求逆元

求 7 关于 26 的逆元！

扩展的欧几里得算法

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

//欧几里得函数
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y, int &d) {
        if (!b) {
                d = a, x = 1, y = 0;
        } else {
                exgcd(b, a % b, y, x, d);
                y -= x * (a / b);
        }
}
int inv(int t, int p) {                  //返回t对p的逆元
        int d, x, y;
        exgcd(t, p, x, y, d);
        return (x % p + p) % p;        //x可能为负，也可能过大
}

int main() {
        int m = 7, n = 26;
        printf("%d", inv(m, n));
        return 0 ;
}

或者

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩展欧几里得算法 
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
int getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1 
{
    int x,y;
    int d=exgcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}
int main() {
        int m = 7, n = 26;
        printf("%d", getInv(m, n));
        return 0 ;
}　

手算　　

方法1（辗转相除法）

求7关于26的逆元，即 7 ^-1 

设 7^-1 为 X，即7 * X = 1 mod 26 ，求 X 即可

26 / 7 = 3  余 5

7 / 5 = 1 余 2

5 / 2 = 2 余 1

---

则：

1 = 5 - 2 * 2

1 = 5 - 2 * (7 - 5 * 1) = 3 * 5 - 2 * 7

1 = 3 * (26 - 3 * 7) - 2 * 7=  3 * 26 - 11 * 7

故 7^-1  = -11，由于 -11 不在Z_q^*中，故  7^-1  = 26 - 11 = 15

方法2

参考：链接

原理：

首先对余数进行辗转相除：
N = A * a0 + r0
A = r0 * a1 + r1
r0 = r1 * a2 + r2
r1 = r2 * a3 + r3
…
rn-2 = rn-1 * an + rn
rn-1 = rn * an+1 + 0

对上面的商数逆向排列（不含余数为0的商数）：

其中：

b-1 = 1
b0 = an
bi = an-1 * bi-1 + bi-2
商个数为偶数，则bn即为所求的逆元B；
商个数为奇数，则N-bn即为所求的逆元B

求7关于26的逆元：

辗转相除法：

26 = 3 * 7 + 5

7 = 1 * 5  + 2

5 = 2 * 2 + 1

---

因为商的个数为奇数，故 7^-1 = 26 - 11 = 15

方法3（Bezout恒等式）

原理：用矩阵行初等变换的方法求Bezout，进而求逆元

参考：链接

求多项式的乘法逆元

原理：用矩阵行初等变换的方法求Bezout，进而求逆元

Bezout恒等式

设a , b ∈ Z ，则a , b的最大公约数可以表示为：
g c d ( a , b ) = d = s a + t b

把d = s a + t b称作Bezout恒等式。

更多Bezout恒等式请参考：链接

矩阵的行初等变换求解Bezout恒等式

这里以一个具体的实例来说明,求g c d ( 5 , 177 )：

1、先把欲求的两个数写成如下的矩阵形式,即是以5和17为第一列，后面拼一个单位矩阵。

2、将上述矩阵行初等变换至5和17这两个位置任意一个为0即可，另一个位置的值就是a和b的最大公约数。

3、得到Bezout恒等式,上述两个*位置表示这个问题中，不需要关注那两个位置的值
1 = 177 ∗ − 2 + 71 ∗ 5

4、如果最大公约数为1,则可以方便的看出其中一个元素的逆元。上式两端同时模177
71 ∗ 5 ≡ 1 m o d 177

5、这样就得到71和5在Z ₁₇₇ 中 的 逆 元，即5相对于177的逆元是71

求解G F （ 2 ⁸）上的多项式乘法逆元

求通过不可约多项式x ⁸ + x ⁴ + x ³ + x + 1构造G F ( 2 ⁸ )上( 09 ) _H​在上的乘法逆元。

1.( 09 )_H​转换为多项式

( 09 ) _H = 00001001 = x ³ + 1

2.求x ³ + 1在x ⁸ + x ⁴ + x ³ + x + 1上的逆元,构造矩阵

 

3.行初等变换至标准形式(注意合并多项式的时候系数是模2加法)

4.具体的变换步骤，这里就不详细展开，但给出变换的顺序

• r ₁ − x ⁵ r ₂
• r ₁ − x ² r ₂
• r ₁ − x r ₂
• r ₁ − r ₂
• r ₂ − x r ₁
• r ₁ − x ² r ₂

 

5.最后得到：

即：1 = x.m(x) + (x⁶ + x³ + x² + x + 1).( x³ + 1)

6.显然x ³ + 1的逆元为x ⁶ + x ³ + x ² + x + 1 ，转换为2进制表示01001111，16进制表示( 4 F ) _H