1 1.1 第 1 章─概论 2 1.1.1 练习题 3 1. 下列关于算法的说法中正确的有（ ）。Ⅰ.求解某一类问题的算法是唯一的 4 Ⅱ.算法必须在有限步操作之后停止 5 Ⅲ.算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或含义模糊Ⅳ.算法执行后一定产生确定的结果 6 A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7 2. T(n)表示当输入规模为 n 时的算法效率，以下算法效率最优的是（ ）。 8 A.T(n)= T(n-1)+1，T(1)=1 B.T(n)= 2n2 9 C.T(n)= T(n/2)+1，T(1)=1 D.T(n)=3nlog2n 10 3. 什么是算法？算法有哪些特征？ 11 4. 判断一个大于 2 的正整数 n 是否为素数的方法有多种，给出两种算法，说明其中一种算法更好的理由。 12 5. 证明以下关系成立： 13 （1）10n2-2n=(n2) 14 （2）2n+1=(2n) 15 6. 证明 O(f(n))+O(g(n))=O(max{f(n)，g(n)}) 。 16 7. 有一个含 n（n>2）个整数的数组 a，判断其中是否存在出现次数超过所有元素一半的元素。 17 8. 一个字符串采用 string 对象存储，设计一个算法判断该字符串是否为回文。 18 9. 有一个整数序列，设计一个算法判断其中是否存在两个元素和恰好等于给定的整数 k。 19 10. 有两个整数序列，每个整数序列中所有元素均不相同。设计一个算法求它们的公共元素，要求不使用 STL 的集合算法。 20 11. 正整数 n（n>1）可以写成质数的乘积形式，称为整数的质因数分解。例如， 12=2*2*3，18=2*3*3，11=11。设计一个算法求 n 这样分解后各个质因数出现的次数，采用 vector 向量存放结果。 21 12. 有一个整数序列，所有元素均不相同，设计一个算法求相差最小的元素对的个数。如序列 4、1、2、3 的相差最小的元素对的个数是 3，其元素对是（1，2），（2，3）， 22 （3，4）。 23 13. 有一个 map<string，int>容器，其中已经存放了较多元素。设计一个算法求出其中重复的 value 并且返回重复 value 的个数。 24 14. 重新做第 10 题，采用 map 容器存放最终结果。 25 15. 假设有一个含 n（n>1）个元素的 stack<int>栈容器 st，设计一个算法出栈从栈顶到栈底的第 k（1≤k≤n）个元素，其他栈元素不变。 26 27 28 1.1.2 练习题参考答案 29 1. 答：由于算法具有有穷性、确定性和输出性，因而Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ正确，而解决某一类问题的算法不一定是唯一的。答案为 C。 30 2. 答：选项 A 的时间复杂度为 O(n)。选项 B 的时间复杂度为 O(n2)。选项 C 的时间复杂度为 O(log2n)。选项 D 的时间复杂度为 O(nlog2n)。答案为 C。 31 3. 答：算法是求解问题的一系列计算步骤。算法具有有限性、确定性、可行性、输入性和输出性 5 个重要特征。 32 4. 答：两种算法如下： 33 #include <stdio.h> #include <math.h> 34 bool isPrime1(int n) //方法 1 35 { for (int i=2;i<n;i++) 36 if (n%i==0) 37 return false; 38 return true; 39 } 40 bool isPrime2(int n) //方法 2 41 { for (int i=2;i<=(int)sqrt(n);i++) 42 if (n%i==0) 43 return false; 44 return true; 45 } 46 void main() 47 { int n=5; 48 printf("%d,%d\n",isPrime1(n),isPrime2(n)); 49 } 50 方法 1 的时间复杂度为 O(n)，方法 2 的时间复杂度为 n，所以方法 2 更好。 51 5. 答：（1）当 n 足够大时，(10n2-2n)/( n2)=10，所以 10n2-2n=(n2)。 52 （2）2n+1=2*2n=(2n)。 53 6. 证明：对于任意 f1(n)∈O(f(n)) ，存在正常数 c1 和正常数 n1，使得对所有 n≥n1， 有 f1(n)≤c1f(n) 。 54 类似地，对于任意 g1(n)∈O(g(n)) ，存在正常数 c2 和自然数 n2，使得对所有 n≥n2， 有 g1(n)≤c2g(n) 。 55 令 c3=max{c1，c2}，n3=max{n1，n2}，h(n)= max{f(n)，g(n)} 。则对所有的 n≥n3，有： 56 f1(n) +g1(n)≤c1f(n) + c2g(n)≤c3f(n)+c3g(n)=c3(f(n)+g(n)) 57 ≤c32max{f(n)，g(n)}=2c3h(n)=O(max{f(n)，g(n)})。 58 7. 解：先将 a 中元素递增排序，再求出现次数最多的次数 maxnum，最后判断是否满足条件。对应的程序如下： 59 #include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; 60 61 bool solve(int a[],int n,int &x) 62 { 63 sort(a,a+n); 64 int maxnum=0; //递增排序 65 //出现次数最多的次数 66 int num=1; 67 int e=a[0]; 68 for (int i=1;i<n;i++) 69 { if (a[i]==e) 70 { num++; 71 if (num>maxnum) 72 { maxnum=num; 73 x=e; 74 } 75 } 76 else 77 { e=a[i]; 78 num=1; 79 } 80 } 81 if (maxnum>n/2) 82 return true; 83 else 84 return false; 85 } 86 void main() 87 { int a[]={2,2,2,4,5,6,2}; 88 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 89 int x; 90 if (solve(a,n,x)) 91 printf("出现次数超过所有元素一半的元素为%d\n",x); 92 else 93 printf("不存在出现次数超过所有元素一半的元素\n"); 94 } 95 上述程序的执行结果如图 1.1 所示。 96 图 1.1 程序执行结果 97 8. 解：采用前后字符判断方法，对应的程序如下： 98 #include <iostream> #include <string> using namespace std; 99 bool solve(string str) //判断字符串 str 是否为回文 100 { int i=0,j=str.length()-1; 101 while (i<j) 102 { if (str[i]!=str[j]) 103 return false; 104 105 106 i++; j--; 107 } 108 return true; 109 } 110 void main() 111 { cout << "求解结果" << endl; 112 string str="abcd"; 113 cout << " " << str << (solve(str)?"是回文":"不是回文") << endl; 114 string str1="abba"; 115 cout << " " << str1 << (solve(str1)?"是回文":"不是回文") << endl; 116 } 117 上述程序的执行结果如图 1.2 所示。 118 图 1.2 程序执行结果 119 9. 解：先将 a 中元素递增排序，然后从两端开始进行判断。对应的程序如下： 120 #include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; 121 bool solve(int a[],int n,int k) 122 { sort(a,a+n); //递增排序 123 int i=0, j=n-1; 124 while (i<j) //区间中存在两个或者以上元素 125 { if (a[i]+a[j]==k) 126 return true; 127 else if (a[i]+a[j]<k) 128 i++; 129 else 130 j--; 131 } 132 return false; 133 } 134 void main() 135 { int a[]={1,2,4,5,3}; 136 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 137 printf("求解结果\n"); 138 int k=9,i,j; 139 if (solve(a,n,k,i,j)) 140 printf(" 存在: %d+%d=%d\n",a[i],a[j],k); 141 else 142 printf(" 不存在两个元素和为%d\n",k); 143 int k1=10; 144 if (solve(a,n,k1,i,j)) 145 printf(" 存在: %d+%d=%d\n",a[i],a[j],k1); 146 147 else 148 printf(" 不存在两个元素和为%d\n",k1); 149 } 150 上述程序的执行结果如图 1.3 所示。 151 图 1.3 程序执行结果 152 10. 解：采用集合 set<int>存储整数序列，集合中元素默认是递增排序的，再采用二路归并算法求它们的交集。对应的程序如下： 153 #include <stdio.h> #include <set> 154 using namespace std; 155 void solve(set<int> s1,set<int> s2,set<int> &s3) //求交集 s3 156 { set<int>::iterator it1,it2; 157 it1=s1.begin(); it2=s2.begin(); 158 while (it1!=s1.end() && it2!=s2.end()) 159 { if (*it1==*it2) 160 { s3.insert(*it1); 161 ++it1; ++it2; 162 } 163 else if (*it1<*it2) 164 ++it1; 165 else 166 ++it2; 167 } 168 } 169 void dispset(set<int> s) //输出集合的元素 170 { set<int>::iterator it; 171 for (it=s.begin();it!=s.end();++it) 172 printf("%d ",*it); 173 printf("\n"); 174 } 175 void main() 176 { int a[]={3,2,4,8}; 177 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 178 set<int> s1(a,a+n); 179 int b[]={1,2,4,5,3}; 180 int m=sizeof(b)/sizeof(b[0]); 181 set<int> s2(b,b+m); 182 set<int> s3; 183 solve(s1,s2,s3); 184 printf("求解结果\n"); 185 printf(" s1: "); dispset(s1); 186 187 188 printf(" s2: "); dispset(s2); 189 printf(" s3: "); dispset(s3); 190 } 191 上述程序的执行结果如图 1.4 所示。 192 图 1.4 程序执行结果 193 11. 解：对于正整数 n，从 i=2 开始查找其质因数，ic 记录质因数 i 出现的次数，当找到这样质因数后，将（i，ic）作为一个元素插入到 vector 容器 v 中。最后输出 v。对应的算法如下： 194 #include <stdio.h> #include <vector> using namespace std; 195 struct NodeType //vector 向量元素类型 196 { int p; //质因数 197 int pc; //质因数出现次数 198 }; 199 void solve(int n,vector<NodeType> &v) //求 n 的质因数分解 200 { int i=2; 201 int ic=0; 202 NodeType e; 203 do 204 { if (n%i==0) 205 { ic++; 206 n=n/i; 207 } 208 else 209 { if (ic>0) 210 { e.p=i; 211 e.pc=ic; 212 v.push_back(e); 213 } 214 ic=0; 215 i++; 216 } 217 } while (n>1 || ic!=0); 218 } 219 void disp(vector<NodeType> &v) //输出 v 220 { vector<NodeType>::iterator it; 221 for (it=v.begin();it!=v.end();++it) 222 printf(" 质因数%d 出现%d 次\n",it->p,it->pc); 223 } 224 225 void main() 226 { vector<NodeType> v; 227 int n=100; 228 printf("n=%d\n",n); 229 solve(n,v); 230 disp(v); 231 } 232 上述程序的执行结果如图 1.5 所示。 233 图 1.5 程序执行结果 234 12. 解：先递增排序，再求相邻元素差，比较求最小元素差，累计最小元素差的个数。对应的程序如下： 235 #include <iostream> #include <algorithm> #include <vector> using namespace std; 236 int solve(vector<int> &myv) //求 myv 中相差最小的元素对的个数 237 { sort(myv.begin(),myv.end()); //递增排序 238 int ans=1; 239 int mindif=myv[1]-myv[0]; 240 for (int i=2;i<myv.size();i++) 241 { if (myv[i]-myv[i-1]<mindif) 242 { ans=1; 243 mindif=myv[i]-myv[i-1]; 244 } 245 else if (myv[i]-myv[i-1]==mindif) 246 ans++; 247 } 248 return ans; 249 } 250 void main() 251 { int a[]={4,1,2,3}; 252 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 253 vector<int> myv(a,a+n); 254 cout << "相差最小的元素对的个数: " << solve(myv) << endl; 255 } 256 上述程序的执行结果如图 1.6 所示。 257 258 259 图 1.6 程序执行结果 260 13. 解：对于 map<string，int>容器 mymap，设计另外一个 map<int，int>容器 tmap， 将前者的 value 作为后者的关键字。遍历 mymap，累计 tmap 中相同关键字的次数。一个参考程序及其输出结果如下： 261 #include <iostream> #include <map> #include <string> using namespace std; void main() 262 { map<string,int> mymap; 263 mymap.insert(pair<string,int>("Mary",80)); 264 mymap.insert(pair<string,int>("Smith",82)); 265 mymap.insert(pair<string,int>("John",80)); 266 mymap.insert(pair<string,int>("Lippman",95)); 267 mymap.insert(pair<string,int>("Detial",82)); 268 map<string,int>::iterator it; 269 map<int,int> tmap; 270 for (it=mymap.begin();it!=mymap.end();it++) 271 tmap[(*it).second]++; 272 map<int，int>::iterator it1; 273 cout << "求解结果" << endl; 274 for (it1=tmap.begin();it1!=tmap.end();it1++) 275 cout << " " << (*it1).first << ": " << (*it1).second << "次\n"; 276 } 277 上述程序的执行结果如图 1.7 所示。 278 图 1.7 程序执行结果 279 14. 解：采用 map<int，int>容器 mymap 存放求解结果，第一个分量存放质因数，第二个分量存放质因数出现次数。对应的程序如下： 280 #include <stdio.h> #include <map> 281 using namespace std; 282 void solve(int n,map<int,int> &mymap) //求 n 的质因数分解 283 284 285 286 287 else 288 { if (ic>0) 289 mymap[i]=ic; 290 ic=0; 291 i++; 292 } 293 } while (n>1 || ic!=0); 294 } 295 void disp(map<int,int> &mymap) //输出 mymap 296 { map<int,int>::iterator it; 297 for (it=mymap.begin();it!=mymap.end();++it) 298 printf(" 质因数%d 出现%d 次\n",it->first,it->second); 299 } 300 void main() 301 { map<int,int> mymap; 302 int n=12345; 303 printf("n=%d\n",n); 304 solve(n,mymap); 305 disp(mymap); 306 } 307 上述程序的执行结果如图 1.8 所示。 308 图 1.8 程序执行结果 309 15. 解：栈容器不能顺序遍历，为此创建一个临时 tmpst 栈，将 st 的 k 个元素出栈并进栈到 tmpst 中，再出栈 tmpst 一次得到第 k 个元素，最后将栈 tmpst 的所有元素出栈并进栈到 st 中。对应的程序如下： 310 #include <stdio.h> #include <stack> using namespace std; 311 int solve(stack<int> &st,int k) //出栈第 k 个元素 312 { stack<int> tmpst; 313 int e; 314 for (int i=0;i<k;i++) //出栈 st 的 k 个元素并进 tmpst 栈 315 { e=st.top(); 316 st.pop(); 317 tmpst.push(e); 318 } 319 e=tmpst.top(); //求第 k 个元素 320 tmpst.pop(); 321 while (!tmpst.empty()) //将 tmpst 的所有元素出栈并进栈 st 322 { st.push(tmpst.top()); 323 tmpst.pop(); 324 325 326 } 327 return e; 328 } 329 void disp(stack<int> &st) //出栈 st 的所有元素 330 { while (!st.empty()) 331 { printf("%d ",st.top()); 332 st.pop(); 333 } 334 printf("\n"); 335 } 336 void main() 337 { stack<int> st; 338 printf("进栈元素 1,2,3,4\n"); 339 st.push(1); 340 st.push(2); 341 st.push(3); 342 st.push(4); 343 int k=3; 344 int e=solve(st,k); 345 printf("出栈第%d 个元素是: %d\n",k,e); 346 printf("st 中元素出栈顺序: "); 347 disp(st); 348 } 349 上述程序的执行结果如图 1.9 所示。 350 图 1.9 程序执行结果 351 1.2 第 2 章─递归算法设计技术 352 1.2.1 练习题 353 1. 什么是直接递归和间接递归？消除递归一般要用到什么数据结构？ 354 2. 分析以下程序的执行结果： 355 #include <stdio.h> 356 void f(int n,int &m) 357 { if (n<1) return; 358 else 359 { printf("调用f(%d,%d)前,n=%d,m=%d\n",n-1,m-1,n,m); 360 n--; m--; 361 f(n-1,m); 362 printf("调用f(%d,%d)后:n=%d,m=%d\n",n-1,m-1,n,m); 363 } 364 365 } 366 void main() 367 { int n=4,m=4; 368 f(n,m); 369 } 370 3. 采用直接推导方法求解以下递归方程： 371 T(1)=1 372 T(n)=T(n-1)+n 当 n>1 373 4. 采用特征方程方法求解以下递归方程： 374 H(0)=0 375 H(1)=1 376 H(2)=2 377 H(n)=H(n-1)+9H(n-2)-9H(n-3) 当 n>2 378 5. 采用递归树方法求解以下递归方程： 379 T(1)=1 380 T(n)=4T(n/2)+n 当 n>1 381 6. 采用主方法求解以下题的递归方程。 382 T(n)=1 当 n=1 383 T(n)=4T(n/2)+n2 当 n>1 384 7. 分析求斐波那契 f(n)的时间复杂度。 385 8. 数列的首项 a1=0，后续奇数项和偶数项的计算公式分别为 a2n=a2n-1+2，a2n+1=a2n- 1+a2n-1，写出计算数列第 n 项的递归算法。 386 9. 对于一个采用字符数组存放的字符串 str，设计一个递归算法求其字符个数（长度）。 387 10. 对于一个采用字符数组存放的字符串 str，设计一个递归算法判断 str 是否为回文。 388 11. 对于不带头结点的单链表 L，设计一个递归算法正序输出所有结点值。 389 12. 对于不带头结点的单链表 L，设计一个递归算法逆序输出所有结点值。 390 13. 对于不带头结点的非空单链表 L，设计一个递归算法返回最大值结点的地址（假设这样的结点唯一）。 391 14. 对于不带头结点的单链表 L，设计一个递归算法返回第一个值为 x 的结点的地址，没有这样的结点时返回 NULL。 392 15. 对于不带头结点的单链表 L，设计一个递归算法删除第一个值为 x 的结点。 393 16. 假设二叉树采用二叉链存储结构存放，结点值为 int 类型，设计一个递归算法求二叉树 bt 中所有叶子结点值之和。 394 17. 假设二叉树采用二叉链存储结构存放，结点值为 int 类型，设计一个递归算法求二叉树 bt 中所有结点值大于等于 k 的结点个数。 395 18. 假设二叉树采用二叉链存储结构存放，所有结点值均不相同，设计一个递归算法求值为 x 的结点的层次（根结点的层次为 1），没有找到这样的结点时返回 0。 396 397 398 1.2.2 练习题参考答案 399 1. 答：一个 f 函数定义中直接调用 f 函数自己，称为直接递归。一个 f 函数定义中调用 g 函数，而 g 函数的定义中调用 f 函数，称为间接递归。消除递归一般要用栈实现。 400 2. 答：递归函数f(n，m)中，n是非引用参数，m是引用参数，所以递归函数的状态为 401 （n）。程序执行结果如下： 402 调用f(3,3)前,n=4,m=4 调用f(1,2)前,n=2,m=3 调用f(0,1)后,n=1,m=2 调用f(2,1)后,n=3,m=2 403 3. 