读书笔记: 范畴论

基本概念

范畴论

• 数学构造(Mathematical structure)
  在数学上，在集合上的一个构造是一个附加的数学对象，赋予这个集合某种意义。

• 范畴论(category theory)
  范畴论的目的是：规范化数学构造。
  方法为：使用带标签的有向图。
  研究内容：各种数学结构之间的关系。

范畴(category)

一个范畴是一个带标签的有向图，其节点为对象(object)，带有标签的有向边为箭头(arrow or morphism)。

一个范畴C包含3个数学实体：

• 对象集合：ob(C)
  每个元素都是一个对象，一个对象又可以认为是一个集合。

• 态射集合: hom(C)
  态射集合的每个元素是一个态射, \(f: a \to b\)，每个态射f有一个源对象(source object) a和目标对象(target object)b。
  \(hom(a, b)\)表示从a到b的所有态射。

• 性质：二元操作：态射结合(composition of morphisms): \(\circ\)
  \(f: a \to b, g: b \to c\) 的结合是 \(g \circ f\)。具有

  • 满足结合律(Associativity): $ h \circ ( g \circ f ) = ( h \circ g ) \circ f $
  • 存在恒等态射(identity):
    对于每个对象x，存在一个恒等态射(identity morphism) \(1_x: x \to x\)，
    其性质为，对于任何态射\(f: a \to b\)，有\(1_b \circ f = f = f \circ 1_a\)
    恒等态射的含义是：定义了相同关系(equality relation A = B)。
    可以简单的认为是；\(f(x) = x\)。

态射(morphism)

态射可以理解为一个函数，在范畴论中，往往表示为一个对象和另一个对象的map关系。
态射作为函数理解的时候，不用纠结于参数的个数。

态射的种类(\(f: a \to b\))：

• 单态射(monomorphism or monic)
  如果\(f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2, \forall g_1, g_2: x \to a\)。
  其含义是：不存在两个a中元素 map 到同一个b中的元素。
  \(\forall a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2 \implies f(a_1) \neq f(a_2)\)

• 满态射(epimorphism or epic)
  如果\(g_1 \circ f = g_2 \circ f \implies g_1 = g_2, \forall g_1, g_2: b \to x\)。
  其含义是：每一个b中的元素，都在a中有至少一个 source mapper。

• 双态射(bimorphism)
  即是单态射，有时满态射。

• 同构(isomorphism)
  如果存在一个同构\(g:b \to a\)，有\(f \circ g = 1_b, g \circ f = 1_a\)。
  其含义是：a,b两个对象的元素存在一对一的 map 关系。
  同构 = 双态射 + 存在逆态射。
  g称为逆态射，也是一个同构，g 的逆态射是 f。
  比如：f是加法，g是减法。

• 自态射(endomorphism)
  表示一个态射源对象和目标对象是同一个, \(f: a \to a\)。记为：end(a)。

• 自同构(automorphism)
  如果f既是一种自态射，又是具有同构性。记为：aut(a)。

• 撤回射(retraction)
  如果存在一个f的右逆，也就是说，如果存在: $g : b \to a, f \circ g = 1_b。
  f 是另一个态射g的撤回射，其含义是：g 可以通过f找到 source element。f必定是一个满态射(epimorphism)。

• 部分射(section)
  如果f的左逆是存在的，也就是说，如果存在: $g : b \to a, g \circ f = 1_a。
  f 是另一个态射g的部分射，其含义是：f 确定了g的同构部分。f必定是一个单态射(monomorphism)。
  是不是可以理解为f的g应用的一个条件???

