引言
前一阵做了一个有理数四则混合运算的程序（详见：用C++实现的有理数（分数）四则混合运算计算器），以分数形式呈现运算结果。这次添加以循环小数形式呈现运算结果的功能。例如：
Please input a rational expression to calculate its value or input q to quit:
67+34*(23-78/(54*5))-2*(5/37-6.5789)
= 67 + 34 * ( 23 - 78 / ( 270 ))-2*(5/37-6.5789)
= 67 + 34 * ( 23 - 13/45 )-2*(5/37-6.5789)
= 67 + 34 * ( 1022/45 )-2*(5/37-6.5789)
= 67 + 34748/45 -2*(5/37-6.5789)
= 37763/45 -2*(5/37-6.5789)
= 37763/45 - 2 * ( 5/37 -6.5789)
= 37763/45 - 2 * ( 5/37 - 65789/10000 )
= 37763/45 - 2 * ( -2384193/370000 )
= 37763/45 - -2384193/185000
= 852[108737/1665000] {852.0653`075}
算法分析
由分数化循环小数不像由循环小数化分数那么简单明了。比如 0.2`142857 这个小数，它等于 0.2 加上 0.0`142857，用分数表示分别是 2/10 和 142857/9999990，化简即是 1/5 和 1/70，相加并化简得到分数运算结果：3/14。
现在考察由 3/14 如何反推出 0.2`142857。
1、3 / 14 = 0...3 商为0，得到小数形式结果的整数部分，余数不为0，继续
2、30 / 14 = 2...2 商为2，得到小数点后第1位小数，余数不为0，继续
3、20 / 14 = 1...6 商为1，得到小数点后第2位小数，余数不为0，继续
4、60 / 14 = 4...4 商为4，得到小数点后第3位小数，余数不为0，继续
5、40 / 14 = 2...12 商为2，得到小数点后第4位小数，余数不为0，继续
6、120 / 14 = 8...8 商为8，得到小数点后第5位小数，余数不为0，继续
7、80 / 14 = 5...10 商为5，得到小数点后第6位小数，余数不为0，继续
8、100 / 14 = 7...2 商为7，得到小数点后第7位小数，余数不为0，继续
9、20 / 14 = 1...6 商为1，得到小数点后第8位小数，余数不为0，继续
......
上述试商过程，当进行到第8步时，得到的余数是2，和第2步得到的余数相同，于是从第9步开始就会周而复始重复第3步到第8步的过程。说明已经找到了循环小数的循环体。
由于余数要小于指定的除数（即分数中的分母），上述过程必然会在有限的步数（小于除数）出现相同余数。
算法实现
在 SFraction 里增加 toDecimal 接口：
1 struct SFraction 2 { 3 u64 numerator; 4 u64 denominator; 5 bool bNegative; 6 7 SFraction() { 8 numerator = 0; 9 denominator = 1; 10 bNegative = false; 11 } 12 13 std::string toStr(bool bFinal = false) const; 14 std::string toDecimalStr() const; 15 };
SFraction 的 toDecimal 接口实现如下：
1 std::string SFraction::toDecimalStr() const 2 { 3 std::ostringstream oStream; 4 if (bNegative) 5 { 6 oStream << "-"; 7 } 8 u64 quotient = numerator / denominator; 9 oStream << quotient; 10 u64 remainder = numerator % denominator; 11 if (remainder == 0) 12 { 13 return oStream.str(); 14 } 15 oStream << "."; 16 u64 pos = 0; 17 u64 posMatched = 0; 18 std::map<u64, u64> mapRemainderPos; 19 std::vector<u64> vecQuotient; 20 while (true) 21 { 22 mapRemainderPos[remainder] = pos++; 23 remainder *= 10; 24 vecQuotient.push_back(remainder / denominator); 25 remainder = remainder % denominator; 26 if (remainder == 0) 27 break; 28 std::map<u64, u64>::iterator it = mapRemainderPos.find(remainder); 29 if (it != mapRemainderPos.end()) 30 { 31 posMatched = it->second; 32 break; 33 } 34 } 35 if (remainder == 0) 36 { 37 for (size_t idx = 0; idx < vecQuotient.size(); ++idx) 38 oStream << vecQuotient[idx]; 39 return oStream.str(); 40 } 41 size_t idx = 0; 42 for (; idx < posMatched; ++idx) 43 oStream << vecQuotient[idx]; 44 oStream << "`"; 45 for (; idx < vecQuotient.size(); ++idx) 46 oStream << vecQuotient[idx]; 47 return oStream.str(); 48 }
然后对 SFraction 的 toStr 接口稍作调整，即可达到增加循环小数形式的呈现效果：
1 std::string SFraction::toStr(bool bFinal) const 2 { 3 std::ostringstream oStream; 4 if (bNegative) 5 { 6 oStream << "-"; 7 } 8 if (denominator == 1) 9 { 10 oStream << numerator; 11 return oStream.str(); 12 } 13 if (!bFinal) 14 { 15 oStream << numerator << "/" << denominator; 16 return oStream.str(); 17 } 18 if (numerator < denominator) 19 { 20 oStream << numerator << "/" << denominator << " {" << toDecimalStr() << "}"; 21 return oStream.str(); 22 } 23 u64 quotient = numerator / denominator; 24 u64 remainder = numerator % denominator; 25 oStream << quotient << "[" << remainder << "/" << denominator << "] {" << toDecimalStr() << "}"; 26 return oStream.str(); 27 }
完整代码文件提取位置
https://github.com/readalps/RationalCalculator