字节跳动真题：用动态规划解旅行商问题

小明目前在做一份毕业旅行的规划。打算从北京出发，分别去若干个城市，然后再回到北京，每个城市之间均乘坐高铁，且每个城市只去一次。由于经费有限，希望能够通过合理的路线安排尽可能的省一些路上的花销。给定一组城市和每对城市之间的火车票的价钱，找到每个城市只访问一次并返回起点的最小车费花销。

输入描述：

城市个数n（1<n≤20，包括北京, 北京为城市0）

城市间的车票价钱 n行n列的矩阵 m[n][n]

输出描述：

最小车费花销 s

示例：

输入：

4
0 2 6 5
2 0 4 4
6 4 0 2
5 4 2 0

输出：

13

思路：

dp[0][{1,2,3}]表示从城市0出发，经过城市1,2,3并返回城市0需要的最少车费，那么该问题可以分解为：

dp[0][{1,2,3}] = min（cost（0,1）+ dp[1][{2,3}], cost(0,2) + dp[2][{1,3}], cost(0,3) + dp[3][{1,2}]），表示先从城市0到城市1，在从城市1出发，经过城市2,3并返回城市0的车费、

先从城市0到城市2，在从城市2出发，经过城市1,3并返回城市0的车费、先从城市0到城市3，在从城市3出发，经过城市1,2并返回城市0的车费，这3个里的最小值就是最后的答案。

把思路转化成代码需要解决两个问题：

1.在dp数组中{1,2,3}这种城市的集合怎么表示

2.在选好出发城市后，怎么把这和城市在城市集合中删除

针对问题1：对城市集合用二进制编码，{1,2,3}表示为111=7，{2,3}表示为110=6，{1,3}表示为101=5，以此类推

针对问题2：根据问题1的编码方式，删除一个城市就是把它在二进制编码中对应的位置从1变成0，可以通过把1左移对应的位数，然后做异或实现

代码：

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[][] c = new int[n][n];
        for(int i = 0; i < n; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                c[i][j] = sc.nextInt();
            }
        }
        int v = 1 << (n - 1);    // 城市集合二进制编码的范围是0-（1 << (n - 1)） - 1
        int[][] dp = new int[n][v];
        for(int i = 0; i < n; i++){
            dp[i][0] = c[i][0];          //  base case，从城市i出发，不经过其他城市，最后返回城市0，那最少车费就是i到0的费用
        }
        for(int j = 1; j < v; j++ ){             // 注意，这里的遍历方向是竖着遍历的，因为根据动态规划的数组遍历原则，遍历的终点是最后的答案，而这道题终点是dp[0][v-1],也就是数组的右上角，而且在v-1这列，只有第0行会存值，所以可以对每一列从上到下遍历
            for(int i = 0; i < n; i++){
                if(((j >> (i - 1)) & 1) == 0){     // 起点城市不在需要的城市集合里才能继续，因为对于dp[1][{1,2,3}]表示从1出发，经过1,2,3后回到0，城市1被重复经过，不符合题目要求
                    dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                    for(int k = 1; k < n; k++){
                        if(((j >> (k - 1)) & 1) == 1){    //  表示要选的新的起点，在城市集合里
                            dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], c[i][k] + dp[k][j ^ (1 << (k - 1))]);
                        }
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[0][v - 1]);
    }
}