解：求 T(n)的过程如下： 404 T(n)=T(n-1)+n=[T(n-2)+n-1)]+n=T(n-2)+n+(n-1) 405 =T(n-3)+n+(n-1)+(n-2) 406 =… 407 =T(1)+n+(n-1)+…+2 408 =n+(n-1)+ +…+2+1=n(n+1)/2=O(n2)。 409 4. 解：整数一个常系数的线性齐次递推式，用 xn 代替 H(n)，有：xn=xn-1+9xn-2-9xn-3， 两边同时除以 xn-3，得到：x3=x2+9x-9，即 x3-x2-9x+9=0。 410 x3-x2-9x+9=x(x2-9)-(x2-9)=(x-1)(x2-9)=(x-1)(x+3)(x-3)=0。得到 r1=1，r2=-3，r3=3 411 则递归方程的通解为：H(n)=c1+c2(-3)n+c33n 代入 H(0)=0，有 c1+c2+c3=0 412 代入 H(1)=1，有 c1-3c2+3c3=1 413 代入 H(2)=2，有 c1+9c2+9c3=2 414 415 ( ‒ 1)n ‒ 1 416 417 418 419 n ‒ 1 1 420 421 422 求出：c1=-1/4，c2=-1/12，c3=1/3，H(n)=c1+c2(-3)n+c33n=( 4 + 1)3 423 424 ‒ 4。 425 426 5. 解：构造的递归树如图 1.10 所示，第 1 层的问题规模为 n，第 2 的层的子问题的问题规模为 n/2，依此类推，当展开到第 k+1 层，其规模为 n/2k=1，所以递归树的高度为log2n+1。 427 第1层有1个结点，其时间为n，第2层有4个结点，其时间为4(n/2)=2n，依次类推，第k 层有4k-1个结点，每个子问题规模为n/2k-1，其时间为4k-1(n/2k-1)=2k-1n。叶子结点的个数为n 个，其时间为n。将递归树每一层的时间加起来，可得： 428 T(n)=n+2n+…+ 2k-1n+…+n≈𝑛 ∗ 2log2n=O(n2)。 429 430 431 432 (n/2) 433 434 n n 435 436 (n/2) (n/2) (n/2) 2n 437 438 439 440 高度h为log 2n+1 441 442 (n/22) 443 444 (n/22) 445 446 (n/22) 447 448 (n/22) 449 450 451 22n 452 453 … … … … 454 455 1 1 1 1 n 456 457 图 1.10 一棵递归树 458 6. 解：采用主方法求解，这里 a=4，b=2，f(n)=n2。 459 logba log24 2 460 461 因此，𝑛 462 logba 463 464 =𝑛 465 2 466 467 =n ，它与 f(n)一样大，满足主定理中的情况（2），所以 T(n)=O( 468 469 𝑛 log2n)=O(n log2n)。 470 7. 解：设求斐波那契 f(n)的时间为 T(n)，有以下递推式： 471 T(1)=T(2) 472 T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1 当 n>2 473 其中，T(n)式中加 1 表示一次加法运算的时间。 474 不妨先求 T1(1)=T1(2)=1，T1(n)=T1(n-1)+T1(n-2)，按《教程》例 2.14 的方法可以求 475 476 出： 477 1 1 478 479 480 5 n 481 482 483 1 1 484 485 486 5 n 487 488 489 1 1 490 491 492 5 n 493 494 T1(n)= 495 496 ≈ 497 498 = 499 500 501 502 1 1 503 504 505 506 5 n 507 508 所以 T(n)=T1(n)+1≈ 509 510 511 512 +1=O(φn)，其中 φ= 。 513 514 515 516 8. 解：设 f(m)计算数列第 m 项值。 517 当 m 为偶数时，不妨设 m=2n，则 2n-1=m-1，所以有 f(m)=f(m-1)+2。 518 当 m 为奇数时，不妨设 m=2n+1，则 2n-1=m-2，2n=m-1，所以有 f(m)=f(m-2)+f(m- 519 1)-1。 520 对应的递归算法如下： 521 int f(int m) 522 { if (m==1) return 0; 523 if (m%2==0) 524 return f(m-1)+2; 525 else 526 return f(m-2)+f(m-1)-1; 527 } 528 9. 解：设 f(str)返回字符串 str 的长度，其递归模型如下： 529 f(str)=0 当*str='\0'时 530 f(str)=f(str+1)+1 其他情况 531 对应的递归程序如下： 532 533 534 #include <iostream> using namespace std; 535 int Length(char *str) //求str的字符个数 536 { if (*str=='\0') 537 return 0; 538 else 539 return Length(str+1)+1; 540 } 541 void main() 542 { char str[]="abcd"; 543 cout << str << "的长度: " << Length(str) << endl; 544 } 545 上述程序的执行结果如图 1.11 所示。 546 图 1.11 程序执行结果 547 10. 解：设 f(str，n)返回含 n 个字符的字符串 str 是否为回文，其递归模型如下： 548 f(str，n)=true 当 n=0 或者 n=1 时 549 f(str，n)=flase 当 str[0]≠str[n-1]时 550 f(str，n)=f(str+1，n-2) 其他情况 551 对应的递归算法如下： #include <stdio.h> #include <string.h> 552 bool isPal(char *str,int n) //str 回文判断算法 553 { if (n==0 || n==1) 554 return true; 555 if (str[0]!=str[n-1]) 556 return false; 557 return isPal(str+1,n-2); 558 } 559 void disp(char *str) 560 { int n=strlen(str); 561 if (isPal(str,n)) 562 printf(" %s是回文\n",str); 563 else 564 printf(" %s不是回文\n",str); 565 } 566 void main() 567 { printf("求解结果\n"); 568 disp("abcba"); 569 disp("a"); 570 disp("abc"); 571 } 572 573 上述程序的执行结果如图 1.12 所示。 574 图 1.12 程序执行结果 575 11. 解：设 f(L)正序输出单链表 L 的所有结点值，其递归模型如下： 576 f(L) ≡ 不做任何事情 当 L=NULL f(L) ≡ 输出 L->data; f(L->next); 当 L≠NULL 时对应的递归程序如下： 577 #include "LinkList.cpp" //包含单链表的基本运算算法 578 void dispLink(LinkNode *L) //正序输出所有结点值 579 { if (L==NULL) return; 580 else 581 { printf("%d ",L->data); 582 dispLink(L->next); 583 } 584 } 585 void main() 586 { int a[]={1,2,5,2,3,2}; 587 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 588 LinkNode *L; 589 CreateList(L,a,n); //由a[0..n-1]创建不带头结点的单链表 590 printf("正向L: "); 591 dispLink(L); printf("\n"); 592 Release(L); //销毁单链表 593 } 594 上述程序的执行结果如图 1.13 所示。 595 图 1.13 程序执行结果 596 12. 解：设 f(L)逆序输出单链表 L 的所有结点值，其递归模型如下： 597 f(L) ≡ 不做任何事情 当 L=NULL f(L) ≡ f(L->next); 输出 L->data 当 L≠NULL 时对应的递归程序如下： 598 #include "LinkList.cpp" //包含单链表的基本运算算法 599 void Revdisp(LinkNode *L) //逆序输出所有结点值 600 { if (L==NULL) return; 601 602 603 else 604 { Revdisp(L->next); 605 printf("%d ",L->data); 606 } 607 } 608 void main() 609 { int a[]={1,2,5,2,3,2}; 610 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 611 LinkNode *L; 612 CreateList(L,a,n); 613 printf("反向L: "); 614 Revdisp(L); printf("\n"); 615 Release(L); 616 } 617 上述程序的执行结果如图 1.14 所示。 618 图 1.14 程序执行结果 619 13. 解：设 f(L)返回单链表 L 中值最大结点的地址，其递归模型如下： 620 f(L) = L 当 L 只有一个结点时 621 f(L) = MAX{f(L->next)，L->data} 其他情况 622 对应的递归程序如下： 623 #include "LinkList.cpp" //包含单链表的基本运算算法 624 LinkNode *Maxnode(LinkNode *L) //返回最大值结点的地址 625 { if (L->next==NULL) 626 return L; //只有一个结点时 627 else 628 { LinkNode *maxp; 629 maxp=Maxnode(L->next); 630 if (L->data>maxp->data) 631 return L; 632 else 633 return maxp; 634 } 635 } 636 void main() 637 { int a[]={1,2,5,2,3,2}; 638 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 639 LinkNode *L,*p; 640 CreateList(L,a,n); 641 p=Maxnode(L); 642 printf("最大结点值: %d\n",p->data); 643 Release(L); 644 645 } 646 上述程序的执行结果如图 1.15 所示。 647 图 1.15 程序执行结果 648 14. 解：设 f(L，x)返回单链表 L 中第一个值为 x 的结点的地址，其递归模型如下： 649 f(L，x) = NULL 当 L=NULL 时 650 f(L，x) = L 当 L≠NULL 且 L->data=x 时 651 f(L，x) = f(L->next，x) 其他情况 652 对应的递归程序如下： 653 #include "LinkList.cpp" //包含单链表的基本运算算法 654 LinkNode *Firstxnode(LinkNode *L,int x) //返回第一个值为 x 的结点的地址 655 { if (L==NULL) return NULL; 656 if (L->data==x) 657 return L; 658 else 659 return Firstxnode(L->next,x); 660 } 661 void main() 662 { int a[]={1,2,5,2,3,2}; 663 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 664 LinkNode *L,*p; 665 CreateList(L,a,n); 666 int x=2; 667 p=Firstxnode(L,x); 668 printf("结点值: %d\n",p->data); 669 Release(L); 670 } 671 上述程序的执行结果如图 1.16 所示。 672 图 1.16 程序执行结果 673 15. 解：设 f(L，x)删除单链表 L 中第一个值为 x 的结点，其递归模型如下： 674 f(L，x) ≡ 不做任何事情 当 L=NULL 675 f(L，x) ≡ 删除 L 结点，L=L->next 当 L≠NULL 且 L->data=x f(L，x) ≡ f(L->next，x) 其他情况 676 对应的递归程序如下： 677 678 679 #include "LinkList.cpp" //包含单链表的基本运算算法 680 void Delfirstx(LinkNode *&L,int x) //删除单链表 L 中第一个值为 x 的结点 681 { if (L==NULL) return; 682 if (L->data==x) 683 { LinkNode *p=L; 684 L=L->next; 685 free(p); 686 } 687 else 688 Delfirstx(L->next,x); 689 } 690 void main() 691 { int a[]={1,2,5,2,3,2}; 692 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 693 LinkNode *L; 694 CreateList(L,a,n); 695 printf("删除前L: "); DispList(L); 696 int x=2; 697 printf("删除第一个值为%d的结点\n",x); 698 Delfirstx(L,x); 699 printf("删除后L: "); DispList(L); 700 Release(L); 701 } 702 上述程序的执行结果如图 1.17 所示。 703 图 1.17 程序执行结果 704 16. 解：设 f(bt)返回二叉树 bt 中所有叶子结点值之和，其递归模型如下： 705 706 f(bt)=0 当 bt=NULL 707 f(bt)=bt->data 当 bt≠NULL 且 bt 结点为叶子结点 708 f(bt)=f(bt->lchild)+f(bt->rchild) 其他情况 709 对应的递归程序如下： 710 #include "Btree.cpp" //包含二叉树的基本运算算法 711 int LeafSum(BTNode *bt) //二叉树 bt 中所有叶子结点值之和 712 { if (bt==NULL) return 0; 713 if (bt->lchild==NULL && bt->rchild==NULL) 714 return bt->data; 715 int lsum=LeafSum(bt->lchild); 716 int rsum=LeafSum(bt->rchild); 717 return lsum+rsum; 718 } 719 void main() 720 721 722 { BTNode *bt; 723 Int a[]={5,2,3,4,1,6}; //先序序列 724 Int b[]={2,3,5,1,4,6}; //中序序列 725 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 726 bt=CreateBTree(a,b,n); //由a和b构造二叉链bt 727 printf("二叉树bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); 728 printf("所有叶子结点值之和: %d\n",LeafSum(bt)); 729 DestroyBTree(bt); //销毁树bt 730 } 731 上述程序的执行结果如图 1.18 所示。 732 图 1.18 程序执行结果 733 17. 解：设 f(bt，k)返回二叉树 bt 中所有结点值大于等于 k 的结点个数，其递归模型如下： 734 f(bt，k)=0 当 bt=NULL 735 f(bt，k)=f(bt->lchild，k)+f(bt->rchild，k)+1 当 bt≠NULL 且 bt->data≥k f(bt，k)=f(bt->lchild，k)+f(bt->rchild，k) 其他情况 736 对应的递归程序如下： 737 #include "Btree.cpp" //包含二叉树的基本运算算法 738 int Nodenum(BTNode *bt,int k) //大于等于 k 的结点个数 739 { if (bt==NULL) return 0; 740 int lnum=Nodenum(bt->lchild,k); 741 int rnum=Nodenum(bt->rchild,k); 742 if (bt->data>=k) 743 return lnum+rnum+1; 744 else 745 return lnum+rnum; 746 } 747 void main() 748 { BTNode *bt; 749 Int a[]={5,2,3,4,1,6}; 750 Int b[]={2,3,5,1,4,6}; 751 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 752 bt=CreateBTree(a,b,n); //由a和b构造二叉链bt 753 printf("二叉树bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); 754 int k=3; 755 printf("大于等于%d的结点个数: %d\n",k,Nodenum(bt,k)); 756 DestroyBTree(bt); //销毁树bt 757 } 758 上述程序的执行结果如图 1.19 所示。 759 760 761 762 763 图 1.19 程序执行结果 764 18. 解：设 f(bt，x，h)返回二叉树 bt 中 x 结点的层次，其中 h 表示 bt 所指结点的层次，初始调用时，bt 指向根结点，h 置为 1。其递归模型如下： 765 f(bt，x，h)=0 当 bt=NULL 766 f(bt，x，h)=h 当 bt≠NULL 且 bt->data=x 767 f(bt，x，h) =l 当 l=f(bt->lchild，x，h+1)≠0 f(bt，x，h) =f(bt->rchild，x，h+1) 其他情况 768 对应的递归程序如下： 769 #include "Btree.cpp" //包含二叉树的基本运算算法 770 int Level(BTNode *bt,int x,int h) //求二叉树 bt 中 x 结点的层次 771 { //初始调用时：bt 为根，h 为 1 772 if (bt==NULL) return 0; 773 if (bt->data==x) //找到 x 结点，返回 h 774 return h; 775 else 776 { int l=Level(bt->lchild,x,h+1); //在左子树中查找 777 if (l!=0) //在左子树中找到，返回其层次 l 778 return l; 779 else 780 return Level(bt->rchild,x,h+1);//返回在右子树的查找结果 781 } 782 } 783 void main() 784 { BTNode *bt; 785 Int a[]={5,2,3,4,1,6}; 786 Int b[]={2,3,5,1,4,6}; 787 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 788 bt=CreateBTree(a,b,n); //由 a 和 b 构造二叉链 bt 789 printf("二叉树 bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); 790 int x=1; 791 printf("%d 结点的层次: %d\n",x,Level(bt,x,1)); 792 DestroyBTree(bt); //销毁树 bt 793 } 794 上述程序的执行结果如图 1.20 所示。 795 图 1.20 程序执行结果 796 797 1.3 第 3 章─分治法 798 1.3.1 练习题 799 1. 分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题分割成规模较小的子问题，分别解决子问题，最后将子问题的解组合起来形成原问题的解。这要求原问题和子问题 800 （ ）。 801 A.问题规模相同，问题性质相同B.问题规模相同，问题性质不同C.问题规模不同，问题性质相同D.问题规模不同，问题性质不同 802 2. 在寻找 n 个元素中第 k 小元素问题中，如快速排序算法思想，运用分治算法对 n 803 个元素进行划分，如何选择划分基准？下面（ ）答案解释最合理。 804 A. 随机选择一个元素作为划分基准 805 B. 取子序列的第一个元素作为划分基准C.用中位数的中位数方法寻找划分基准 806 D.以上皆可行。但不同方法，算法复杂度上界可能不同 807 3. 对于下列二分查找算法，以下正确的是（ ）。 808 A. 809 int binarySearch(int a[], int n, int x) 810 { int low=0, high=n-1; 811 while(low<=high) 812 { int mid=(low+high)/2; 813 if(x==a[mid]) return mid; 814 if(x>a[mid]) low=mid; 815 else high=mid; 816 } 817 return –1; 818 } 819 B. 820 int binarySearch(int a[], int n, int x) 821 { int low=0, high=n-1; 822 while(low+1!=high) 823 { int mid=(low+high)/2; 824 if(x>=a[mid]) low=mid; 825 else high=mid; 826 } 827 if(x==a[low]) return low; 828 else return –1; 829 } 830 C. 831 int binarySearch (int a[], int n, int x) 832 { int low=0, high=n-1; 833 while(low<high-1) 834 { int mid=(low+high)/2; 835 836 837 if(x<a[mid]) 838 high=mid; 839 840 841 } else low=mid; 842 if(x==a[low]) return low; 843 else return –1; 844 } 845 D. 846 int binarySearch(int a[], int n, int x) 847 { if(n > 0 && x >= a[0]) 848 { int low = 0, high = n-1; 849 while(low < high) 850 { int mid=(low+high+1)/2; 851 if(x < a[mid]) 852 high=mid-1; 853 else low=mid; 854 } 855 if(x==a[low]) return low; 856 } 857 return –1; 858 } 859 4. 快速排序算法是根据分治策略来设计的，简述其基本思想。 860 5. 假设含有 n 个元素的待排序的数据 a 恰好是递减排列的，说明调用 QuickSort(a， 0，n-1)递增排序的时间复杂度为 O(n2)。 861 6. 以下哪些算法采用分治策略： 862 （1） 堆排序算法 863 （2） 二路归并排序算法 864 （3） 折半查找算法 865 （4） 顺序查找算法 866 7. 适合并行计算的问题通常表现出哪些特征？ 867 8. 设有两个复数 x=a+bi 和 y=c+di。复数乘积 xy 可以使用 4 次乘法来完成，即 868 xy=(ac-bd)+(ad+bc)i。设计一个仅用 3 次乘法来计算乘积 xy 的方法。 869 9. 有 4 个数组 a、b、c 和 d，都已经排好序，说明找出这 4 个数组的交集的方法。 870 10. 设计一个算法，采用分治法求一个整数序列中的最大最小元素。 871 11. 设计一个算法，采用分治法求 xn。 872 12. 假设二叉树采用二叉链存储结构进行存储。设计一个算法采用分治法求一棵二叉树 bt 的高度。 873 13. 假设二叉树采用二叉链存储结构进行存储。