浅谈高维前缀和

我们知道一维前缀和是可以这么求的:

for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] += a[i - 1];

而一维前缀和是可以这么求的:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = 1; j <= n; ++j)
        a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];

这是基于容斥的做法

当然我们也可以一维一维的去累计:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = 1; j <= n; ++j)
        a[i][j] += a[i][j - 1]; //累计了每一行的前缀和
for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = 1; j <= n; ++j)
        a[i][j] += a[i - 1][j];//累计了每一列的前缀和

容易看出,当数组的位数变高的时候,如果我们要基于容斥去计算数组前缀和,容斥的项数越来越多,写起来也更加复杂,而如果我们按照维数去统计,则会有比较好的效果.

比如,给出$a[i]$ ,对于每一个$i$,求出$\sum_{j \& i = j} a[j]$

这道题其实是让我们求出某个数二进制状态下的子集和,如果我们对于每一个数去枚举子集复杂度是$3^{n$的,其中$n$为二进制位数,但是,如果我们把一个数看成一个$n$维空间,那么题目中要求的其实就是一个$n$维的前缀和,我们仿照上面的形式,一维一维的扫过去求和即可,复杂度$O(n*2}n)$.

for (int i = 0; i < n; ++i) //遍历每一维
    for (int j = 0; j < (1 << n); ++j)
        if ((j >> i) & 1) a[j] += a[j ^ (1 << i)]; //做前缀和