皮尔逊、肯德尔、斯皮尔曼相关性

 一 、皮尔逊相关性

在统计学中，皮尔逊相关系数( Pearson correlation coefficient），又称皮尔逊积矩相关系数（Pearson product-moment correlation coefficient，简称 PPMCC或PCCs），是用于度量两个变量X和Y之间的相关（线性相关），其值介于-1与1之间。

它是由卡尔·皮尔逊从弗朗西斯·高尔顿在19世纪80年代提出的一个相似却又稍有不同的想法演变而来的。这个相关系数也称作“皮尔逊积矩相关系数”。

定义

两个变量之间的皮尔逊相关系数定义为两个变量之间的 协方差和 标准差的商：

上式定义了总体相关系数，常用希腊小写字母   作为代表符号。估算 样本的协方差和标准差，可得到皮尔逊相关系数，常用英文小写字母   代表：

 

 亦可由   样本点的 标准分数均值估计，得到与上式等价的表达式：

其中   、   及   分别是对  样本的标准分数、样本平均值和样本标准差。

相关系数    

0.8-1.0     极强相关
0.6-0.8     强相关
0.4-0.6     中等程度相关
0.2-0.4     弱相关
0.0-0.2     极弱相关或无相关

使用条件

当两个变量的标准差都不为零时，相关系数才有定义，皮尔逊相关系数适用于：

(1)、两个变量之间是线性关系，都是连续数据。

(2)、两个变量的总体是正态分布，或接近正态的单峰分布。

(3)、两个变量的观测值是成对的，每对观测值之间相互独立。

 二、肯德尔相关性（kendall）

Kendall(肯德尔)系数的定义：n个同类的统计对象按特定属性排序，其他属性通常是乱序的。同序对（concordant pairs）和异序对（discordant pairs）之差与总对数（n*(n-1)/2)的比值定义为Kendall(肯德尔)系数。

R=（P-(n*(n-1)/2-P))/(n*(n-1)/2)=(4P/(n*(n-1)))-1

适用性

肯德尔相关系数与斯皮尔曼相关系数对数据条件的要求相同

 三、斯皮尔曼相关性（spearman）

两个变量的依赖性的 非参数 指标。 它利用单调方程评价两个统计变量的相关性。 如果数据中没有重复值， 并且当两个变量完全单调相关时，斯皮尔曼相关系数则为+1或−1。

斯皮尔曼相关系数被定义成等级变量之间的 皮尔逊相关系数。对于样本容量为 n的样本， n个原始数据被转换成等级数据，相关系数ρ为

或

 

原始数据依据其在总体数据中平均的降序位置，被分配了一个相应的等级。

https://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%96%AF%E7%9A%AE%E5%B0%94%E6%9B%BC%E7%AD%89%E7%BA%A7%E7%9B%B8%E5%85%B3

 

 四、三大相关性选择

http://www.datasoldier.net/archives/716

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扩展:

协方差：https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%8F%E6%96%B9%E5%B7%AE/2185936?fr=aladdin

协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。

期望值分别为 E[ X]与 E[ Y]的两个实随机变量 X与 Y之间的协方差 Cov(X,Y)定义为：

期望：数学期望(mean)（或 均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的 概率乘以其结果的总和

以下是数学期望的重要性质:

1.

2.

3.

4.当X和Y相互独立时，

标准差： https://baike.baidu.com/item/%E6%A0%87%E5%87%86%E5%B7%AE/1415772?fr=aladdin

又常称 均方差，是离均差平方的算术平均数的平方根，用σ表示