设计一个算法采用分治法求一棵二叉树 bt 中度为 2 的结点个数。 874 14. 有一种二叉排序树，其定义是空树是一棵二叉排序树，若不空，左子树中所有结点值小于根结点值，右子树中所有结点值大于根结点值，并且左右子树都是二叉排序树。现在该二叉排序树采用二叉链存储，采用分治法设计查找值为 x 的结点地址，并分析算法的最好的平均时间复杂度。 875 876 15. 设有 n 个互不相同的整数，按递增顺序存放在数组 a[0..n-1]中，若存在一个下标i（0≤i<n），使得 a[i]=i。设计一个算法以 O(log2n)时间找到这个下标 i。 877 16. 请你模仿二分查找过程设计一个三分查找算法。分析其时间复杂度。 878 17. 对于大于 1 的正整数 n，可以分解为 n=x1*x2*…*xm，其中 xi≥2。例如，n=12 时有 8 种 不 同 的 分 解 式 ：12=12，12=6*2，12=4*3，12=3*4，12=3*2*2，12=2*6， 12=2*3*2，12=2*2*3，设计一个算法求 n 的不同分解式个数。 879 18. 设计一个基于 BSP 模型的并行算法，假设有 p 台处理器，计算整数数组 a[0..n-1] 880 的所有元素之和。并分析算法的时间复杂度。 881 1.3.2 练习题参考答案 882 1. 答：C。 883 2. 答：D。 884 3. 答：以 a[]={1，2，3，4，5}为例说明。选项 A 中在查找 5 时出现死循环。选项 B 885 中在查找 5 时返回-1。选项 C 中在查找 5 时返回-1。选项 D 正确。 886 4. 答：对于无序序列 a[low..high]进行快速排序，整个排序为“大问题”。选择其中的一个基准 base=a[i]（通常以序列中第一个元素为基准），将所有小于等于 base 的元素移动到它的前面，所有大于等于 base 的元素移动到它的后面，即将基准归位到 a[i]，这样产生a[low..i-1]和 a[i+1..high]两个无序序列，它们的排序为“小问题”。当 a[low..high]序列只有一个元素或者为空时对应递归出口。 887 所以快速排序算法就是采用分治策略，将一个“大问题”分解为两个“小问题”来求解。由于元素都是在 a 数组中，其合并过程是自然产生的，不需要特别设计。 888 5. 答：此时快速排序对应的递归树高度为 O(n)，每一次划分对应的时间为 O(n)，所以整个排序时间为 O(n2)。 889 6. 答：其中二路归并排序和折半查找算法采用分治策略。 890 7. 答：适合并行计算的问题通常表现出以下特征： 891 （1） 将工作分离成离散部分，有助于同时解决。例如，对于分治法设计的串行算法，可以将各个独立的子问题并行求解，最后合并成整个问题的解，从而转化为并行算法。 892 （2） 随时并及时地执行多个程序指令。 893 （3） 多计算资源下解决问题的耗时要少于单个计算资源下的耗时。 894 8. 答：xy=(ac-bd)+((a+b)(c+d)-ac-bd)i。由此可见，这样计算 xy 只需要 3 次乘法（即 895 ac、bd 和(a+b)(c+d)乘法运算）。 896 9. 答：采用基本的二路归并思路，先求出 a、b 的交集 ab，再求出 c、d 的交集 cd， 最后求出 ab 和 cd 的交集，即为最后的结果。也可以直接采用 4 路归并方法求解。 897 10. 解：采用类似求求一个整数序列中的最大次大元素的分治法思路。对应的程序如下： 898 #include <stdio.h> 899 #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y)) 900 #define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y)) 901 902 903 void MaxMin(int a[],int low,int high,int &maxe,int &mine) //求a中最大最小元素 904 { if (low==high) //只有一个元素 905 { maxe=a[low]; 906 mine=a[low]; 907 } 908 else if (low==high-1) //只有两个元素 909 { maxe=max(a[low],a[high]); 910 mine=min(a[low],a[high]); 911 } 912 else //有两个以上元素 913 { int mid=(low+high)/2; 914 int lmaxe,lmine; 915 MaxMin(a,low,mid,lmaxe,lmine); 916 int rmaxe,rmine; 917 MaxMin(a,mid+1,high,rmaxe,rmine); 918 maxe=max(lmaxe,rmaxe); 919 mine=min(lmine,rmine); 920 } 921 } 922 void main() 923 { int a[]={4,3,1,2,5}; 924 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 925 int maxe,mine; 926 MaxMin(a,0,n-1,maxe,mine); 927 printf("Max=%d, Min=%d\n",maxe,mine); 928 } 929 上述程序的执行结果如图 1.21 所示。 930 图 1.21 程序执行结果 931 11. 解：设 f(x，n)=xn，采用分治法求解对应的递归模型如下： 932 933 f(x，n)=x 当 n=1 934 f(x，n)=f(x，n/2)*f(x，n/2) 当 n 为偶数时 935 f(x，n)=f(x，(n-1)/2)*f(x，(n-1)/2)*x 当 n 为奇数时 936 对应的递归程序如下： 937 #include <stdio.h> 938 double solve(double x,int n) 939 940 //求x^n 941 { double fv; 942 if (n==1) return x; 943 if (n%2==0) 944 { fv=solve(x,n/2); 945 return fv*fv; 946 } 947 948 else 949 { fv=solve(x,(n-1)/2); 950 return fv*fv*x; 951 } 952 } 953 void main() 954 { double x=2.0; 955 printf("求解结果:\n"); 956 for (int i=1;i<=10;i++) 957 printf(" %g^%d=%g\n",x,i,solve(x,i)); 958 } 959 上述程序的执行结果如图 1.22 所示。 960 图 1.22 程序执行结果 961 12. 解：设 f(bt)返回二叉树 bt 的高度，对应的递归模型如下： 962 963 f(bt)=0 964 f(bt)=MAX{f(bt->lchild)，f(bt->rchild)}+1 965 对应的程序如下： 966 #include "Btree.cpp" 967 968 当 bt=NULL 969 其他情况 970 971 //包含二叉树的基本运算算法 972 int Height(BTNode *bt) 973 { if (bt==NULL) return 0; 974 int lh=Height(bt->lchild); 975 //求二叉树bt的高度 976 //子问题1 977 int rh=Height(bt->rchild); //子问题2 978 if (lh>rh) return lh+1; 979 else return rh+1; 980 } 981 void main() //合并 982 { 983 984 985 986 BTNode *bt; 987 Int a[]={5,2,3,4,1,6}; 988 Int b[]={2,3,5,1,4,6}; 989 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 990 bt=CreateBTree(a,b,n); 991 992 993 994 //由a和b构造二叉链bt 995 printf("二叉树bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); 996 printf("bt的高度: %d\n",Height(bt)); 997 998 } DestroyBTree(bt); //销毁树bt 999 1000 1001 上述程序的执行结果如图 1.23 所示。 1002 图 1.23 程序执行结果 1003 13. 解：设 f(bt)返回二叉树 bt 中度为 2 的结点个数，对应的递归模型如下： 1004 1005 f(bt)=0 当 bt=NULL 1006 f(bt)=f(bt->lchild)+f(bt->rchild)+1 若 bt≠NULL 且 bt 为双分支结点 1007 f(bt)=f(bt->lchild)+f(bt->rchild) 其他情况 1008 对应的算法如下： 1009 #include "Btree.cpp" //包含二叉树的基本运算算法 1010 int Nodes(BTNode *bt) //求 bt 中度为 2 的结点个数 1011 { int n=0; 1012 if (bt==NULL) return 0; 1013 if (bt->lchild!=NULL && bt->rchild!=NULL) 1014 n=1; 1015 return Nodes(bt->lchild)+Nodes(bt->rchild)+n; 1016 } 1017 void main() 1018 { BTNode *bt; 1019 Int a[]={5,2,3,4,1,6}; 1020 Int b[]={2,3,5,1,4,6}; 1021 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1022 bt=CreateBTree(a,b,n); //由a和b构造二叉链bt 1023 printf("二叉树bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); 1024 printf("bt中度为2的结点个数: %d\n",Nodes(bt)); 1025 DestroyBTree(bt); //销毁树bt 1026 } 1027 上述程序的执行结果如图 1.24 所示。 1028 图 1.24 程序执行结果 1029 14. 解：设 f(bt，x)返回在二叉排序树 bt 得到的值为 x 结点的地址，若没有找到返回空，对应的递归模型如下： 1030 f(bt，x)=NULL 当 bt=NULL 1031 f(bt，x)=bt 当 bt≠NULL 且 x=bt->data f(bt，x)=f(bt->lchild，x) 当 x>bt->data 1032 1033 f(bt，x)=f(bt->rchild，x) 当 x<bt->data 1034 对应的程序如下： 1035 #include "Btree.cpp" //包含二叉树的基本运算算法 1036 BTNode *Search(BTNode *bt,Int x) //在二叉排序树 bt 查找的值为 x 结点 1037 { if (bt==NULL) return NULL; 1038 if (x==bt->data) return bt; 1039 if (x<bt->data) return Search(bt->lchild,x); 1040 else return Search(bt->rchild,x); 1041 } 1042 void main() 1043 { BTNode *bt; 1044 Int a[]={4,3,2,8,6,7,9}; 1045 Int b[]={2,3,4,6,7,8,9}; 1046 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1047 bt=CreateBTree(a,b,n); //构造一棵二叉排序树 bt 1048 printf("二叉排序树 bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); 1049 int x=6; 1050 BTNode *p=Search(bt,x); 1051 if (p!=NULL) 1052 printf("找到结点: %d\n",p->data); 1053 else 1054 printf("没有找到结点\n",x); 1055 DestroyBTree(bt); //销毁树 bt 1056 } 1057 上述程序的执行结果如图 1.25 所示。 1058 图 1.25 程序执行结果 1059 Search(bt，x)算法采用的是减治法，最好的情况是某个结点左右子树高度大致相同， 其平均执行时间 T(n)如下： 1060 T(n)=1 当 n=1 T(n)=T(n/2)+1 当 n>1 1061 可以推出 T(n)=O(log2n)，其中 n 为二叉排序树的结点个数。 1062 15. 解：采用二分查找方法。a[i]=i 时表示该元素在有序非重复序列 a 中恰好第 i 大。对于序列 a[low..high]，mid=(low+high)/2，若 a[mid]=mid 表示找到该元素；若 a[mid]>mid 说明右区间的所有元素都大于其位置，只能在左区间中查找；若 a[mid]<mid 说明左区间的所有元素都小于其位置，只能在右区间中查找。对应的程序如下： 1063 #include <stdio.h> 1064 int Search(int a[],int n) //查找使得 a[i]=i 1065 { int low=0,high=n-1,mid; 1066 1067 1068 while (low<=high) 1069 { mid=(low+high)/2; 1070 if (a[mid]==mid) //查找到这样的元素 1071 return mid; 1072 else if (a[mid]<mid) //这样的元素只能在右区间中出现 1073 low=mid+1; 1074 else //这样的元素只能在左区间中出现 1075 high=mid-1; 1076 } 1077 return -1; 1078 } 1079 void main() 1080 { int a[]={-2,-1,2,4,6,8,9}; 1081 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1082 int i=Search(a,n); 1083 printf("求解结果\n"); 1084 if (i!=-1) 1085 printf(" 存在a[%d]=%d\n",i,i); 1086 else 1087 printf(" 不存在\n"); 1088 } 1089 上述程序的执行结果如图 1.26 所示。 1090 图 1.26 程序执行结果 1091 16. 解：对于有序序列 a[low..high]，若元素个数少于 3 个，直接查找。若含有更多的元素，将其分为 a[low..mid1-1]、a[mid1+1..mid2-1]、a[mid2+1..high]子序列，对每个子序列递归查找，算法的时间复杂度为 O(log3n)，属于 O(log2n)级别。对应的算法如下： 1092 #include <stdio.h> 1093 int Search(int a[],int low,int high,int x) //三分查找 1094 1095 return -1; 1096 } 1097 int length=(high-low+1)/3; //每个子序列的长度 1098 int mid1=low+length; 1099 int mid2=high-length; 1100 if (x==a[mid1]) 1101 return mid1; 1102 else if (x<a[mid1]) 1103 return Search(a,low,mid1-1,x); 1104 else if (x==a[mid2]) 1105 return mid2; 1106 else if (x<a[mid2]) 1107 return Search(a,mid1+1,mid2-1,x); 1108 else 1109 return Search(a,mid2+1,high,x); 1110 } 1111 void main() 1112 { int a[]={1,3,5,7,9,11,13,15}; 1113 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1114 printf("求解结果\n"); 1115 int x=13; 1116 int i=Search(a,0,n-1,x); 1117 if (i!=-1) 1118 printf(" a[%d]=%d\n",i,x); 1119 else 1120 printf(" 不存在%d\n",x); 1121 int y=10; 1122 int j=Search(a,0,n-1,y); 1123 if (j!=-1) 1124 printf(" a[%d]=%d\n",j,y); 1125 else 1126 printf(" 不存在%d\n",y); 1127 } 1128 上述程序的执行结果如图 1.27 所示。 1129 图 1.27 程序执行结果 1130 17. 解：设 f(n)表示 n 的不同分解式个数。有： f(1)=1，作为递归出口 1131 f(2)=1，分解式为：2=2 1132 f(3)=1， 分 解 式 为 ：3=3 f(4)=2，分解式为：4=4，4=2*2 1133 1134 1135 f(6)=3，分解式为：6=6，6=2*3，6=3*2，即 f(6)=f(1)+f(2)+f(3) 1136 以此类推，可以看出 f(n)为 n 的所有因数的不同分解式个数之和，即 f(n)= 1137 ∑ 𝑓(𝑛/𝑖)。对应的程序如下： 1138 #include <stdio.h> #define MAX 101 1139 int solve(int n) //求 n 的不同分解式个数 1140 { if (n==1) return 1; 1141 else 1142 { int sum=0; 1143 for (int i=2;i<=n;i++) 1144 if (n%i==0) 1145 sum+=solve(n/i); 1146 return sum; 1147 } 1148 } 1149 void main() 1150 { int n=12; 1151 int ans=solve(n); 1152 printf("结果: %d\n",ans); 1153 } 1154 上述程序的执行结果如图 1.28 所示。 1155 图 1.28 程序执行结果 1156 18. 解：对应的并行算法如下： 1157 int Sum(int a[],int s,int t,int p,int i) //处理器i执行求和 1158 { int j,s=0; 1159 for (j=s;j<=t;j++) 1160 s+=a[j]; 1161 return s; 1162 } 1163 int ParaSum(int a[],int s,int t,int p,int i) 1164 { int sum=0,j,k=0,sj; 1165 for (j=0;j<p;j++) //for循环的各个子问题并行执行 1166 { sj=Sum(a,k,k+n/p-1,p,j); 1167 k+=n/p; 1168 } 1169 sum+=sj; 1170 return sum; 1171 } 1172 每个处理器的执行时间为O(n/p)，同步开销为O(p)，所以该算法的时间复杂度为 1173 O(n/p+p)。 1174 1175 1.4 第 4 章─蛮力法 1176 1.4.1 练习题 1177 1. 简要比较蛮力法和分治法。 1178 2. 在采用蛮力法求解时什么情况下使用递归？ 1179 3. 考虑下面这个算法，它求的是数组 a 中大小相差最小的两个元素的差。请对这个算法做尽可能多的改进。 1180 #define INF 99999 1181 #define abs(x) (x)<0?-(x):(x) //求绝对值宏 1182 int Mindif(int a[],int n) 1183 { int dmin=INF; 1184 for (int i=0;i<=n-2;i++) 1185 for (int j=i+1;j<=n-1;j++) 1186 { int temp=abs(a[i]-a[j]); 1187 if (temp<dmin) 1188 dmin=temp; 1189 } 1190 return dmin; 1191 } 1192 4. 给定一个整数数组 A=(a0，a1，…an-1)，若 i<j 且 ai>aj，则<ai，aj>就为一个逆序对。例如数组（3，1，4，5，2）的逆序对有<3，1>，<3，2>，<4，2>，<5，2>。设计一个算法采用蛮力法求 A 中逆序对的个数即逆序数。 1193 5. 对于给定的正整数 n（n>1）, 采用蛮力法求 1!+2!+…+n!，并改进该算法提高效率。 1194 6. 有一群鸡和一群兔，它们的只数相同，它们的脚数都是三位数，且这两个三位数的各位数字只能是 0、1、2、3、4、5。设计一个算法用蛮力法求鸡和兔的只数各是多 1195 少？它们的脚数各是多少？ 1196 7. 有一个三位数，个位数字比百位数字大，而百位数字又比十位数字大，并且各位数字之和等于各位数字相乘之积，设计一个算法用穷举法求此三位数。 1197 8. 某年级的同学集体去公园划船，如果每只船坐 10 人，那么多出 2 个座位；如果每只船多坐 2 人，那么可少租 1 只船，设计一个算法用蛮力法求该年级的最多人数？ 1198 9. 已知：若一个合数的质因数分解式逐位相加之和等于其本身逐位相加之和，则称这 个 数 为 Smith 数 。 如 4937775=3*5*5*65837， 而 3+5+5+6+5+8+3+7=42， 4+9+3+7+7+7+5=42，所以 4937775 是 Smith 数。求给定一个正整数 N，求大于 N 的最小Smith 数。 1199 输入：若干个 case，每个 case 一行代表正整数 N，输入 0 表示结束输出：大于 N 的最小 Smith 数 1200 输入样例： 1201 4937774 1202 0 1203 样例输出： 1204 1205 1206 4937775 1207 10. 求解涂棋盘问题。小易有一块 n*n 的棋盘，棋盘的每一个格子都为黑色或者白色，小易现在要用他喜欢的红色去涂画棋盘。小易会找出棋盘中某一列中拥有相同颜色的最大的区域去涂画，帮助小易算算他会涂画多少个棋格。 1208 输入描述：输入数据包括 n+1 行：第一行为一个整数 n（1≤ n≤50），即棋盘的大小，接下来的 n 行每行一个字符串表示第 i 行棋盘的颜色，'W'表示白色，'B'表示黑色。 1209 输出描述：输出小易会涂画的区域大小。输入例子： 1210 3 1211 BWW BBB BWB 1212 输出例子： 1213 3 1214 11. 给定一个含 n（n>1）个整数元素的 a，所有元素不相同，采用蛮力法求出 a 中所有元素的全排列。 1215 1.4.2 练习题参考答案 1216 1. 答：蛮力法是一种简单直接地解决问题的方法，适用范围广，是能解决几乎所有问题的一般性方法，常用于一些非常基本、但又十分重要的算法（排序、查找、矩阵乘法和字符串匹配等），蛮力法主要解决一些规模小或价值低的问题，可以作为同样问题的更高效算法的一个标准。而分治法采用分而治之思路，把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题直到问题解决。分治法在求解问题 时，通常性能比蛮力法好。 1217 2. 答：如果用蛮力法求解的问题可以分解为若干个规模较小的相似子问题，此时可以采用递归来实现算法。 1218 3. 解：上述算法的时间复杂度为 O(n2)，采用的是最基本的蛮力法。可以先对 a 中元素递增排序，然后依次比较相邻元素的差，求出最小差，改进后的算法如下： 1219 #include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; 1220 int Mindif1(int a[],int n) 1221 { sort(a,a+n); //递增排序 1222 int dmin=a[1]-a[0]; 1223 for (int i=2;i<n;i++) 1224 { int temp=a[i]-a[i-1]; 1225 if (temp<dmin) 1226 dmin=temp; 1227 } 1228 return dmin; 1229 } 1230 1231 上述算法的主要时间花费在排序上，算法的时间复杂度为 O(nlog2n)。 1232 4. 解：采用两重循环直接判断是否为逆序对，算法的时间复杂度为 O(n2)，比第 3 章实验 3 算法的性能差。