
system("cls");
continue;
}
PrintTable(expression);
system("pause");
system("cls");
}
}