• 同态(homomorphism)
  同态(homomorphism)是一个态射，表示一个数学结构\mathcal{A}(C, *, e)到另一个数学结构\mathcal{B}(C', ', e')的map关系，并且维持了数学结构上的的每一种操作。
  同态(homomorphism) \(f: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)，有：
  \(f(x * y) = f(x) *' f(y)\)

  同一种操作在不同的数学结构上定义可以不同。
  比如：指数函数是一个同态。

\[f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ f(x) = e^x \\ e^{x + y} = e^x e^y \to f(x * y) = f(x) * f(y) \\ where \\ f \text{ exponential function is a homomorphism} \\ \text{the source is A} = \mathbb{R} \\ \text{the target is B} = \mathbb{R} \\ * = + \text{ in A} \\ * = \times \text{ in B} \]

• 域(domain)/协域(codomain)
  对于一个态射(morphism) \(f : S \to T\)。 域(domain)是这个态射的源，协域(codomain)是这个态射目标。

• 范畴的表达

  1. 表达1

\[C = (Ob(C), Hom_C(x,y), id_x, \circ) \\ where \\ Ob(C) \in Set_{object} \\ Hom_C(x, y) \in Set_{morphism} \ | \ x, y \in Ob(C) \\ id_x \in Hom_C(x, x) \text{ : identity morphism of x} \\ \circ : Hom_C(y, z) \times Hom_C(x, y) \to Hom_C(x, z) \text{ : composition formula} \\ \text{Identity Law:} \\ \forall x, y \in Ob(C), f: x \to y \\ f \circ id_x = f \\ id_y \circ f= f \\ \text{Associative Law:} \\ \forall w, x, y, z \in Ob(C), h: w \to x, g: x \to y, f: y \to z \\ (h \circ g) \circ f = h \circ ( g \circ f) \in Hom_C(w, z) \]

函子(functor)

函子是范畴之间的map关系。可以理解为范畴之间的态射。

• 协变(covariant)函子
  \(F: C \to D\), F包含：
  • 对于每一个 C 中的对象x，对应一个 D 中的F(x)。
  • 对于每一个C中的态射\(f: x \to y\)，对应D的态射\(F(f): F(x) \to F(y)\)。
• 逆变(contravariant)函子
  和协变函子类似，只不过态射的方向是从D到C。

自然转换(Natural transformation)

自然转换是两个函子之间的关系。函子描述“自然构造(natural constructions)”，自然转换描述两个这样构造的"自然同态(natural homomorphisms)"。
homomorphism的意思是相同的形状。

其它

• 本体(olog)

• 交换图(commutative diagram)

• 通用性质(universal property)
  如果，两个数学结构是同构(isomorphism)，那么它们之间就存在通用性质。
  同构意味着两个数学结构X和Y中的元素是存在一一对应。
  那么，Y上的性质(态射)意味着X上存在一个对应的性质(态射)。比如：
  X = {A, B, C}
  Y = {1, 2, 3}
  A --> 1
  B --> 2
  C --> 3
  如果+(1, 2) = 3，我们也可以认为存在 +(A, B) = C。起点性质。
  如果+(1, 2)，我们也可以认为存在 +(C) = (A, B)。起点性质。
  通用性质(universal property)要么是一个起点性质(initial property)，要么是一个终点性质(terminal property)。

  • 起点性质(initial property)
    唯一存在

\[U: D \to C \\ D \{ A, Y \} \\ C \{ X, U(A), U(Y), \phi: X \to U(A) \} \\ \therefore \\ \text{initial property:} \\ \forall f: X \to U(Y) \\ \exists g, g: A \to Y \\ \exists U(g), g: U(A) \to U(Y) \\ \]

• 终点性质(terminal property)
  唯一存在

\[U: D \to C \\ D \{ A, Y \} \\ C \{ X, U(A), U(Y), \phi: U(A) \to X \} \\ \therefore \\ \text{terminal property:} \\ \forall f: U(Y) \to X \\ \exists g, g: Y \to A \\ \exists U(g), g: U(Y) \to U(A) \\ \]

• 起点性质示例

\[X = (L : (a,b,c), A:L \times L, B: L) \\ Y = (N : (1,2,3), A_y:N \times N, B_y: N, C_y: A_y) \\ \phi: C_y \to A_y = c \\ \text{e.g. } (1, 2) = (1, 2) \\ f: C_y \to B_y = c_1 + c_2 \\ \text{e.g. } 1 + 2 = 3 \\ \therefore \\ \exists g: A \to B \\ \text{e.g. } a + b = c \]