对应的算法如下： 1233 int solve(int a[],int n) //求逆序数 1234 { int ans=0; 1235 for (int i=0;i<n-1;i++) 1236 for (int j=i+1;j<n;j++) 1237 if (a[i]>a[j]) 1238 ans++; 1239 return ans; 1240 } 1241 5. 解：直接采用蛮力法求解算法如下： 1242 long f(int n) //求n! 1243 { long fn=1; 1244 for (int i=2;i<=n;i++) 1245 fn=fn*i; 1246 return fn; 1247 } 1248 long solve(int n) //求1!+2!+…+n! 1249 { long ans=0; 1250 for (int i=1;i<=n;i++) 1251 ans+=f(i); 1252 return ans; 1253 } 1254 实际上，f(n)=f(n-1)*n，f(1)=1，在求 f(n)时可以利用 f(n-1)的结果。改进后的算法如 1255 下： 1256 long solve1(int n) //求1!+2!+…+n! 1257 { long ans=0; 1258 long fn=1; 1259 for (int i=1;i<=n;i++) 1260 { fn=fn*i; 1261 ans+=fn; 1262 } 1263 return ans; 1264 } 1265 6. 解：设鸡脚数为 y=abc，兔脚数为 z=def，有 1≤a，d≤5，0≤b，c，e，f≤5，采 1266 用 6 重循环，求出鸡只数 x1=y/2（y 是 2 的倍数），兔只数 x2=z/4（z 是 4 的倍数），当 1267 x1=x2 时输出结果。对应的程序如下： 1268 #include <stdio.h> 1269 void solve() 1270 { int a,b,c,d,e,f; 1271 int x1,x2,y,z; 1272 for (a=1;a<=5;a++) 1273 for (b=0;b<=5;b++) 1274 for (c=0;c<=5;c++) 1275 1276 1277 for (d=1;d<=5;d++) 1278 for (e=0;e<=5;e++) 1279 for (f=0;f<=5;f++) 1280 { y=a*100+b*10+c; //鸡脚数 1281 z=d*100+e*10+f; //兔脚数 1282 if (y%2!=0 || z%4!=0) 1283 continue; 1284 x1=y/2; //鸡只数 1285 x2=z/4; //兔只数 1286 if (x1==x2) 1287 printf(" 鸡只数:%d,兔只数:%d,鸡脚数:%d, 1288 兔脚数:%d\n",x1,x2,y,z); 1289 } 1290 } 1291 void main() 1292 { printf("求解结果\n"); 1293 solve(); 1294 } 1295 上述程序的执行结果如图 1.29 所示。 1296 图 1.29 程序执行结果 1297 7. 解：设该三位数为 x=abc，有 1≤a≤9，0≤b，c≤9，满足 c>a，a>b， a+b+c=a*b*c。对应的程序如下： 1298 #include <stdio.h> 1299 void solve() 1300 { int a,b,c; 1301 for (a=1;a<=9;a++) 1302 for (b=0;b<=9;b++) 1303 for (c=0;c<=9;c++) 1304 { if (c>a && a>b && a+b+c==a*b*c) 1305 printf(" %d%d%d\n",a,b,c); 1306 } 1307 } 1308 void main() 1309 1310 { printf("求解结果\n"); 1311 solve(); 1312 } 1313 上述程序的执行结果如图 1.30 所示。 1314 图 1.30 程序执行结果 1315 8. 解：设该年级的人数为 x，租船数为 y。因为每只船坐 10 人正好多出 2 个座位，则x=10*y-2；因为每只船多坐 2 人即 12 人时可少租 1 只船（没有说恰好全部座位占满），有 x+z=12*(y-1)，z 表示此时空出的座位，显然 z<12。让 y 从 1 到 100（实际上 y 取更大范围的结果是相同的）、z 从 0 到 11 枚举，求出最大的 x 即可。对应的程序如下： 1316 #include <stdio.h> 1317 int solve() 1318 { int x,y,z; 1319 for (y=1;y<=100;y++) 1320 for (z=0;z<12;z++) 1321 if (10*y-2==12*(y-1)-z) 1322 x=10*y-2; 1323 return x; 1324 } 1325 void main() 1326 { printf("求解结果\n"); 1327 printf(" 最多人数:%d\n",solve()); 1328 } 1329 上述程序的执行结果如图 1.31 所示。 1330 图 1.31 程序执行结果 1331 9. 解：采用蛮力法求出一个正整数 n 的各位数字和 sum1，以及 n 的所有质因数的数字和 sum2，若 sum1=sum2，即为 Smitch 数。从用户输入的 n 开始枚举，若是 Smitch 1332 数，输出，本次结束，否则 n++继续查找大于 n 的最小 Smitch 数。对应的完整程序如下： 1333 #include <stdio.h> 1334 int Sum(int n) //求n的各位数字和 1335 { int sum=0; 1336 while (n>0) 1337 1338 1339 { sum+=n%10; 1340 n=n/10; 1341 } 1342 return sum; 1343 } 1344 bool solve(int n) //判断n是否为Smitch数 1345 { int m=2; 1346 int sum1=Sum(n); 1347 int sum2=0; 1348 while (n>=m) 1349 { if (n%m==0) //找到一个质因数m 1350 { n=n/m; 1351 sum2+=Sum(m); 1352 } 1353 else 1354 m++; 1355 } 1356 if (sum1==sum2) 1357 return true; 1358 else 1359 return false; 1360 } 1361 void main() 1362 { int n; 1363 while (true) 1364 { scanf("%d",&n); 1365 if (n==0) break; 1366 while (!solve(n)) 1367 n++; 1368 printf("%d\n",n); 1369 } 1370 } 1371 10. 解：采用蛮力法，统计每一列相邻相同颜色的棋格个数 countj，在 countj 中求最大值。对应的程序如下： 1372 #include <stdio.h> #define MAXN 51 1373 //问题表示int n; 1374 char board[MAXN][MAXN]; 1375 int getMaxArea() //蛮力法求解算法 1376 { int maxArea=0; 1377 for (int j=0; j<n; j++) 1378 { int countj=1; 1379 for (int i=1; i<n; i++) //统计第j列中相同颜色相邻棋格个数 1380 { if (board[i][j]==board[i-1][j]) 1381 countj++; 1382 else 1383 countj=1; 1384 } 1385 1386 if (countj>maxArea) 1387 maxArea=countj; 1388 } 1389 return maxArea; 1390 } 1391 int main() 1392 { scanf("%d",&n); 1393 for (int i=0;i<n;i++) 1394 scanf("%s",board[i]); 1395 printf("%d\n",getMaxArea()); 1396 return 0; 1397 } 1398 11. 解：与《教程》中求全排列类似，但需要将求 1～n 的全排列改为按下标 0～n-1 1399 求 a 的全排列（下标从 0 开始）。采用非递归的程序如下： 1400 #include <stdio.h> #include <vector> using namespace std; 1401 vector<vector<int> > ps; //存放全排列 1402 void Insert(vector<int> s,int a[],int i,vector<vector<int> > &ps1) 1403 //在每个集合元素中间插入i得到ps1 1404 { vector<int> s1; 1405 vector<int>::iterator it; 1406 for (int j=0;j<=i;j++) //在s(含i个整数)的每个位置插入a[i] 1407 { s1=s; 1408 it=s1.begin()+j; //求出插入位置 1409 s1.insert(it,a[i]); //插入整数a[i] 1410 ps1.push_back(s1); //添加到ps1中 1411 } 1412 } 1413 void Perm(int a[],int n) //求a[0..n-1]的所有全排列 1414 { vector<vector<int> > ps1; //临时存放子排列 1415 vector<vector<int> >::iterator it; //全排列迭代器 1416 vector<int> s,s1; 1417 s.push_back(a[0]); 1418 ps.push_back(s); //添加{a[0]}集合元素 1419 for (int i=1;i<n;i++) //循环添加a[1]～a[n-1] 1420 { ps1.clear(); //ps1存放插入a[i]的结果 1421 for (it=ps.begin();it!=ps.end();++it) 1422 Insert(*it,a,i,ps1); //在每个集合元素中间插入a[i]得到ps1 1423 ps=ps1; 1424 } 1425 } 1426 void dispps() //输出全排列 ps 1427 { vector<vector<int> >::reverse_iterator it; //全排列的反向迭代器 1428 vector<int>::iterator sit; //排列集合元素迭代器 1429 for (it=ps.rbegin();it!=ps.rend();++it) 1430 { for (sit=(*it).begin();sit!=(*it).end();++sit) 1431 printf("%d",*sit); 1432 printf(" "); 1433 1434 1435 } 1436 printf("\n"); 1437 } 1438 void main() 1439 { int a[]={2,5,8}; 1440 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1441 printf("a[0～%d]的全排序如下:\n ",n-1); 1442 Perm(a,n); 1443 dispps(); 1444 } 1445 上述程序的执行结果如图 1.32 所示。 1446 图 1.32 程序执行结果 1447 1.5 第 5 章─回溯法 1448 1.5.1 练习题 1449 1. 回溯法在问题的解空间树中，按（ ）策略，从根结点出发搜索解空间树。 1450 A. 广度优先 B.活结点优先 C.扩展结点优先 D.深度优先 1451 2. 关于回溯法以下叙述中不正确的是（ ）。 1452 A.回溯法有“通用解题法”之称，它可以系统地搜索一个问题的所有解或任意解 B.回溯法是一种既带系统性又带有跳跃性的搜索算法 1453 C.回溯算法需要借助队列这种结构来保存从根结点到当前扩展结点的路径 1454 D.回溯算法在生成解空间的任一结点时，先判断该结点是否可能包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向祖先结点回溯 1455 3. 回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（ ）。 1456 A. 确定解空间的时间 B.满足显约束的值的个数 1457 C.计算约束函数的时间 D.计算限界函数的时间 1458 4. 下面（ ）函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略。 1459 A.递归函数 B.剪枝函数 C.随机数函数 D.搜索函数5.回溯法的搜索特点是什么？ 1460 6. 用回溯法解 0/1 背包问题时，该问题的解空间是何种结构？用回溯法解流水作业调度问题时，该问题的解空间是何种结构？ 1461 7. 对于递增序列 a[]={1，2，3，4，5}，采用例 5.4 的回溯法求全排列，以 1、2 开头的排列一定最先出现吗？为什么？ 1462 8. 考虑 n 皇后问题，其解空间树为由 1、2、…、n 构成的 n!种排列所组成。现用回 1463 1464 溯法求解，要求： 1465 （1） 通过解搜索空间说明 n=3 时是无解的。 1466 （2） 给出剪枝操作。 1467 （3） 最坏情况下在解空间树上会生成多少个结点？分析算法的时间复杂度。 1468 9. 设计一个算法求解简单装载问题，设有一批集装箱要装上一艘载重量为 W 的轮船，其中编号为 i（0≤i≤n-1）的集装箱的重量为 wi。现要从 n 个集装箱中选出若干装上轮船，使它们的重量之和正好为 W。如果找到任一种解返回 true，否则返回 false。 1469 10. 给定若干个正整数a0、a0 、…、an-1 ，从中选出若干数，使它们的和恰好为k， 要求找选择元素个数最少的解。 1470 11. 设计求解有重复元素的排列问题的算法，设有 n 个元素 a[]={a0，a1，…，an-1)， 其中可能含有重复的元素，求这些元素的所有不同排列。如 a[]={1，1，2}，输出结果是 1471 （1，1，2)，（1，2，1），（2，1，1）。 1472 12. 采用递归回溯法设计一个算法求1～n的n个整数中取出m个元素的排列，要求每个元素最多只能取一次。例如，n=3，m=2的输出结果是（1，2），（1，3），（2，1）， 1473 （2，3），（3，1），（3，2）。 1474 13. 对于n皇后问题，有人认为当n为偶数时，其解具有对称性，即n皇后问题的解个数恰好为n/2皇后问题的解个数的2倍，这个结论正确吗？请编写回溯法程序对n=4、6、 1475 8、10的情况进行验证。 1476 14. 给定一个无向图，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他顶点且只经过一次，称为哈密顿路径，闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle）。设计一个回溯算法求无向图的所有哈密顿回路。 1477 1.5.2 练习题参考答案 1478 1. 答：D。 1479 2. 答：回溯算法是采用深度优先遍历的，需要借助系统栈结构来保存从根结点到当前扩展结点的路径。答案为 C。 1480 3. 答：回溯法解空间是虚拟的，不必确定整个解空间。答案为 A。 1481 4. 答：B。 1482 5. 答：回溯法在解空间树中采用深度优先遍历方式进行解搜索，即用约束条件和限界函数考察解向量元素 x[i]的取值，如果 x[i]是合理的就搜索 x[i]为根结点的子树，如果x[i]取完了所有的值，便回溯到 x[i-1]。 1483 6. 答：用回溯法解 0/1 背包问题时，该问题的解空间是子集树结构。用回溯法解流水作业调度问题时，该问题的解空间是排列树结构。 1484 7. 答：是的。对应的解空间是一棵排列树，如图 1.33 所示给出前面 3 层部分，显然最先产生的排列是从 G 结点扩展出来的叶子结点，它们就是以 1、2 开头的排列。 1485 1486 1487 1488 1489 图 1.33 部分解空间树 1490 8. 答：（1）n=3 时的解搜索空间如图 1.34 所示，不能得到任何叶子结点，所有无解。 1491 （2） 剪枝操作是任何两个皇后不能同行、同列和同两条对角线。 1492 （3） 最坏情况下每个结点扩展 n 个结点，共有 nn 个结点，算法的时间复杂度为 1493 O(nn)。 1494 1495 1496 1497 图 1.34 3 皇后问题的解搜索空间 1498 9. 解：用数组 w[0..n-1]存放 n 个集装箱的重量，采用类似判断子集和是否存在解的方法求解。对应完整的求解程序如下： 1499 #include <stdio.h> 1500 #define MAXN 20 //最多集装箱个数 1501 //问题表示 1502 int n=5,W; 1503 int w[]={2,9,5,6,3}; 1504 int count; //全局变量，累计解个数 1505 void dfs(int tw,int rw,int i) //求解简单装载问题 1506 { if (i>=n) //找到一个叶子结点 1507 1508 1509 1510 1511 1512 1513 1514 bool solve() //判断简单装载问题是否存在解 1515 1516 1517 { 1518 1519 1520 count=0; 1521 int rw=0; 1522 for (int j=0;j<n;j++) 1523 rw+=w[j]; 1524 1525 //求所有集装箱重量和rw 1526 dfs(0,rw,0); //i从0开始 1527 if (count>0) 1528 return true; 1529 else 1530 return false; 1531 } 1532 void main() 1533 { printf("求解结果\n"); 1534 W=4; 1535 printf(" W=%d时%s\n",W,(solve()?"存在解":"没有解")); 1536 W=10; 1537 printf(" W=%d时%s\n",W,(solve()?"存在解":"没有解")); 1538 W=12; 1539 printf(" W=%d时%s\n",W,(solve()?"存在解":"没有解")); 1540 W=21; 1541 printf(" W=%d时%s\n",W,(solve()?"存在解":"没有解")); 1542 } 1543 本程序执行结果如图 1.35 所示。 1544 图 1.35 程序执行结果 1545 10. 解：这是一个典型的解空间为子集树的问题，采用子集树的回溯算法框架。当找到一个解后通过选取的元素个数进行比较求最优解 minpath。对应的完整程序如下： 1546 #include <stdio.h> #include <vector> using namespace std; 1547 //问题表示 1548 int a[]={1,2,3,4,5}; //设置为全局变量 1549 int n=5,k=9; 1550 vector<int> minpath; //存放最优解 1551 //求解结果表示 1552 int minn=n; //最多选择n个元素 1553 void disppath() //输出一个解 1554 { printf(" 选择的元素:"); 1555 for (int j=0;j<minpath.size();j++) 1556 printf("%d ",minpath[j]); 1557 printf("元素个数=%d\n",minn); 1558 } 1559 1560 1561 void dfs(vector<int> path,int sum,int start) //求解算法 1562 { if (sum==k) //如果找到一个解，不一定到叶子结点 1563 { if (path.size()<minn) 1564 { minn=path.size(); 1565 minpath=path; 1566 } 1567 return; 1568 } 1569 if (start>=n) return; //全部元素找完，返回 1570 dfs(path,sum,start+1); //不选择a[start] 1571 path.push_back(a[start]); //选择a[start] 1572 dfs(path,sum+a[start],start+1); 1573 } 1574 void main() 1575 { vector<int> path; //path存放一个子集 1576 dfs(path,0,0); 1577 printf("最优解:\n"); 1578 disppath(); 1579 } 1580 上述程序的执行结果如图 1.36 所示。 1581 图 1.36 程序执行结果 1582 11. 解：在回溯法求全排列的基础上，增加元素的重复性判断。例如，对于 a[]={1， 1583 1，2}，不判断重复性时输出（1，1，2），（1，2，1），（1，1，2），（1，2，1）， 1584 （2，1，1），（2，1，1），共 6 个，有 3 个是重复的。重复性判断是这样的，对于在扩展 a[i]时，仅仅将与 a[i..j-1]没有出现的元素 a[j]交换到 a[i]的位置，如果出现，对应的排列已经在前面求出了。对应的完整程序如下： 1585 #include <stdio.h> 1586 bool ok(int a[],int i,int j) //ok用于判别重复元素 1587 { if (j>i) 1588 { for(int k=i;k<j;k++) 1589 if (a[k]==a[j]) 1590 return false; 1591 } 1592 return true; 1593 } 1594 void swap(int &x,int &y) //交换两个元素 1595 { int tmp=x; 1596 x=y; y=tmp; 1597 } 1598 void dfs(int a[],int n,int i) //求有重复元素的排列问题 1599 { if (i==n) 1600 1601 1602 1603 1604 1605 { 1606 1607 1608 } for(int j=0;j<n;j++) 1609 printf("%3d",a[j]); printf("\n"); 1610 else 1611 { for (int j=i;j<n;j++) 1612 if (ok(a,i,j)) //选取与a[i..j-1]不重复的元素a[j] 1613 { swap(a[i],a[j]); 1614 dfs(a,n,i+1); 1615 swap(a[i],a[j]); 1616 } 1617 } 1618 } 1619 void main() 1620 { int a[]={1,2,1,2}; 1621 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1622 printf("序列("); 1623 for (int i=0;i<n-1;i++) 1624 printf("%d ",a[i]); 1625 printf("%d)的所有不同排列:\n",a[n-1]); 1626 dfs(a,n,0); 1627 } 1628 上述程序的执行结果如图 1.37 所示。 1629 图 1.37 程序执行结果 1630 12. 解：采用求全排列的递归框架。选取的元素个数用 i 表示（i 从 1 开始），当 i>m时达到一个叶子结点，输出一个排列。为了避免重复，用 used 数组实现，used[i]=0 表示没有选择整数 i，used[i]=1 表示已经选择整数 i。对应的完整程序如下： 1631 #include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXN 20 #define MAXM 10 1632 int m,n; 1633 1634 1635 1636 1637 } 1638 else 1639 { 1640 for (int j=1;j<=n;j++) 1641 1642 1643 { if (!used[j]) 1644 { used[j]=true; //修改used[i] 1645 x[i]=j; //x[i]选择j 1646 dfs(i+1); //继续搜索排列的下一个元素 1647 1648 1649 1650 1651 } 1652 1653 1654 } 1655 1656 } 1657 } used[j]=false; //回溯：恢复used[i] 1658 voi 1659 { 1660 d main() 1661 n=4,m=2; 1662 memset(used,0,sizeof(used)); 1663 1664 //初始化为0 1665 printf("n=%d,m=%d的求解结果\n",n,m); 1666 dfs(1); //i从1开始 1667 } 1668 上述程序的执行结果如图 1.38 所示。 