c语言对杨辉三角的简单实现
杨辉三角是数字与几何的完美融合，杨辉三角有着非常神奇的排列规律。
下面我们来复习以下杨辉三角形的特性，并用程序来输出杨辉三角形。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
如上，可以看出一个很简单的规律：
-
每个数等于它上方两数之和。
-
每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
-
第n行的数字有n项。
利用这三个规律，我们可以用数组来实现杨辉三角的排列。
#include <stdio.h>
#define N 14
void main()
{
int i, j, k, n, arr[N][N]; /*定义二维数组arr[14][14]*/
do
{
printf("请输入要打印的行数：");
scanf("%d",&n);
}
while(n<=0||n>=N-1)； //对打印行数进行判断，避免越界
for(i=1;i<=n;i++)
a[i][1] = a[i][i] = 1; //两边的数令它为1，因为现在循环从1开始，就认为a[i][1]为第一个数
for(i=3;i<=n;i++)
for(j=2;j<=i-1;j++)
a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j]; //除两边的数外都等于上方两数之和
for(i=1;i<=n;i++){
for(k=1;k<=n-i;k++)
printf(" "); //对打印进行排版
for(j=1;j<=i;j++)
printf("%6d",a[i][j]);
printf("\n");
}
return 0;
}
以上就是数组对杨辉三角的实现，如果不想使用数组还可以利用以下规律，进行直接打印。
- 第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
- 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
- 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
简单来说：
利用二项式定理来解决。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数，第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，以此类推。
即：
第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：
C(n-1,m-1)=(n-1)!/{(m-1)!(n-m)!}
下面对这个公式来一个简单的实现
int fac(int a) //定义一个阶乘函数供combi函数调用
{
int i,ret=1; //乘阶的数据量可能会很大，可以把ret定义为float，
if(a ==1 || a == 0)
return 1;
else{
for(i=1;i<=a;i++)
ret = ret*i;
return ret;
}
}
void combi(int n)
{
int i,j,k;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n-i;j++)
printf(" "); //对输出排版
for(k=1;k<=i;k++)
{
printf("%4d",fac(i-1)/(fac(k-1)*fac(i-k))); //利用上述公式进行获取杨辉三角对应的值
}
printf("\n");
}
}
int main()
{
int n;
printf("请输入：");
scanf("%d",&n);
combi(n);
}
可以看出来利用二项式原理，程序逻辑更加的清晰简洁。但是乘阶的计算量比较大，并不赞成使用此种方法。
关于杨辉三角的特性还有很多，有兴趣的还可以进行探究。