算法之洗牌算法（随机置乱算法）

排序算法用于将一个序列变成有序的，而洗牌算法则用于将一个序列打“乱”，可以认为是排序算法相反操作。洗牌算法需要借助随机数实现来打“乱”序列。

什么才是“真的乱”

洗牌算法正确性的判断准则（“乱”的判断依据）：对于包含n个元素的序列，其全排列有n!种可能。故若序列打乱的结果有n!种且每种出现的概率一样，则是正确的洗牌算法。因打乱结果的种数肯定不大于n!，故反例有两种情况：

打乱结果的种数小于n!：显然此时全排列中的某些结果无法由洗牌算法产生，故此时的洗牌算法不对；

打乱结果的种数等于n!但每种的出现的概率不一样

 

怎样做到“真的乱”

洗牌算法代码通过随机获取元素并交换来产生随机结果。

原理：将数组分为已打乱和未打乱的前后两部分（初始时两者分别由0、n个元素），每次随机从未打乱部分中选择一个元素加入到已打乱部分中。易得种数为 n! 。

代码：四种写法本质上一样。

// 得到一个在闭区间 [min, max] 内的随机整数
int randInt(int min, int max);

// 第一种写法
void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length();
    /******** 区别只有这两行 ********/
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        // 从 i 到最后随机选一个元素
        int rand = randInt(i, n - 1);
        /*************************/
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}

// 第二种写法
    for (int i = 0 ; i < n - 1; i++)
        int rand = randInt(i, n - 1);

// 第三种写法
    for (int i = n - 1 ; i >= 0; i--)
        int rand = randInt(0, i);

// 第四种写法
    for (int i = n - 1 ; i > 0; i--)
        int rand = randInt(0, i);

反例：每次都从整个数组中随机选一个元素交换到首位，进行n轮。虽然结果种数也为n!，但由于每轮都有n种选择故总结果数为nⁿ（包含重复的结果），由于nⁿ>n!且前者不能被后者整除故有些排列出现的概率会比较大，从而不是正确的洗牌算法。

如何验证“真的乱”

可以用蒙特卡洛方法来验证各种结果出现的频率是否大致一样，若大致一样则说明洗牌算法是正确的。

法1：给定一个数组如{1,2,3,4,5}，进行N次（N最好大些）实验：以该数组为参数调用洗牌算法，记录每次洗牌后的结果并统计。若结果数为n!且各结果出现的频数大致一样则说明正确。

法2：与上面类似，只不过数组中除了一个元素为1外其他元素为0。每次实验只需记录洗牌后1的位置，最后看1出现的位置是否大致一样。

 

参考资料

https://github.com/labuladong/fucking-algorithm/blob/master/算法思维系列/洗牌算法.md