1669 图 1.38 程序执行结果 1670 13. 解：这个结论不正确。验证程序如下： 1671 #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXN 10 1672 int q[MAXN]; 1673 bool place(int i) //测试第i行的q[i]列上能否摆放皇后 1674 { int j=1; 1675 if (i==1) return true; 1676 while (j<i) //j=1～i-1是已放置了皇后的行 1677 { if ((q[j]==q[i]) || (abs(q[j]-q[i])==abs(j-i))) 1678 //该皇后是否与以前皇后同列，位置(j,q[j])与(i,q[i])是否同对角线 1679 return false; 1680 j++; 1681 } 1682 return true; 1683 } 1684 1685 1686 int Queens(int n) //求n皇后问题的解个数 1687 { int count=0,k; //计数器初始化 1688 int i=1; //i为当前行 1689 q[1]=0; //q[i]为皇后i的列号 1690 while (i>0) 1691 { q[i]++; //移到下一列 1692 1693 1694 1695 while (q[i]<=n && !place(i)) 1696 q[i]++; 1697 if (q[i]<=n) 1698 { if (i==n) 1699 count++; //找到一个解计数器count加1 1700 else 1701 { 1702 i++;; q[i]=0; 1703 } 1704 } 1705 else i--; //回溯 1706 } 1707 return count; 1708 } 1709 void main() 1710 { printf("验证结果如下:\n"); 1711 for (int n=4;n<=10;n+=2) 1712 if (Queens(n)==2*Queens(n/2)) 1713 printf(" n=%d: 正确\n",n); 1714 else 1715 printf(" n=%d: 错误\n",n); 1716 } 1717 上述程序的执行结果如图1.39所示。从执行结果看出结论是不正确的。 1718 图 1.39 程序执行结果 1719 14. 解：假设给定的无向图有 n 个顶点（顶点编号从 0 到 n-1），采用邻接矩阵数组 a 1720 （0/1 矩阵）存放，求从顶点 v 出发回到顶点 v 的哈密顿回路。采用回溯法，解向量为x[0..n]，x[i]表示第 i 步找到的顶点编号（i=n-1 时表示除了起点 v 外其他顶点都查找了），初始时将起点 v 存放到 x[0]，i 从 1 开始查找，i>0 时循环：为 x[i]找到一个合适的顶点， 当 i=n-1 时，若顶点 x[i]到顶点 v 有边对应一个解；否则继续查找下一个顶点。如果不能为 x[i]找到一个合适的顶点，则回溯。采用非递归回溯框架（与《教程》中求解 n 皇后问题的非递归回溯框架类似）的完整程序如下： 1721 #include <stdio.h> #define MAXV 10 1722 1723 1724 //求解问题表示 1725 int n=5; //图中顶点个数 1726 int a[MAXV][MAXV]={{0,1,1,1,0},{1,0,0,1,1},{1,0,0,0,1},{1,1,0,0,1},{0,1,1,1,0}}; 1727 //邻接矩阵数组 1728 //求解结果表示int x[MAXV]; int count; 1729 void dispasolution() //输出一个解路径 1730 { for (int i=0;i<=n-1;i++) 1731 printf("(%d,%d) ",x[i],x[i+1]); 1732 printf("\n"); 1733 } 1734 bool valid(int i) //判断顶点第i个顶点x[i]的有效性 1735 { if (a[x[i-1]][x[i]]!=1) //x[i-1]到x[i]没有边，返回false 1736 return false; 1737 for (int j=0;j<=i-1;j++) 1738 if (x[i]==x[j]) //顶点i重复出现，返回false 1739 return false; 1740 return true; 1741 } 1742 void Hamiltonian(int v) //求从顶点v出发的哈密顿回路 1743 { x[0]=v; //存放起点 1744 int i=1; 1745 x[i]=-1; //从顶点-1+1=0开始试探 1746 while (i>0) //尚未回溯到头，循环 1747 1748 { x[i]++; 1749 while (!valid(i) && x[i]<n) 1750 x[i]++; //试探一个顶点x[i] 1751 if (x[i]<n) //找到一个有效的顶点x[i] 1752 { if (i==n-1) //达到叶子结点 1753 { if (a[x[i]][v]==1) 1754 { x[n]=v; //找到一个解 1755 printf(" 第%d个解: ",count++); 1756 dispasolution(); 1757 } 1758 } 1759 else 1760 { 1761 i++; x[i]=-1; 1762 } 1763 } 1764 else 1765 i--; //回溯 1766 } 1767 } 1768 void main() 1769 { printf("求解结果\n"); 1770 for (int v=0;v<n;v++) 1771 { printf(" 从顶点%d出发的哈密顿回路:\n",v); 1772 count=1; 1773 1774 Hamiltonian(v); //从顶点v出发 1775 } 1776 } 1777 上述程序对如图 1.40 所示的无向图求从每个顶点出发的哈密顿回路，程序执行结果如图 1.41 所示。 1778 1779 图 1.40 一个无向图 1780 图 1.41 程序执行结果 1781 1.6 第 6 章─分枝限界法 1782 1.6.1 练习题 1783 1. 分枝限界法在问题的解空间树中，按（ ）策略，从根结点出发搜索解空间树。 1784 A. 广度优先 B.活结点优先 C.扩展结点优先 D. 深度优先 1785 2. 常见的两种分枝限界法为（ ）。 1786 A. 广度优先分枝限界法与深度优先分枝限界法 1787 1788 1789 B. 队列式（FIFO）分枝限界法与堆栈式分枝限界法C.排列树法与子集树法 1790 D.队列式（FIFO）分枝限界法与优先队列式分枝限界法 1791 3. 分枝限界法求解 0/1 背包问题时，活结点表的组织形式是（ ）。A.小根堆 B.大根堆 C.栈 D.数组 1792 4. 采用最大效益优先搜索方式的算法是（ ）。 1793 A. 分支界限法 B.动态规划法 C.贪心法 D.回溯法 1794 5. 优先队列式分枝限界法选取扩展结点的原则是（ ）。 1795 A. 先进先出 B.后进先出 C.结点的优先级 D.随机 1796 6. 简述分枝限界法的搜索策略。 1797 7. 有一个 0/1 背包问题，其中 n=4，物品重量为（4，7，5，3），物品价值为（40， 1798 42，25，12），背包最大载重量 W=10，给出采用优先队列式分枝限界法求最优解的过程。 1799 8. 有一个流水作业调度问题，n=4，a[]={5，10，9，7}，b[]={7，5，9，8}，给出采用优先队列式分枝限界法求一个解的过程。 1800 9. 有一个含 n 个顶点（顶点编号为 0～n-1）的带权图，采用邻接矩阵数组 A 表示， 采用分枝限界法求从起点 s 到目标点 t 的最短路径长度，以及具有最短路径长度的路径条数。 1801 10. 采用优先队列式分枝限界法求解最优装载问题。给出以下装载问题的求解过程和结果：n=5，集装箱重量为 w=（5，2，6，4，3），限重为 W=10。在装载重量相同时，最优装载方案是集装箱个数最少的方案。 1802 1.6.2 练习题参考答案 1803 1. 答：A。 1804 2. 答：D。 1805 3. 答：B。 1806 4. 答：A。 1807 5. 答：C。 1808 6. 答：分枝限界法的搜索策略是广度优先遍历，通过限界函数可以快速找到一个解或者最优解。 1809 7. 答：求解过程如下： 1810 （1）根结点 1 进队，对应结点值：e.i=0，e.w=0，e.v=0，e.ub=76，x:[0，0，0，0]。 1811 （2） 出队结点 1：左孩子结点 2 进队，对应结点值：e.no=2，e.i=1，e.w=4， e.v=40，e.ub=76，x:[1，0，0，0]；右孩子结点 3 进队，对应结点值：e.no=3，e.i=1， e.w=0，e.v=0，e.ub=57，x:[0，0，0，0]。 1812 （3） 出队结点 2：左孩子超重；右孩子结点 4 进队，对应结点值：e.no=4，e.i=2， e.w=4，e.v=40，e.ub=69，x:[1，0，0，0]。 1813 （4） 出队结点 4：左孩子结点 5 进队，对应结点值：e.no=5，e.i=3，e.w=9， e.v=65，e.ub=69，x:[1，0，1，0]；右孩子结点 6 进队，对应结点值：e.no=6，e.i=3， e.w=4，e.v=40，e.ub=52，x:[1，0，0，0]。 1814 1815 （5） 出队结点 5：产生一个解，maxv= 65，bestx:[1，0，1，0]。 1816 （6） 出队结点 3：左孩子结点 8 进队，对应结点值：e.no=8，e.i=2，e.w=7， e.v=42，e.ub=57，x:[0，1，0，0]；右孩子结点 9 被剪枝。 1817 （7） 出队结点 8：左孩子超重；右孩子结点 10 被剪枝。 1818 （8） 出队结点 6：左孩子结点 11 超重；右孩子结点 12 被剪枝。 1819 （9） 队列空，算法结束，产生的最优解：maxv= 65，bestx:[1，0，1，0]。 1820 8. 答：求解过程如下： 1821 （1）根结点 1 进队，对应结点值：e.i=0，e.f1=0，e.f2=0，e.lb=29， x：[0，0，0， 1822 1823 0]。 1824 1825 （2） 出队结点 1：扩展结点如下： 1826 进队（j=1）：结点 2，e.i=1，e.f1=5，e.f2=12，e.lb=27，x：[1，0，0，0]。进队（j=2）：结点 3，e.i=1，e.f1=10，e.f2=15，e.lb=34，x：[2，0，0，0]。进队（j=3）：结点 4，e.i=1，e.f1=9，e.f2=18，e.lb=29，x：[3，0，0，0]。进队（j=4）：结点 5，e.i=1，e.f1=7，e.f2=15，e.lb=28，x：[4，0，0，0]。 1827 （3） 出队结点 2：扩展结点如下： 1828 进队（j=2）：结点 6，e.i=2，e.f1=15，e.f2=20，e.lb=32，x：[1，2，0，0]。进队（j=3）：结点 7，e.i=2，e.f1=14，e.f2=23，e.lb=27，x：[1，3，0，0]。进队（j=4）：结点 8，e.i=2，e.f1=12，e.f2=20，e.lb=26，x：[1，4，0，0]。 1829 （4） 出队结点 8：扩展结点如下： 1830 进队（j=2）：结点 9，e.i=3，e.f1=22，e.f2=27，e.lb=31，x：[1，4，2，0]。进队（j=3）：结点 10，e.i=3，e.f1=21，e.f2=30，e.lb=26，x：[1，4，3，0]。 1831 （5） 出队结点 10，扩展一个 j=2 的子结点，有 e.i=4，到达叶子结点，产生的一个解 1832 1833 是 e.f1=31，e.f2=36，e.lb=31，x=[1，4，3，2]。 1834 该解对应的调度方案是：第 1 步执行作业 1，第 2 步执行作业 4，第 3 步执行作业3，第 4 步执行作业 2，总时间=36。 1835 9. 解：采用优先队列式分枝限界法求解，队列中结点的类型如下： 1836 struct NodeType 1837 { int vno; //顶点的编号 1838 int length; //当前结点的路径长度 1839 bool operator<(const NodeType &s) const //重载<关系函数 1840 { return length>s.length; } //length越小越优先 1841 }; 1842 从顶点 s 开始广度优先搜索，找到目标点 t 后比较求最短路径长度及其路径条数。对应的完整程序如下： 1843 #include <stdio.h> #include <queue> using namespace std; #define MAX 11 1844 #define INF 0x3f3f3f3f 1845 //问题表示 1846 int A[MAX][MAX]={ //一个带权有向图 1847 1848 1849 {0，1，4，INF，INF}， 1850 {INF，0，INF，1，5}， 1851 {INF，INF，0，INF，1}， 1852 {INF，INF，2，0，3}， 1853 {INF，INF，INF，INF，INF} }; 1854 1855 int n=5; 1856 //求解结果表示 1857 int bestlen=INF; //最优路径的路径长度 1858 int bestcount=0; //最优路径的条数 1859 struct NodeType 1860 { int vno; //顶点的编号 1861 int length; //当前结点的路径长度 1862 bool operator<(const NodeType &s) const //重载>关系函数 1863 { return length>s.length; } //length越小越优先 1864 }; 1865 void solve(int s，int t) //求最短路径问题 1866 { NodeType e，e1; //定义2个结点 1867 priority_queue<NodeType> qu; //定义一个优先队列qu 1868 e.vno=s; //构造根结点 1869 e.length=0; 1870 qu.push(e); //根结点进队 1871 while (!qu.empty()) //队不空循环 1872 { e=qu.top(); qu.pop(); //出队结点e作为当前结点 1873 if (e.vno==t) //e是一个叶子结点 1874 { if (e.length<bestlen) //比较找最优解 1875 { bestcount=1; 1876 bestlen=e.length; //保存最短路径长度 1877 } 1878 else if (e.length==bestlen) 1879 bestcount++; 1880 } 1881 else //e不是叶子结点 1882 { for (int j=0; j<n; j++) //检查e的所有相邻顶点 1883 if (A[e.vno][j]!=INF && A[e.vno][j]!=0) //顶点e.vno到顶点j有边 1884 { if (e.length+A[e.vno][j]<bestlen) //剪枝 1885 { e1.vno=j; 1886 e1.length=e.length+A[e.vno][j]; 1887 qu.push(e1); //有效子结点e1进队 1888 } 1889 } 1890 } 1891 } 1892 } 1893 void main() 1894 { int s=0，t=4; 1895 solve(s，t); 1896 if (bestcount==0) 1897 printf("顶点%d到%d没有路径\n"，s，t); 1898 else 1899 { printf("顶点%d到%d存在路径\n"，s，t); 1900 1901 printf(" 最短路径长度=%d，条数=%d\n"， bestlen，bestcount); 1902 //输出：5 3 1903 } 1904 } 1905 上述程序的执行结果如图 1.39 所示。 1906 图 1.39 程序执行结果 1907 10. 解：采用优先队列式分枝限界法求解。设计优先队列priority_queue<NodeType>，并设计优先队列的关系比较函数 Cmp，指定按结点的 ub 值进行比较，即 ub 值越大的结点越先出队。对应的完整程序如下： 1908 #include <stdio.h> #include <queue> using namespace std; 1909 #define MAXN 21 //最多的集装箱数 1910 //问题表示 1911 int n=5; 1912 int W=10; 1913 int w[]={0,5,2,6,4,3}; //集装箱重量,不计下标0的元素 1914 //求解结果表示 1915 int bestw=0; //存放最大重量,全局变量 1916 int bestx[MAXN]; //存放最优解,全局变量 1917 int Count=1; //搜索空间中结点数累计,全局变量 1918 typedef struct 1919 { int no; //结点编号 1920 int i; //当前结点在解空间中的层次 1921 int w; //当前结点的总重量 1922 int x[MAXN]; //当前结点包含的解向量 1923 int ub; //上界 1924 } NodeType; 1925 struct Cmp //队列中关系比较函数 1926 { bool operator()(const NodeType &s,const NodeType &t) 1927 { return (s.ub<t.ub) || (s.ub==t.ub && s.x[0]>t.x[0]); 1928 //ub越大越优先,当ub相同时x[0]越小越优先 1929 } 1930 }; 1931 1932 1933 } 1934 void Loading() //求装载问题的最优解 1935 { NodeType e,e1,e2; //定义3个结点 1936 priority_queue<NodeType,vector<NodeType>,Cmp > qu; //定义一个优先队列qu 1937 e.no=Count++; //设置结点编号 1938 e.i=0; //根结点置初值,其层次计为0 1939 e.w=0; 1940 for (int j=0; j<=n; j++) //初始化根结点的解向量 1941 e.x[j]=0; 1942 bound(e); //求根结点的上界 1943 qu.push(e); //根结点进队 1944 while (!qu.empty()) //队不空循环 1945 { e=qu.top(); qu.pop(); //出队结点e作为当前结点 1946 if (e.i==n) //e是一个叶子结点 1947 { if ((e.w>bestw) || (e.w==bestw && e.x[0]<bestx[0])) //比较找最优解 1948 { bestw=e.w; //更新bestw 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 } for (int j=0;j<=e.i;j++) 1958 bestx[j]=e.x[j]; //复制解向量e.x->bestx 1959 } 1960 else //e不是叶子结点 1961 { if (e.w+w[e.i+1]<=W) //检查左孩子结点 1962 { e1.no=Count++; //设置结点编号 1963 e1.i=e.i+1; //建立左孩子结点 1964 e1.w=e.w+w[e1.i]; 1965 for (int j=0; j<=e.i; j++) 1966 e1.x[j]=e.x[j]; //复制解向量e.x->e1.x 1967 e1.x[e1.i]=1; //选择集装箱i 1968 e1.x[0]++; //装入集装箱数增1 1969 bound(e1); //求左孩子结点的上界 1970 qu.push(e1); //左孩子结点进队 1971 } 1972 e2.no=Count++; //设置结点编号 1973 e2.i=e.i+1; //建立右孩子结点 1974 e2.w=e.w; 1975 for (int j=0; j<=e.i; j++) //复制解向量e.x->e2.x 1976 e2.x[j]=e.x[j]; 1977 e2.x[e2.i]=0; //不选择集装箱i 1978 bound(e2); //求右孩子结点的上界 1979 if (e2.ub>bestw) //若右孩子结点可行,则进队,否则被剪枝 1980 qu.push(e2); 1981 } 1982 } 1983 } 1984 void disparr(int x[],int len) //输出一个解向量 1985 { for (int i=1;i<=len;i++) 1986 printf("%2d",x[i]); 1987 } 1988 void dispLoading() //输出最优解 1989 { printf(" X=["); 1990 1991 disparr(bestx,n); 1992 printf("],装入总价值为%d\n",bestw); 1993 } 1994 void main() 1995 { Loading(); 1996 printf("求解结果:\n"); 1997 dispLoading(); //输出最优解 1998 } 1999 上述程序的执行结果如图 1.40 所示。 2000 图 1.40 程序执行结果 2001 1.7 第 7 章─贪心法 2002 1.7.1 练习题 2003 1. 下面是贪心算法的基本要素的是（ ）。 2004 A. 重叠子问题 B.构造最优解 C.贪心选择性质 D.定义最优解 2005 2. 下面问题（ ）不能使用贪心法解决。 2006 A. 单源最短路径问题 B.n 皇后问题 C.最小花费生成树问题 D.背包问题 2007 3. 采用贪心算法的最优装载问题的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序，故算法的时间复杂度为（ ）。 2008 A.O(n) B.O(n2) C.O(n3) D.O(nlog2n) 2009 4. 关于 0/ 1 背包问题以下描述正确的是（ ）。A.可以使用贪心算法找到最优解 2010 B. 能找到多项式时间的有效算法 2011 C. 使用教材介绍的动态规划方法可求解任意 0－1 背包问题 2012 D. 对于同一背包与相同的物品，做背包问题取得的总价值一定大于等于做 0/1 背包问 2013 题 2014 5. 一棵哈夫曼树共有 215 个结点，对其进行哈夫曼编码，共能得到（ ）个不同的码 2015 字。 2016 A.107 B.108 C.214 D.215 2017 6. 求解哈夫曼编码中如何体现贪心思路？ 2018 7. 举反例证明 0/1 背包问题若使用的算法是按照 vi/wi 的非递减次序考虑选择的物品，即只要正在被考虑的物品装得进就装入背包，则此方法不一定能得到最优解（此题说明 0/1 背包问题与背包问题的不同）。 2019 2020 2021 8. 求解硬币问题。有 1 分、2 分、5 分、10 分、50 分和 100 分的硬币各若干枚，现在要用这些硬币来支付 W 元，最少需要多少枚硬币。 2022 9. 求解正整数的最大乘积分解问题。将正整数 n 分解为若干个互不相同的自然数之和，使这些自然数的乘积最大。 2023 10. 求解乘船问题。有 n 个人，第 i 个人体重为 wi（0≤i<n）。每艘船的最大载重量均为 C，且最多只能乘两个人。用最少的船装载所有人。 2024 11. 求解会议安排问题。有一组会议 A 和一组会议室 B，A[i]表示第 i 个会议的参加人数，B[j]表示第 j 个会议室最多可以容纳的人数。当且仅当 A[i]≤B[j]时，第 j 个会议室可以用于举办第 i 个会议。给定数组 A 和数组 B，试问最多可以同时举办多少个会议。例如，A[]={1，2，3}，B[]={3，2，4}，结果为 3；若 A[]={3，4，3，1}，B[]={1，2，2， 6}，结果为 2. 2025 12. 假设要在足够多的会场里安排一批活动，n 个活动编号为 1～n，每个活动有开始时间 bi 和结束时间 ei（1≤i≤n）。设计一个有效的贪心算法求出最少的会场个数。 2026 13. 给定一个 m×n 的数字矩阵，计算从左到右走过该矩阵且经过的方格中整数最小的路径。一条路径可以从第 1 列的任意位置出发，到达第 n 列的任意位置，每一步为从第 i 列走到第 i+1 列相邻行（水平移动或沿 45 度斜线移动），如图 1.41 所示。第 1 行和最后一行看作是相邻的，即应当把这个矩阵看成是一个卷起来的圆筒。 2027 2028 2029 图 1.41 每一步的走向 2030 两个略有不同的 5×6 的数字矩阵的最小路径如图 1.42 所示，只有最下面一行的数不同。右边矩阵的路径利用了第一行与最后一行相邻的性质。 2031 输入：包含多个矩阵，每个矩阵的第一行为两个数 m 和 n，分别表示矩阵的行数和列数，接下来的 m×n 个整数按行优先的顺序排列，即前 n 个数组成第一行，接下的 n 个数组成第 2 行，依此类推。相邻整数间用一个或多个空格分隔。注意这些数不一定是正数。输入中可能有一个或多个矩阵描述，直到输入结束。每个矩阵的行数在 1 到 10 之间，列数在 1 到 100 之间。 2032 输出：对每个矩阵输出两行，第一行为最小整数之和的路径，路径由 n 个整数组成， 表示路径经过的行号，如果这样的路径不止一条，输出字典序最小一条。 2033 2034 3 4 1 2 8 6 2035 图 1.42 两个数字矩阵的最小路径 2036 6 1 8 2 7 4 2037 5 9 3 9 9 5 2038 8 4 1 3 2 6 2039 3 7 2 1 2 3 2040 2041 2042 6 1 8 2 7 4 2043 5 9 3 9 9 5 2044 8 4 1 3 2 6 2045 3 7 2 8 6 4 2046 输出结果： 2047 1 2 3 4 4 5 2048 16 2049 1.7.2 练习题参考答案 2050 1. 答：C。 2051 2. 答：n 皇后问题的解不满足贪心选择性质。答案为 B。 2052 3. 答：D。 2053 4. 答：由于背包问题可以取物品的一部分，所以总价值一定大于等于做 0/1 背包问题。答案为 D。 2054 5. 答：这里 n=215，哈夫曼树中 n1=0，而 n0=n2+1，n=n0+n1+n2=2n0-1， n0=(n+1)/2=108。答案为 B。 2055 6. 答：在构造哈夫曼树时每次都是将两棵根结点最小的树合并，从而体现贪心的思路。 2056 7. 证明：例如，n=3，w={3，2，2}，v={7，4，4}，W=4 时，由于 7/3 最大，若按题目要求的方法，只能取第一个，收益是 7。而此实例的最大的收益应该是 8，取第 2、3 2057 个物品。 2058 8. 解：用结构体数组 A 存放硬币数据，A[i].v 存放硬币 i 的面额，A[i].c 存放硬币 i 的枚数。采用贪心思路，首先将数组 A 按面额递减排序，再兑换硬币，每次尽可能兑换面额大的硬币。对应的完整程序如下： 2059 #include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; 2060 #define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y)) #define MAX 21 2061 //问题表示int n=7; 2062 struct NodeType 2063 { int v; //面额 2064 int c; //枚数 2065 bool operator<(const NodeType &s) 2066 { //用于按面额递减排序 2067 return s.v<v; 2068 } 2069 }; 2070 NodeType A[]={{1,12},{2,8},{5,6},{50,10},{10,8},{200,1},{100,4}}; 2071 int W; 2072 //求解结果表示 2073 2074 2075 { sort(A,A+n); //按面额递减排序 2076 for (int i=0;i<n;i++) 2077 { int t=min(W/A[i].v,A[i].c); //使用硬币i的枚数 2078 if (t!=0) 2079 printf(" 支付%3d面额: %3d枚\n",A[i].v,t); 2080 W-=t*A[i].v; //剩余的金额 2081 ans+=t; 2082 if (W==0) break; 2083 } 2084 } 2085 void main() 2086 { W=325; //支付的金额 2087 printf("支付%d分:\n",W); 2088 solve(); 2089 printf("最少硬币的个数: %d枚\n",ans); 2090 } 2091 上述程序的执行结果如图 1.43 所示。 2092 图 1.43 程序执行结果 2093 9. 解：采用贪心方法求解。用 a[0..k]存放 n 的分解结果： 2094 （1） n≤4 时可以验证其分解成几个正整数的和的乘积均小于 n，没有解。 2095 （2） n>4 时，把 n 分拆成若干个互不相等的自然数的和，分解数的个数越多乘积越大。为此让 n 的分解数个数尽可能多（体现贪心的思路），把 n 分解成从 2 开始的连续的自然数之和。例如，分解 n 为 a[0]=2，a[1]=3，a[2]=4，…，a[k]=k+2（共有 k+1 个分解数），用 m 表示剩下数，这样的分解直到 m≤a[k]为止，即 m≤k+2。对剩下数 m 的处理分为如下两种情况： 2096 ① m<k+2：将 m 平均分解到 a[k..i]（对应的分解数个数为 m）中，即从 a[k]开始往前的分解数增加 1（也是贪心的思路，分解数越大加 1 和乘积也越大）。 2097 ② m=k+2：将 a[0..k-1] （对应的分解数个数为 k）的每个分解数增加 1，剩下的 2 增加到 a[k]中，即 a[k]增加 2。 2098 对应的完整程序如下： 2099 #include <stdio.h> #include <string.h> #define MAX 20 2100 //问题表示int n; 2101 //求解结果表示 2102 2103 2104 int a[MAX]; 2105 int k=0; 2106 void solve() 2107 2108 //存放被分解的数 2109 //a[0..k]存放被分解的数 2110 //求解n的最大乘积分解问题 2111 { int i; 2112 int sum=1; 2113 if (n<4) //不存在最优方案,直接返回 2114 return; 2115 else 2116 { int m=n; //m表示剩下数 2117 a[0]=2; //第一个数从2开始 2118 m-=a[0]; //减去已经分解的数 2119 k=0; 2120 while (m>a[k]) //若剩下数大于最后一个分解数,则继续分解 2121 { k++; //a数组下标+1 2122 a[k]=a[k-1]+1; //按2、3、4递增顺序分解 2123 m-=a[k]; //减去最新分解的数 2124 } 2125 if (m<a[k]) //若剩下数小于a[k],从a[k]开始往前的数+1 2126 { for (i=0; i<m; i++) 2127 a[k-i]+=1; 2128 } 2129 if (m==a[k]) //若剩下数等于a[k],则a[k]的值+2,之前的数+1 2130 { a[k]+=2; 2131 for (i=0; i<k; i++) 2132 a[i]+=1; 2133 } 2134 } 2135 } 2136 void main() 2137 { n=23; 2138 memset(a,0,sizeof(a)); 2139 solve(); 2140 printf("%d的最优分解方案\n",n); 2141 int mul=1; 2142 printf(" 分解的数: "); 2143 for (int i=0;i<=k;i++) 2144 if (a[i]!=0) 2145 { printf("%d ",a[i]); 2146 mul*=a[i]; 2147 } 2148 printf("\n 乘积最大值: %d\n",mul); 2149 } 2150 上述程序的执行结果如图 1.44 所示。 2151 2152 2153 图 1.44 程序执行结果 2154 10. 解：采用贪心思路，首先按体重递增排序；再考虑前后的两个人（最轻者和最重者），分别用 i、j 指向：若 w[i]+w[j]≤C，说明这两个人可以同乘（执行 i++，j--），否则 w[j]单乘（执行 j--），若最后只剩余一个人，该人只能单乘。 2155 对应的完整程序如下： 2156 #include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; #define MAXN 101 2157 //问题表示int n=7; 2158 int w[]={50,65,58,72,78,53,82}; 2159 int C=150; 2160 //求解结果表示int bests=0; 2161 void Boat() 2162 { sort(w,w+n); 2163 int i=0; 2164 //求解乘船问题 2165 //递增排序 2166 int j=n - 1; 2167 while (i<=j) 2168 { if(i==j) //剩下最后一个人 2169 { printf(" 一艘船: %d\n",w[i]); 2170 bests++; 2171 break; 2172 } 2173 if (w[i]+w[j]<=C) //前后两个人同乘 2174 { printf(" 一艘船: %d %d\n",w[i],w[j]); 2175 bests++; 2176 i++; 2177 j--; 2178 } 2179 else //w[j]单乘 2180 { printf(" 一艘船: %d\n",w[j]); 2181 bests++; 2182 j--; 2183 } 2184 } 2185 } 2186 void main() 2187 { printf("求解结果:\n"); 2188 Boat(); 2189 printf("最少的船数=%d\n",bests); 2190 } 2191 上述程序的执行结果如图 1.45 所示。 2192 2193 2194 2195 2196 图 1.45 程序执行结果 2197 11. 解：采用贪心思路。每次都在还未安排的容量最大的会议室安排尽可能多的参会人数，即对于每个会议室，都安排当前还未安排的会议中，参会人数最多的会议。若能容纳下，则选择该会议，否则找参会人数次多的会议来安排，直到找到能容纳下的会议。 2198 对应的完整程序如下： 2199 #include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; 2200 //问题表示 2201 int n=4; //会议个数 2202 int m=4; //会议室个数 2203 int A[]={3,4,3,1}; 2204 int B[]={1,2,2,6}; 2205 //求解结果表示int ans=0; 2206 void solve() //求解算法 2207 { sort(A,A+n); //递增排序 2208 sort(B,B+m); //递增排序 2209 int i=n-1,j=m-1; //从最多人数会议和最多容纳人数会议室开始 2210 for(i;i>=0;i--) 2211 { if(A[i]<=B[j] && j>=0) 2212 { ans++; //不满足条件，增加一个会议室 2213 j--; 2214 } 2215 } 2216 } 2217 void main() 2218 { solve(); 2219 printf("%d\n",ans); //输出2 2220 } 2221 12. 解：与《教程》例 7.2 类似，会场对应蓄栏，只是这里仅仅求会场个数，即最大兼容活动子集的个数。对应的完整程序如下： 2222 #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 51 2223 //问题表示 2224 struct Action //活动的类型声明 2225 2226 2227 { 2228 int b; 2229 int e; 2230 2231 2232 2233 2234 //活动起始时间 2235 //活动结束时间 2236 bool operator<(const Action &s) const //重载<关系函数 2237 { if (e==s.e) //结束时间相同按开始时间递增排序 2238 return b<=s.b; 2239 else //否则按结束时间递增排序 2240 return e<=s.e; 2241 } 2242 }; 2243 int n=5; 2244 Action A[]={{0},{1,10},{2,4},{3,6},{5,8},{4,7}}; //下标0不用 2245 //求解结果表示 2246 int ans; //最少会场个数 2247 void solve() //求解最大兼容活动子集 2248 { bool flag[MAX]; //活动标志 2249 memset(flag,0,sizeof(flag)); 2250 sort(A+1,A+n+1); //A[1..n]按指定方式排序 2251 ans=0; //会场个数 2252 for (int j=1;j<=n;j++) 2253 { if (!flag[j]) 2254 { flag[j]=true; 2255 int preend=j; //前一个兼容活动的下标 2256 for (int i=preend+1;i<=n;i++) 2257 { if (A[i].b>=A[preend].e && !flag[i]) 2258 2259 2260 2261 2262 2263 2264 2265 2266 { 2267 2268 } preend=i; 2269 flag[i]=true; 2270 } 2271 ans++; //增加一个最大兼容活动子集 2272 } 2273 } 2274 } 2275 void main() 2276 { solve(); 2277 printf("求解结果\n"); 2278 printf(" 最少会场个数: %d\n",ans); //输出4 2279 } 2280 13. 解：采用贪心思路。从第 1 列开始每次查找 a[i][j]元素上、中、下 3 个对应数中的最小数。对应的程序如下： 2281 #include <stdio.h> #define M 12 #define N 110 2282 int m=5, n=6; 2283 int a[M][N]={{3,4,1,2,8,6},{6,1,8,2,7,4},{5,9,3,9,9,5},{8,4,1,3,2,6},{3,7,2,8,6,4}}; 2284 int minRow,minCol; 2285 int minValue(int i, int j) 2286 //求a[i][j]有方上、中、下3个数的最小数,同时要把行标记录下来 2287 { int s = (i == 0) ? m - 1 : i - 1; 2288 int x = (i == m - 1) ? 0 : i + 1; 2289 2290 minRow = s; 2291 minRow = a[i][j+1] < a[minRow][j+1] ? i : minRow; 2292 minRow = a[x][j+1] < a[minRow][j+1] ? x : minRow; 2293 minRow = a[minRow][j+1] == a[s][j+1] && minRow > s ? s : minRow; 2294 minRow = a[minRow][j+1] == a[i][j+1] && minRow > i ? i : minRow; 2295 minRow = a[minRow][j+1] == a[x][j+1] && minRow > x ? x : minRow; 2296 return a[minRow][j+1]; 2297 } 2298 void solve() 2299 { int i,j,min; 2300 for (j=n-2; j>=0; j--) 2301 for (i=0; i<m; i++) 2302 a[i][j]+= minValue(i,j); 2303 min=a[0][0]; 2304 minRow=0; 2305 for (i=1; i<m; i++) //在第一列查找最小代价的行 2306 if (a[i][0]<min) 2307 { min=a[i][0]; 2308 minRow=i; 2309 } 2310 for (j=0; j<n; j++) 2311 { printf("%d",minRow+1); 2312 if (j<n-1) printf(" "); 2313 minValue(minRow, j); 2314 } 2315 printf("\n%d\n",min); 2316 } 2317 void main() 2318 { 2319 solve(); 2320 } 2321 2322 1.8 第 8 章─动态规划 2323 1.8.1 练习题 2324 1. 下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ ）。 2325 A. 备忘录法 B.动态规划法 C.贪心法 D.回溯法 2326 2. 备忘录方法是（ ）算法的变形。 2327 A. 分治法 B.回溯法 C.贪心法 D.动态规划法 2328 3. 下列是动态规划算法基本要素的是（ ）。 2329 A. 定义最优解 B.构造最优解 C.算出最优解 D.子问题重叠性质 2330 4. 一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的（ ）。 2331 A. 贪心选择性质 B.重叠子问题 C.最优子结构性质 D.定义最优解 2332 5. 简述动态规划法的基本思路。 2333 6. 简述动态规划法与贪心法的异同。 2334 2335 2336 7. 简述动态规划法与分治法的异同。 2337 8. 下列算法中哪些属于动态规划算法？ 2338 （1） 顺序查找算法 2339 （2） 直接插入排序算法 2340 （3） 简单选择排序算法 2341 （4） 二路归并排序算法 2342 9. 某个问题对应的递归模型如下： 2343 f(1)=1 2344 f(2)=2 2345 f(n)=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+1 当 n>2 时 2346 可以采用如下递归算法求解： 2347 long f(int n) 2348 { if (n==1) return 1; 2349 if (n==2) return 2; 2350 long sum=1; 2351 for (int i=1;i<=n-1;i++) 2352 sum+=f(i); 2353 return sum; 2354 } 2355 但其中存在大量的重复计算，请采用备忘录方法求解。 2356 10. 第 3 章中的实验 4 采用分治法求解半数集问题，如果直接递归求解会存在大量重复计算，请改进该算法。 2357 11. 设计一个时间复杂度为 O(n2)的算法来计算二项式系数C k （k≤n）。二项式系数 2358 Ck 的求值过程如下： 2359 2360 𝐶0 = 1 2361 𝐶𝑖 = 1 2362 𝐶𝑗 = 𝐶𝑗 ‒ 1 + 𝐶 𝑗 2363 2364 2365 2366 2367 当 i≥j 2368 2369 𝑖 𝑖 ‒ 1 𝑖 ‒ 1 2370 12. 一个机器人只能向下和向右移动，每次只能移动一步，设计一个算法求它从 2371 （0，0）移动到（m，n）有多少条路径。 2372 13. 两种水果杂交出一种新水果，现在给新水果取名，要求这个名字中包含了以前两种水果名字的字母，并且这个名字要尽量短。也就是说以前的一种水果名字 arr1 是新水果名字 arr 的子序列，另一种水果名字 arr2 也是新水果名字 arr 的子序列。设计一个算法求arr。 2373 例如：输入以下 3 组水果名称： 2374 apple peach ananas banana pear peach 2375 输出的新水果名称如下： 2376 2377 2378 appleach bananas pearch 2379 1.8.2 练习题参考答案 2380 1. 答：B。 2381 2. 答：D。 2382 3. 答：D。 2383 4. 答：C。 2384 5. 答：动态规划法的基本思路是将待求解问题分解成若干个子问题，先求子问题的解，然后从这些子问题的解得到原问题的解。 2385 6. 答：动态规划法的 3 个基本要素是最优子结构性质、无后效性和重叠子问题性质，而贪心法的两个基本要素是贪心选择性质和最优子结构性质。所以两者的共同点是都要求问题具有最优子结构性质。 2386 两者的不同点如下： 2387 （1） 求解方式不同，动态规划法是自底向上的，有些具有最优子结构性质的问题只能用动态规划法，有些可用贪心法。而贪心法是自顶向下的。 2388 （2） 对子问题的依赖不同，动态规划法依赖于各子问题的解，所以应使各子问题最优，才能保证整体最优；而贪心法依赖于过去所作过的选择，但决不依赖于将来的选择， 也不依赖于子问题的解。 2389 7. 答：两者的共同点是将待求解的问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后再从这些子问题的解得到原问题的解。 2390 两者的不同点是：适合于用动态规划法求解的问题，分解得到的各子问题往往不是相互独立的（重叠子问题性质），而分治法中子问题相互独立；另外动态规划法用表保存已求解过的子问题的解，再次碰到同样的子问题时不必重新求解，而只需查询答案，故可获得多项式级时间复杂度，效率较高，而分治法中对于每次出现的子问题均求解，导致同样的子问题被反复求解，故产生指数增长的时间复杂度，效率较低。 2391 8. 答：判断算法是否具有最优子结构性质、无后效性和重叠子问题性质。（2）、（3）和（4）均属于动态规划算法。 2392 9. 解：设计一个 dp 数组，dp[i]对应 f(i)的值，首先 dp 的所有元素初始化为 0，在计算 f(i)时，若 dp[0]>0 表示 f(i)已经求出，直接返回 dp[i]即可，这样避免了重复计算。对应的算法如下： 2393 long dp[MAX]; //dp[n]保存f(n)的计算结果 2394 long f1(int n) 2395 { if (n==1) 2396 { dp[n]=1; 2397 return dp[n]; 2398 } 2399 if (n==2) 2400 { dp[n]=2; 2401 return dp[n]; 2402 2403 2404 } 2405 if (dp[n]>0) return dp[n]; 2406 long sum=1; 2407 for (int i=1;i<=n-1;i++) 2408 sum+=f1(i); 2409 dp[n]=sum; 2410 return dp[n]; 2411 } 2412 10. 解：设计一个数组 a，其中 a[i]=f(i)，首先将 a 的所有元素初始化为 0，当 a[i]>0 2413 时表示对应的 f(i)已经求出，直接返回就可以了。对应的完整程序如下： 2414 #include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXN 201 2415 //问题表示int n; 2416 int a[MAXN]; 2417 int fa(int i) //求a[i] 2418 { int ans=1; 2419 if (a[i]>0) 2420 return a[i]; 2421 for(int j=1;j<=i/2;j++) 2422 ans+=fa(j); 2423 a[i]=ans; 2424 return ans; 2425 } 2426 int solve(int n) //求set(n)的元素个数 2427 { memset(a,0,sizeof(a)); 2428 a[1]=1; 2429 return fa(n); 2430 } 2431 void main() 2432 { n=6; 2433 printf("求解结果\n"); 2434 printf(" n=%d时半数集元素个数=%d\n",n,solve(n)); 2435 } 2436 11. 解：定义 C(i，j)= Cij ，i≥j。则有如下递推计算公式：C(i，j)=C(i-1，j-1)+C(i- 1，j)，初始条件为 C(i，0)=1，C(i，i)=1。可以根据初始条件由此递推关系计算 C(n，k)， 即Ck 。对应的程序如下： 2437 #include <stdio.h> #define MAXN 51 #define MAXK 31 2438 //问题表示int n,k; 2439 //求解结果表示 2440 int C[MAXN][MAXK]; 2441 void solve() 2442 { int i,j; 2443 2444 for (i=0;i<=n;i++) 2445 { C[i][i]=1; 2446 C[i][0]=1; 2447 } 2448 for (i=1;i<=n;i++) 2449 for (j=1;j<=k;j++) 2450 C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j]; 2451 } 2452 void main() 2453 { n=5,k=3; 2454 solve(); 2455 printf("%d\n",C[n][k]); //输出10 2456 } 2457 显然，solve()算法的时间复杂度为 O(n2)。 2458 12. 解：设从（0，0）移动到（i，j）的路径条数为 dp[i][j]，由于机器人只能向下和向右移动，不同于迷宫问题（迷宫问题由于存在后退，不满足无后效性，不适合用动态规划法求解）。对应的状态转移方程如下： 2459 dp[0][j]=1 2460 dp[i][0]=1 2461 dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j] i、j>0 2462 最后结果是 dp[m][n]。对应的程序如下： 2463 #include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXX 51 #define MAXY 51 2464 //问题表示int m,n; 2465 //求解结果表示 2466 int dp[MAXX][MAXY]; 2467 void solve() 2468 { int i,j; 2469 dp[0][0]=0; 2470 memset(dp,0,sizeof(dp)); 2471 for (i=1;i<=m;i++) 2472 dp[i][0]=1; 2473 for (j=1;j<=n;j++) 2474 dp[0][j]=1; 2475 for (i=1;i<=m;i++) 2476 for (j=1;j<=n;j++) 2477 dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]; 2478 } 2479 void main() 2480 { m=5,n=3; 2481 solve(); 2482 printf("%d\n",dp[m][n]); 2483 } 2484 13. 解：本题目的思路是求 arr1 和 arr2 字符串的最长公共子序列，基本过程参见《教 2485 2486 2487 程》第 8 章 8.5 节。对应的完整程序如下： 2488 #include <iostream> #include <string.h> #include <vector> #include <string> using namespace std; 2489 #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y)) 2490 #define MAX 51 //序列中最多的字符个数 2491 //问题表示 2492 int m,n; 2493 string arr1,arr2; 2494 //求解结果表示 2495 int dp[MAX][MAX]; //动态规划数组vector<char> subs; // 存 放 LCS void LCSlength() //求dp 2496 { int i,j; 2497 for (i=0;i<=m;i++) //将dp[i][0]置为0,边界条件 2498 dp[i][0]=0; 2499 for (j=0;j<=n;j++) //将dp[0][j]置为0,边界条件 2500 dp[0][j]=0; 2501 for (i=1;i<=m;i++) 2502 for (j=1;j<=n;j++) //两重for循环处理arr1、arr2的所有字符 2503 { if (arr1[i-1]==arr2[j-1]) //比较的字符相同 2504 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; 2505 else //比较的字符不同 2506 2507 2508 2509 } dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]); 2510 } 2511 2512 void Buildsubs() //由dp构造从subs 2513 { int k=dp[m][n]; //k为arr1和arr2的最长公共子序列长度 2514 int i=m; 2515 int j=n; 2516 while (k>0) //在subs中放入最长公共子序列(反向) 2517 2518 if (dp[i][j]==dp[i-1][j]) i--; 2519 else if (dp[i][j]==dp[i][j-1]) j--; 2520 else 2521 { subs.push_back(arr1[i-1]); //subs中添加arr1[i-1] 2522 i--; j--; k--; 2523 2524 } } 2525 voi 2526 { d main() 2527 cin >> arr1 >> arr2; 2528 2529 2530 2531 //输入arr1和arr2 2532 m=arr1.length(); //m为arr1的长度 2533 n=arr2.length(); //n为arr2的长度 2534 LCSlength(); //求出dp 2535 Buildsubs(); //求出LCS 2536 cout << "求解结果" << endl; 2537 cout << " arr: "; 2538 vector<char>::reverse_iterator rit; 2539 2540 for (rit=subs.rbegin();rit!=subs.rend();++rit) 2541 cout << *rit; 2542 cout << endl; 2543 cout << " 长 度 : " << dp[m][n] << endl; 2544 } 2545 改为如下： 2546 13. 解：本题目的思路是先求 arr1 和 arr2 字符串的最长公共子序列，基本过程参见 2547 《教程》第 8 章 8.5 节，再利用递归输出新水果取名。 2548 算法中设置二维动态规划数组 dp，dp[i][j]表示 arr1[0..i-1]（i 个字母）和 arr2[0..j-1] 2549 （j 个字母）中最长公共子序列的长度。另外设置二维数组 b，b[i][j]表示 arr1 和 arr2 比较的 3 种情况：b[i][j]=0 表示 arr1[i-1]=arr2[j-1]，b[i][j]=1 表示 arr1[i-1]≠arr2[j-1]并且 dp[i- 1][j]>dp[i][j-1]，b[i][j]=2 表示 arr1[i-1]≠arr2[j-1]并且 dp[i-1][j]≤dp[i][j-1]。 2550 对应的完整程序如下： #include <stdio.h> #include <string.h> 2551 #define MAX 51 //序列中最多的字符个数 2552 //问题表示int m,n; 2553 char arr1[MAX],arr2[MAX]; 2554 //求解结果表示 2555 int dp[MAX][MAX]; //动态规划数组 2556 int b[MAX][MAX]; //存放arr1与arr2比较的3种情况 2557 void Output(int i,int j) //利用递归输出新水果取名 2558 { if (i==0 && j==0) //输出完毕 2559 return; 2560 if(i==0) //arr1完毕，输出arr2的剩余部分 2561 { Output(i,j-1); 2562 printf("%c",arr2[j-1]); 2563 return; 2564 } 2565 else if(j==0) //arr2完毕，输出arr1的剩余部分 2566 { Output(i-1,j); 2567 printf("%c",arr1[i-1]); 2568 return; 2569 } 2570 if (b[i][j]==0) //arr1[i-1]=arr2[j-1]的情况 2571 { Output(i-1,j-1); 2572 printf("%c",arr1[i-1]); 2573 return; 2574 } 2575 else if(b[i][j]==1) 2576 { Output(i-1,j); 2577 printf("%c",arr1[i-1]); 2578 return; 2579 } 2580 else 2581 { Output(i,j-1); 2582 2583 2584 printf("%c",arr2[j-1]); 2585 return; 2586 } 2587 } 2588 void LCSlength() //求dp 2589 { int i,j; 2590 for (i=0;i<=m;i++) //将dp[i][0]置为0,边界条件 2591 dp[i][0]=0; 2592 for (j=0;j<=n;j++) //将dp[0][j]置为0,边界条件 2593 dp[0][j]=0; 2594 for (i=1;i<=m;i++) 2595 for (j=1;j<=n;j++) //两重for循环处理arr1、arr2的所有字符 2596 { if (arr1[i-1]==arr2[j-1]) //比较的字符相同：情况0 2597 { dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; 2598 b[i][j]=0; 2599 } 2600 else if (dp[i-1][j]>dp[i][j-1]) //情况1 2601 { dp[i][j]=dp[i-1][j]; 2602 b[i][j]=1; 2603 } 2604 else //dp[i-1][j]<=dp[i][j-1]:情况2 2605 { dp[i][j]=dp[i][j-1]; 2606 b[i][j]=2; 2607 } 2608 } 2609 } 2610 void main() 2611 { int t; //输入测试用例个数 2612 printf("测试用例个数: "); 2613 scanf("%d",&t); 2614 while(t--) 2615 { scanf("%s",arr1); 2616 scanf("%s",arr2); 2617 memset(b,-1,sizeof(b)); 2618 2619 2620 2621 2622 m=strlen(arr1); 2623 n=strlen(arr2); 2624 LCSlength(); 2625 2626 2627 2628 2629 2630 2631 2632 //m为arr1的长度 2633 //n为arr2的长度 2634 //求出dp 2635 printf("结果: "); Output(m,n); //输出新水果取名 2636 printf("\n"); 2637 } 2638 } 2639 上述程序的一次执行结果如图 1.46 所示。 2640 2641 2642 2643 2644 图 1.46 程序的一次执行结果 2645 13. 解：本题目的思路是求 arr1 和 arr2 字符串的最长公共子序列，基本过程参见《教程》第 8 章 8.5 节。对应的完整程序如下： 2646 2647 然后再用递归思想，逐一输出，得到的就是最后答案。 2648 #include <iostream> #include <string.h> #include <vector> #include <string> using namespace std; 2649 #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y)) 2650 #define MAX 51 //序列中最多的字符个数 2651 //问题表示 2652 int m,n; 2653 string arr1,arr2; 2654 //求解结果表示 2655 int dp[MAX][MAX]; //动态规划数组vector<char> subs; // 存 放 LCS void LCSlength() //求dp 2656 { int i,j; 2657 for (i=0;i<=m;i++) //将dp[i][0]置为0,边界条件 2658 dp[i][0]=0; 2659 for (j=0;j<=n;j++) //将dp[0][j]置为0,边界条件 2660 dp[0][j]=0; 2661 for (i=1;i<=m;i++) 2662 for (j=1;j<=n;j++) //两重for循环处理arr1、arr2的所有字符 2663 { if (arr1[i-1]==arr2[j-1]) //比较的字符相同 2664 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; 2665 else //比较的字符不同 2666 2667 2668 2669 } dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]); 2670 } 2671 2672 void Buildsubs() //由dp构造从subs 2673 { int k=dp[m][n]; //k为arr1和arr2的最长公共子序列长度 2674 int i=m; 2675 int j=n; 2676 while (k>0) //在subs中放入最长公共子序列(反向) 2677 2678 if (dp[i][j]==dp[i-1][j]) i--; 2679 else if (dp[i][j]==dp[i][j-1]) j--; 2680 2681 2682 2683 2684 2685 2686 else 2687 { subs.push_back(arr1[i-1]); //subs中添加arr1[i-1] 2688 i--; j--; k--; 2689 2690 } } 2691 voi 2692 { d main() 2693 cin >> arr1 >> arr2; 2694 2695 2696 2697 //输入arr1和arr2 2698 m=arr1.length(); //m为arr1的长度 2699 n=arr2.length(); //n为arr2的长度 2700 LCSlength(); //求出dp 2701 Buildsubs(); //求出LCS 2702 cout << "求解结果" << endl; 2703 cout << " arr: "; 2704 vector<char>::reverse_iterator rit; 2705 for (rit=subs.rbegin();rit!=subs.rend();++rit) 2706 cout << *rit; 2707 cout << endl; 2708 cout << " 长 度 : " << dp[m][n] << endl; 2709 } 2710 上述程序的一次执行结果如图 1.46 所示。 2711 图 1.46 程序的一次执行结果 2712 1.9 第 9 章─图算法设计 2713 1.9.1 练习题 2714 1. 以下不属于贪心算法的是（ ）。 2715 A.Prim 算法 B.Kruskal 算法 C.Dijkstra 算法 D.深度优先遍历 2716 2. 一个有 n 个顶点的连通图的生成树是原图的最小连通子图，且包含原图中所有 n 个顶点，并且有保持图联通的最少的边。最大生成树就是权和最大生成树，现在给出一个无向带权图的邻接矩阵为{{0，4，5，0，3}，{4，0，4，2，3}，{5，4，0，2，0}，{0， 2，2，0，1}，{3，3，0，1，0}}，其中权为 0 表示没有边。一个图为求这个图的最大生成树的权和是（ ）。 2717 A.11 B.12 C.13 D.14 E.15 2718 3. 某个带权连通图有 4 个以上的顶点，其中恰好有 2 条权值最小的边，尽管该图的最小生成树可能有多个，而这 2 条权值最小的边一定包含在所有的最小生成树中吗？如果有 3 条权值最小的边呢？ 2719 2720 4. 为什么 TSP 问题采用贪心算法求解不一定得到最优解？ 2721 5. 求最短路径的 4 种算法适合带权无向图吗？ 2722 6. 求单源最短路径的算法有 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法和 SPFA 算法，比较这些算法的不同点。 2723 7. 有人这样修改 Dijkstra 算法以便求一个带权连通图的单源最长路径，将每次选择dist 最小的顶点 u 改为选择最大的顶点 u，将按路径长度小进行调整改为按路径长度大调整。这样可以求单源最长路径吗？ 2724 8. 给出一种方法求无环带权连通图（所有权值非负）中从顶点 s 到顶点 t 的一条最长简单路径。 2725 9. 一个运输网络如图 1.47 所示，边上数字为（c(i，j)，b(i，j)），其中 c(i，j)表示容量，b(i，j)表示单位运输费用。给出从 1、2、3 位置运输货物到位置 6 的最小费用最大流的过程。 2726 10. 本教程中的 Dijkstra 算法采用邻接矩阵存储图，算法时间复杂度为 O(n2)。请你从各个方面考虑优化该算法，用于求源点 v 到其他顶点的最短路径长度。 2727 11. 有一个带权有向图 G（所有权为正整数），采用邻接矩阵存储。设计一个算法求其中的一个最小环。 2728 2729 图 1.47 一个运输网络 2730 1.9.2 练习题参考答案 2731 1. 答：D。 2732 2. 答：采用类似 Kurskal 算法来求最大生成树，第 1 步取最大边（0，2），第 2 步取 2733 边（0，1），第 3 步取边（0，4），第 4 步取最大边（1，3），得到的权和为 14。答案为 D。 2734 3. 答：这 2 条权值最小的边一定包含在所有的最小生成树中，因为按 Kurskal 算法一定首先选中这 2 条权值最小的边。如果有 3 条权值最小的边，就不一定了，因为首先选中这 3 条权值最小的边有可能出现回路。 2735 4. 答：TSP 问题不满足最优子结构性质，如（0，1，2，3，0）是整个问题的最优解，但（0，1，2，0）不一定是子问题的最优解。 2736 5. 答：都适合带权无向图求最短路径。 2737 6. 答：Dijkstra 算法不适合存在负权边的图求单源最短路径，其时间复杂度为 2738 O(n2)。Bellman-Ford 算法和 SPFA 算法适合存在负权边的图求单源最短路径，但图中不能 2739 2740 2741 存在权值和为负的环。Bellman-Ford 算法的时间复杂度为 O(ne)，而 SPFA 算法的时间复杂度为 O(e)，所以 SPFA 算法更优。 2742 7. 答：不能。Dijkstra 算法本质上是一种贪心算法，而求单源最长路径不满足贪心选择性质。 2743 8. 答：Bellman-Ford 算法和 SPFA 算法适合存在负权边的图求单源最短路径。可以将图中所有边权值改为负权值，求出从顶点 s 到顶点 t 的一条最短简单路径，它就是原来图中从顶点 s 到顶点 t 的一条最长简单路径。 2744 9. 答：为该运输网络添加一个虚拟起点 0，它到 1、2、3 位置运输费用为 0，容量分别为到 1、2、3 位置运输容量和，如图 1.48 所示，起点 s=0，终点 t=6。 2745 2746 图 1.48 添加一个虚拟起点的运输网络 2747 首先初始化 f 为零流，最大流量 maxf=0，最小费用 mincost=0，采用最小费用最大流算法求解过程如下： 2748 （1） k=0，求出 w 如下： 2749 2750 2751 2752 2753 求出从起点 0 到终点 6 的最短路径为 0→1→4→6，求出最小调整量=4，f[4][6]调整为 4，f[1][4]调整为 4，f[0][1]调整为 4，mincost=20，maxf=4。 2754 （2） k=1，求出 w 如下： 2755 2756 2757 2758 2759 求出从起点 0 到终点 6 的最短路径为 0→2→4→6，求出最小调整量=3，f[4][6]调整 2760 2761 为 7，f[2][4]调整为 3，f[0][2]调整为 3，mincost=44，maxf=4+3=7。 2762 （3） k=2，求出 w 如下： 2763 2764 2765 2766 2767 求出从起点 0 到终点 6 的最短路径为 0→3→4→6，求出最小调整量=1，f[4][6]调整为 8，f[3][4]调整为 1，f[0][3]调整为 1，mincost=53，maxf=7+1=8。 2768 （4） k=3，求出 w 如下： 2769 2770 2771 2772 2773 求出从起点 0 到终点 6 的最短路径为 0→3→5→6，求出最小调整量=2，f[5][6]调整为 2，f[3][5]调整为 2，f[0][3]调整为 3，mincost=83，maxf=8+2=10。 2774 （5） k=4，求出 w 如下： 2775 2776 2777 2778 2779 求出从起点 0 到终点 6 的最短路径为 0→1→5→6，求出最小调整量=6，f[5][6]调整为 8，f[1][5]调整为 6，f[0][1]调整为 10，mincost=179，maxf=10+6=16。 2780 （6） k=5，求出 w 如下： 2781 2782 2783 2784 2785 求出从起点 0 到终点 6 的最短路径为 0→1→5→6，求出最小调整量=1，f[5][6]调整 2786 2787 2788 为 9，f[2][5]调整为 1，f[0][2]调整为 4，mincost=195，maxf=16+1=17。 2789 （7） k=6，求出的 w 中没有增广路径，调整结束。对应的最大流如下： 2790 2791 2792 2793 2794 2795 最终结果，maxf=17，mincost=195。即运输的最大货物量为 17，对应的最小总运输费用为 195。 2796 10. 解：从两个方面考虑优化： 2797 （1） 在 Dijkstra 算法中，当求出源点 v 到顶点 u 的最短路径长度后，仅仅调整从顶点 u 出发的邻接点的最短路径长度，而教程中的 Dijkstra 算法由于采用邻接矩阵存储图， 需要花费 O(n)的时间来调整顶点 u 出发的邻接点的最短路径长度，如果采用邻接表存储图，可以很快查找到顶点 u 的所有邻接点并进行调整，时间为 O(MAX(图中顶点的出 2798 度))。 2799 （2） 求目前一个最短路径长度的顶点 u 时，教科书上的 Dijkstra 算法采用简单比较方法，可以改为采用优先队列（小根堆）求解。由于最多 e 条边对应的顶点进队，对应的时间为 O(log2e)。 2800 对应的完整程序和测试数据算法如下： 2801 #include "Graph.cpp" 2802 #include <queue> #include <string.h> 2803 using namespace std; //包含图的基本运算算法 2804 ALGraph *G; //图的邻接表存储结构，作为全局变量 2805 struct Node //声明堆中结点类型 2806 { int i; //顶点编号 2807 int v; //dist[i]值 2808 friend bool operator<(const Node &a，const Node &b) //定义比较运算符 2809 { return a.v > b.v; } 2810 }; 2811 void Dijkstra(int v，int dist[]) //改进的Dijkstra算法 2812 { ArcNode *p; 2813 priority_queue<Node> qu; //创建小根堆 2814 Node e; 2815 int S[MAXV]; //S[i]=1表示顶点i在S中， S[i]=0表示顶点i在U中 2816 int i，j，u，w; 2817 memset(S，0，sizeof(S)); 2818 p=G->adjlist[v].firstarc; 2819 for (i=0;i<G->n;i++) dist[i]=INF; 2820 while (p!=NULL) 2821 { w=p->adjvex; 2822 2823 dist[w]=p->weight; //距离初始化 2824 e.i=w; e.v=dist[w]; //将v的出边顶点进队qu 2825 qu.push(e); 2826 p=p->nextarc; 2827 } 2828 S[v]=1; //源点编号v放入S中 2829 for (i=0;i<G->n-1;i++) //循环直到所有顶点的最短路径都求出 2830 { e=qu.top(); qu.pop(); //出队e 2831 u=e.i; //选取具有最小最短路径长度的顶点u 2832 S[u]=1; //顶点u加入S中 2833 p=G->adjlist[u].firstarc; 2834 while (p!=NULL) //考察从顶点u出发的所有相邻点 2835 { w=p->adjvex; 2836 if (S[w]==0) //考虑修改不在S中的顶点w的最短路径长度 2837 if (dist[u]+p->weight<dist[w]) 2838 2839 2840 2841 2842 2843 2844 2845 2846 { 2847 2848 dist[w]=dist[u]+p->weight; //修改最短路径长度 2849 e.i=w; e.v=dist[w]; 2850 qu.push(e); //修改最短路径长度的顶点进队 2851 } 2852 p=p->nextarc; 2853 } 2854 } 2855 } 2856 void Disppathlength(int v，int dist[]) //输出最短路径长度 2857 { printf("从%d顶点出发的最短路径长度如下:\n"，v); 2858 for (int i=0;i<G->n;++i) 2859 if (i!=v) 2860 printf(" 到顶点%d: %d\n"，i，dist[i]); 2861 } 2862 void main() 2863 { int A[MAXV][MAXV]={ 2864 {0，4，6，6，INF，INF，INF}， 2865 {INF，0，1，INF，7，INF，INF}， 2866 {INF，INF，0，INF，6，4，INF}， 2867 {INF，INF，2，0，INF，5，INF}， 2868 {INF，INF，INF，INF，0，INF，6}， 2869 {INF，INF，INF，INF，1，0，8}， 2870 {INF，INF，INF，INF，INF，INF，0}}; 2871 int n=7， e=12; 2872 CreateAdj(G，A，n，e); //建立图的邻接表 2873 printf("图G的邻接表:\n"); 2874 DispAdj(G); //输出邻接表 2875 int v=0; 2876 int dist[MAXV]; 2877 Dijkstra(v，dist); //调用Dijkstra算法 2878 Disppathlength(v，dist); //输出结果 2879 DestroyAdj(G); //销毁图的邻接表 2880 } 2881 上述程序的执行结果如图 1.49 所示。 2882 2883 2884 2885 2886 图 1.49 程序执行结果 2887 其中 Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(n(log2e+MAX(顶点的出度))，一般图中最大顶点出度远小于 e，所以进一步简化时间复杂度为 O(nlog2e)。 2888 11. 有一个带权有向图 G（所有权为正整数），采用邻接矩阵存储。设计一个算法求其中的一个最小环。 2889 解：利用 Floyd 算法求出所有顶点对之间的最短路径，若顶点 i 到 j 有最短路径，而图中又存在顶点 j 到 i 的边，则构成一个环，在所有环中比较找到一个最小环并输出。对应的程序如下： 2890 #include "Graph.cpp" //包含图的基本运算算法#include <vector> 2891 using namespace std; 2892 void Dispapath(int path[][MAXV],int i,int j) 2893 //输出顶点 i 到 j 的一条最短路径 2894 { vector<int> apath; //存放一条最短路径中间顶点(反向) 2895 int k=path[i][j]; 2896 apath.push_back(j); //路径上添加终点 2897 while (k!=-1 && k!=i) //路径上添加中间点 2898 { apath.push_back(k); 2899 k=path[i][k]; 2900 } 2901 apath.push_back(i); //路径上添加起点 2902 for (int s=apath.size()-1;s>=0;s--) //输出路径上的中间顶点 2903 printf("%d→",apath[s]); 2904 } 2905 int Mincycle(MGraph g,int A[MAXV][MAXV],int &mini,int &minj) 2906 //在图 g 和 A 中的查找一个最小环 2907 { int i,j,min=INF; 2908 for (i=0;i<g.n;i++) 2909 for (j=0;j<g.n;j++) 2910 if (i!=j && g.edges[j][i]<INF) 2911 { if (A[i][j]+g.edges[j][i]<min) 2912 { min=A[i][j]+g.edges[j][i]; 2913 mini=i; minj=j; 2914 2915 2916 } 2917 } 2918 return min; 2919 } 2920 void Floyd(MGraph g) //Floyd 算法求图 g 中的一个最小环 2921 { int A[MAXV][MAXV],path[MAXV][MAXV]; 2922 int i,j,k,min,mini,minj; 2923 for (i=0;i<g.n;i++) 2924 for (j=0;j<g.n;j++) 2925 { A[i][j]=g.edges[i][j]; 2926 if (i!=j && g.edges[i][j]<INF) 2927 path[i][j]=i; //顶点i到j有边时 2928 else 2929 path[i][j]=-1; //顶点i到j没有边时 2930 } 2931 for (k=0;k<g.n;k++) //依次考察所有顶点 2932 { for (i=0;i<g.n;i++) 2933 for (j=0;j<g.n;j++) 2934 if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]) 2935 { A[i][j]=A[i][k]+A[k][j]; //修改最短路径长度 2936 path[i][j]=path[k][j]; //修改最短路径 2937 } 2938 } 2939 min=Mincycle(g,A,mini,minj); 2940 if (min!=INF) 2941 { printf("图中最小环："); 2942 Dispapath(path,mini,minj); //输出一条最短路径 2943 printf("%d, 长度：%d\n",mini,min); 2944 } 2945 else printf(" 图中没有任何环\n"); 2946 } 2947 void main() 2948 { MGraph g; 2949 int A[MAXV][MAXV]={ {0,5,INF,INF},{INF,0,1,INF}, 2950 {3,INF,0,2}, {INF,4,INF,0}}; 2951 int n=4, e=5; 2952 CreateMat(g,A,n,e); //建立图的邻接矩阵 2953 printf("图G的邻接矩阵:\n"); 2954 DispMat(g); //输出邻接矩阵 2955 Floyd(g); 2956 } 2957 上述程序的执行结果如图 1.50 所示。 2958 2959 2960 2961 2962 图 1.50 程序执行结果 2963 1.10 第 10 章─计算几何 2964 1.10.1 练习题 2965 1. 对如图 1.51 所示的点集 A，给出采用 Graham 扫描算法求凸包的过程及结果。 2966 2967 10 2968 9 2969 8 2970 7 2971 6 2972 5 2973 4 2974 3 2975 2 2976 1 2977 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2978 2979 图 1.51 一个点集 A 2980 2. 对如图 1.51 所示的点集 A，给出采用分治法求最近点对的过程及结果。 2981 3. 对如图 1.51 所示的点集 A，给出采用旋转卡壳法求最远点对的结果。 2982 4. 对应 3 个点向量 p1、p2、p3，采用 S(p1，p2，p3)=(p2-p1)(p3-p1)/2 求它们构成的三角形面积，请问什么情况下计算结果为正？什么情况下计算结果为负？ 2983 5. 已知坐标为整数，给出判断平面上一点 p 是否在一个逆时针三角形 p1-p2-p3 内部的算法。 2984 1.10.2 练习题参考答案 2985 1. 答：采用 Graham 扫描算法求凸包的过程及结果如下： 求出起点 a0(1，1)。 2986 排序后：a0(1，1) a1(8，1) a2(9，4) a3(5，4) a4(8，7) a5(5，6) a10(7，10) a9(3，5) a6(3，7) a7(4，10) a8(1，6) a11(0，3)。 2987 先将 a0(1，1)进栈，a1(8，1)进栈，a2(9，4)进栈。处理点 a3(5，4)：a3(5，4)进栈。 2988 处理点 a4(8，7)：a3(5，4)存在右拐关系，退栈，a4(8，7)进栈。 2989 2990 处理点 a5(5，6)：a5(5，6)进栈。 2991 处理点 a10(7，10)：a5(5，6)存在右拐关系，退栈，a10(7，10)进栈。处理点 a9(3，5)：a9(3，5)进栈。 2992 处理点 a6(3，7)：a9(3，5)存在右拐关系，退栈，a6(3，7)进栈。处理点 a7(4，10)：a6(3，7)存在右拐关系，退栈，a7(4，10)进栈。处理点 a8(1，6)：a8(1，6)进栈。 2993 处理点 a11(0，3)：a11(0，3)进栈。 2994 结果：n=8，凸包的顶点：a0(1，1) a1(8，1) a2(9，4) a4(8，7) a10(7，10) a7(4，10) a8(1，6) a11(0，3)。 2995 2. 答：求解过程如下： 2996 排序前：(1，1) (8，1) (9，4) (5，4) (8，7) (5，6) (3，7) (4，10) (1，6) (3，5) (7，10) 2997 (0，3)。按 x 坐标排序后：(0，3) (1，1) (1，6) (3，7) (3，5) (4，10) (5，4) (5，6) (7，10) 2998 (8，1) (8，7) (9，4)。按 y 坐标排序后：(1，1) (8，1) (0，3) (5，4) (9，4) (3，5) (1，6) (5，6) (3，7) (8，7) (4，10) (7，10)。 2999 （1）中间位置 midindex=5，左部分：(0，3) (1，1) (1，6) (3，7) (3，5) (4，10)；右部分：(5，4) (5，6) (7，10) (8，1) (8，7) (9，4)；中间部分点集为 (0，3) (3，7) (4，10) (5，4) (5，6) (7，10) (8，7)。 3000 （2）求解左部分：(0，3) (1，1) (1，6) (3，7) (3，5) (4，10)。 3001 中间位置=2，划分为左部分 1：(0，3) (1，1) (1，6)，右部分 1：(3，7) (3，5) (4，10) 处理左部分 1：点数少于 4：求出最近距离=2.23607，即(0，3)和(1，1)之间的距离。处理右部分 1：点数少于 4：求出最近距离=2，即(3，7)和(3，5)之间的距离。 3002 再考虑中间部分（中间部分最近距离=2.23）求出左部分 d1=2。 3003 （3）求解右部分：(5，4) (5，6) (7，10) (8，1) (8，7) (9，4)。 3004 中间位置=8，划分为左部分 2：(5，4) (5，6) (7，10)，右部分 2：(8，1) (8，7) (9， 3005 3006 4)。 3007 3008 处理左部分 2：点数少于 4，求出最近距离=2，即 (5，4)和(5，6)之间的距离。 3009 处理右部分 2：点数少于 4，求出最近距离=3.16228，即(8，1)和(9，4)之间的距离。再考虑中间部分（中间部分为空）求出右部分 d2=2。 3010 （4）求解中间部分点集：(0，3) (3，7) (4，10) (5，4) (5，6) (7，10) (8，7)。求出最 3011 3012 近距离 d3=5。 3013 最终结果为：d=MIN{d1，d2，d3)=2。 3014 3. 答：采用旋转卡壳法求出两个最远点对是（1，1）和（7，10），最远距离为 3015 10.82。 3016 4. 答：当三角形 p1-p2-p3 逆时针方向时，如图 1.52 所示，p2-p1 在 p3-p1 的顺时针方向上，(p2-p1)(p3-p1)>0，对应的面积(p2-p1)(p3-p1)/2 为正。 3017 当三角形 p1-p2-p3 顺时针方向时，如图 1.53 所示，p2-p1 在 p3-p1 的逆时针方向上， (p2-p1)(p3-p1)<0，对应的面积(p2-p1)(p3-p1)/2 为负。 3018 3019 3020 3021 3022 图 1.52 p1-p2-p3 逆时针方向图 图 1.53 p1-p2-p3 逆时针方向 3023 5. 答：用 S(p1，p2，p3)=(p2-p1)(p3-p1)/2 求三角形 p1、p2、p3 带符号的的面积。如图 3024 1.54 所示，若 S(p，p2，p3)和 S(p，p3，p1)和 S(p，p1，p2)（3 个三角形的方向均为逆时针方向）均大于 0，表示 p 在该三角形内部。 3025 p3 3026 3027 3028 3029 p1 3030 p2 3031 3032 图 1.54 一个点 p 和一个三角形 3033 对应的程序如下： 3034 #include "Fundament.cpp" //包含向量基本运算算法 3035 double getArea(Point p1,Point p2,Point p3) //求带符号的面积 3036 { 3037 return Det(p2-p1,p3-p1); 3038 } 3039 bool Intrig(Point p,Point p1,Point p2,Point p3) //判断 p 是否在三角形 p1p2p3 的内部 3040 { double area1=getArea(p,p2,p3); 3041 double area2=getArea(p,p3,p1); 3042 double area3=getArea(p,p1,p2); 3043 if (area1>0 && area2>0 && area3>0) 3044 return true; 3045 else 3046 return false; 3047 } 3048 void main() 3049 { printf("求解结果\n"); 3050 Point p1(0,0); 3051 Point p2(5,-4); 3052 Point p3(4,3); 3053 Point p4(3,1); 3054 Point p5(-1,1); 3055 printf(" p1:"); p1.disp(); printf("\n"); 3056 printf(" p2:"); p2.disp(); printf("\n"); 3057 printf(" p3:"); p3.disp(); printf("\n"); 3058 printf(" p4:"); p4.disp(); printf("\n"); 3059 3060 printf(" p5:"); p5.disp(); printf("\n"); 3061 printf(" p1p2p3三角形面积: %g\n",getArea(p1,p2,p3)); 3062 printf(" p4在p1p2p3三角形内部: %s\n",Intrig(p4,p1,p2,p3)?"是":"不是"); 3063 printf(" p5在p1p2p3三角形内部: %s\n",Intrig(p5,p1,p2,p3)?"是":"不是"); 3064 } 3065 上述程序的执行结果如图 1.55 所示。 3066 图 1.55 程序执行结果 3067 1.11 第 11 章─计算复杂性理论 3068 1.11.1 练习题 3069 1. 旅行商问题是 NP 问题吗？ 3070 A.否 B.是 C.至今尚无定论 3071 2. 下面有关 P 问题，NP 问题和 NPC 问题，说法错误的是（ ）。 3072 A.如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法，那么这个问题就属于 P 问题 3073 B.NP 问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题C.所有的 P 类问题都是 NP 问题 3074 D.NPC 问题不一定是个 NP 问题，只要保证所有的 NP 问题都可以约化到它即可 3075 3. 对于《教程》例 11.2 设计的图灵机，分别给出执行 f(3，2)和 f(2，3)的瞬像演变过程。 3076 4. 什么是 P 类问题？什么是 NP 类问题？ 3077 5. 证明求两个 m 行 n 列的二维矩阵相加的问题属于 P 类问题。 3078 6. 证明求含有 n 个元素的数据序列中求最大元素的问题属于 P 类问题。 3079 7. 设计一个确定性图灵机 M，用于计算后继函数 S(n)=n+1（n 为一个二进制数），并给出求 1010001 的后继函数值的瞬像演变过程。 3080 1.11.2 练习题参考答案 3081 1. 答：B。 3082 2. 答：D。 3083 3. 答：（1）执行 f(3，2)时，输入带上的初始信息为 000100B，其瞬像演变过程如 3084 3085 3086 3087 下： 3088 q0000100B B0q30110B BB01q210B 3089 3090 3091 Bq100100B Bq300110B BB011q20B 3092 3093 3094 B0q10100B q3B00110B BB01q311B 3095 3096 3097 B00q1100B Bq000110B BB0q3111B 3098 3099 3100 B001q200B BBq10110B 3101 BBq30111B 3102 3103 3104 B00q3110B BB0q1110B 3105 BBq00111B 3106 3107 BBB1q211B 3108 3109 BBB11q21B 3110 3111 BBB111q2B 3112 3113 BBB11q41B 3114 3115 BBB1q41BB 3116 3117 BBBq41BBB 3118 3119 BBBq4BBBB 3120 3121 BBB0q6BBB 3122 3123 最终带上有一个 0，计算结果为 1。 3124 （2）执行 f(2，3)时，输入带上的初始信息为 001000B，其瞬像演变过程如下： 3125 3126 q0001000B 3127 3128 Bq001000B 3129 3130 B0q11000B 3131 3132 B01q2000B 3133 3134 B0q31100B 3135 3136 Bq301100B 3137 3138 q3 B01100B BBq31100B 3139 3140 Bq001100B Bq3B1100B 3141 3142 BBq11100B BBq01100B 3143 3144 BB1q2100B BBBq5100B 3145 3146 BB11q200B BBBBq500B 3147 3148 BB1q3100B 3149 3150 BBBBBq50B 3151 3152 BBBBBBq5B 3153 3154 BBBBBBBq6 3155 3156 最终带上有零个 0，计算结果为 0。 3157 4. 答：用确定性图灵机以多项式时间界可解的问题称为 P 类问题。用非确定性图灵机以多项式时间界可解的问题称为 NP 类问题。 3158 5. 答：求两个 m 行 n 列的二维矩阵相加的问题对应的算法时间复杂度为 O(mn)，所以属于 P 类问题。 3159 6. 答：求含有 n 个元素的数据序列中最大元素的问题的算法时间复杂度为 O(n)，所以属于 P 类问题。 3160 7. 解： q0 为初始状态，q3 为终止状态，读写头初始时注视最右边的格。δ 动作函数如下： 3161 δ(q0，0)→(q1，1，L) δ(q0，1)→(q2，0，L) δ(q0，B)→(q3，B，R) δ(q1，0)→(q1，0，L) δ(q1，1)→(q1，1，L) δ(q1，B)→(q3，B，L) δ(q2，0)→(q1，1，L) δ(q2，1)→(q2，0，L) δ(q2，B)→(q3，B，L) 3162 求 10100010 的后继函数值的瞬像演变过程如下： 3163 3164 B1010001q00B 3165 3166 B101000q111B 3167 3168 B10100q1011B 3169 3170 B1010q10011B 3171 3172 B101q100011B 3173 3174 B10q1100011B 3175 q3BB10100011B 3176 3177 B1q10100011B 3178 3179 Bq110100011B 3180 3181 q1B10100011B 3182 3183 其结果为 10100011。 3184 3185 1.12 第 12 章─概率算法和近似算法 3186 1.12.1 练习题 3187 1. 蒙特卡罗算法是（ ）的一种。 3188 A. 分枝限界算法 B.贪心算法 C.概率算法 D.回溯算法 3189 2. 在下列算法中有时找不到问题解的是（ ）。 3190 A. 蒙特卡罗算法 B.拉斯维加斯算法 C.舍伍德算法 D.数值概率算法 3191 3. 在下列算法中得到的解未必正确的是（ ）。 3192 A. 蒙特卡罗算法 B.拉斯维加斯算法 C.舍伍德算法 D.数值概率算法 3193 4. 总能求得非数值问题的一个解，且所求得的解总是正确的是（ ）。 3194 A. 蒙特卡罗算法 B.拉斯维加斯算法 C.数值概率算法 D.舍伍德算法 3195 5. 目前可以采用（ ）在多项式级时间内求出旅行商问题的一个近似最优解。 3196 A. 回溯法 B.蛮力法 C.近似算法 D.都不可能 3197 6. 下列叙述错误的是（ ）。 3198 A.概率算法的期望执行时间是指反复解同一个输入实例所花的平均执行时间B.概率算法的平均期望时间是指所有输入实例上的平均期望执行时间 3199 C.概率算法的最坏期望事件是指最坏输入实例上的期望执行时间 3200 D.概率算法的期望执行时间是指所有输入实例上的所花的平均执行时间 3201 7. 下列叙述错误的是（ ）。 3202 A.数值概率算法一般是求数值计算问题的近似解B.Monte Carlo 总能求得问题的一个解，但该解未必正确 3203 C.Las Vegas 算法的一定能求出问题的正确解 3204 D.Sherwood 算法的主要作用是减少或是消除好的和坏的实例之间的差别 3205 8. 近似算法和贪心法有什么不同？ 3206 9. 给定能随机生成整数 1 到 5 的函数 rand5()，写出能随机生成整数 1 到 7 的函数rand7()。 3207 1.12.2 练习题参考答案 3208 1. 答：C。 3209 2. 答：B。 3210 3. 答：A。 3211 4. 答：D。 3212 5. 答：C。 3213 6. 答：对概率算法通常讨论平均的期望时间和最坏的期望时间，前者指所有输入实例上平均的期望执行时间，后者指最坏的输入实例上的期望执行时间。答案为 D。 3214 7. 答：一旦用拉斯维加斯算法找到一个解，那么这个解肯定是正确的，但有时用拉斯维加斯算法可能找不到解。答案为 C。 3215 8. 答：近似算法不能保证得到最优解。贪心算法不一定是近似算法，如果可以证明 3216 3217 3218 决策既不受之前决策的影响，也不影响后续决策，则贪心算法就是确定的最优解算法。 3219 9. 解：通过 rand5()*5+rand5()产生 6，7，8，9，…，26，27，28，29，30 这 25 个整数，每个整数 x 出现的概率相等，取前面 3*7=21 个整数，舍弃后面的 4 个整数，将{6， 7，8}转化成 1，{9，10，11}转化成 2，以此类推，即由 y= (x-3)/3 为最终结果。对应的程序如下： 3220 #include <stdio.h> 3221 #include <stdlib.h> 3222 #include <time.h> //包含产生随机数的库函数 3223 int rand5() //产生一个[1,5]的随机数 3224 { int a=1,b=5; 3225 return rand()%(b-a+1)+a; 3226 } 3227 int rand7() //产生一个[1,7]的随机数 3228 { int x; 3229 do 3230 { 3231 x=rand5()*5+rand5(); 3232 } while (x>26); 3233 int y=(x-3)/3; 3234 return y; 3235 } 3236 void main() 3237 { srand((unsigned)time(NULL)); //随机种子 3238 for (int i=1;i<=20;i++) //输出 20 个[1,7]的随机数 3239 printf("%d ",rand7()); 3240 printf("\n"); 3241 } 3242 上述程序的一次执行结果如图 1.56 所示。 3243 图 1.56 程序执行结果
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