• 终点性质示例

\[X = (L : (a,b,c), A:L \times L, B: L) \\ Y = (N : (1,2,3), A_y:N \times N, B_y: N, C_y: B_y) \\ \phi: A_y \to C_y = a_1 + a_2 \\ \text{e.g. } 1 + 2 = 3 \\ f: B_y \to C_y = b \\ \text{e.g. } 3 = 3 \\ \therefore \\ \exists g: B \to A \\ \text{e.g. } c = a + b \]

• 拉回(pullback)
• 推出(pushout)
• limit/colimit

关系

• 二元关系(binary relation)
  一个基于集合X的二元关系，是一个\(R \subseteq X \times X\)的子集。

• 等价关系(equivalence relations)
  一个集合X上的等价关系\(\sim\)，是一个\(R \subseteq X \times X\)的子集，具有

  • 自反性(Reflexivity)
    \((x, x) \in R\)
  • 对称性(Symmetry)
    $(x, y) \in R \text{, iff } \((y, x) \in R\)$
  • 传递性(Transitivity)
    $\text{if } (x, y) \in R, (y, z) \in R \text{, then } \((x, z) \in R\)$

幺半群(monoid)

幺半群可以代表一个序列或者列表。

• 幺半群(monoid)
  一个幺半群是一个序列(sequence)\((M, e, \star)\)。M是一个集合，
  \(e \in M\)是一个元素，成为单位元素(identity element)。
  \(\star : M \times M \to M\)是一个函数，称为乘法公式(multiplication formula)。
  幺半群具有以下属性：

  • 同一律(identity law)
    \(m \star e = m\)
    \(e \star m = m\)
  • 结合律(associativity law)
    \((m \star n) \star p = m \star ( n \star p)\)
    比如：字符串就是一个幺半群，e = "", \(\star\) = +。

• List in set
  集合X，在X上的List是

\[(n, f) \\ where \\ n \in \mathbb{N} \text{ : the length of the list} \\ f: \underline{n} \to X \\ \underline{n} = \{ 1,2, \cdots, n\} \]

记做:

\[(n, f) = [f(1), f(2), \cdots, f(n)] \]

• 列表单体(free monoid generated by X)
  \(M: = (List(X), [], ++)\)
  List(X)；集合X的元素列表集合。
  []是一个空列表。
  ++是连接操作(concatenation)。

• 显示幺半群(presented monoid)

显示幺半群的作用是提供了替换方法。
由有限集合G和等价关系产生的显示幺半群(the monoid presented by generators G and relation $ { (m_i, m'_i) | 1 \le i \le n } $)

\[M = \{ M, e, \star \} \\ where \\ \{ (xm_iy \sim xm'_iy) | x, y \in List(G), 1 \le i \le n \} \text{ : equivalence relation} \\ M = List(G)/\sim \\ e = [] \\ \star \text{ : concatenating operation} \]

• 循环(cyclic)幺半群

循环幺半群的作用是提供了一个环形列表的定义方法。
循环(cyclic)幺半群是只有一个等价关系的显示幺半群。

• 幺半群行动(monoid actions)
  在集合S上的幺半群\((M, e, \star)\)的行动为函数:

\[\hookrightarrow \]

符号

术语	English	Notation
单态射	monomorphisms	$ \hookrightarrow $
满态射	epimorphisms	$ \twoheadrightarrow $
同构	isomorphisms	$ \overset{\sim}{\to} $

群(group)

group是一个monoid，并且每个元素都有一个倒数(inverse)。
推论：倒数具有唯一性。

图形(graphs)

图形(graphs)是由多个顶点(vertex)和顶点之间的箭头(arrow)定义而成。
路径(path)

顺序(order)

• 预次序关系(preorder)
  预次序关系(preorder)\((S, \leq)\)是一个基于集合S的二元关系\(R \subseteq S \times S\)，
  R的关系：\(\text{if } (s, s') \in R, \text{then } s \leq s'\)
  并且有

  • 自反性(Reflexivity): \(s \leq s\)
  • 传递性(Transitivity): \(\text{if } s \leq s' \text{and } s' \leq s", \text{then } s \leq s"\)

• 部分有序(partial order)
  部分有序(partial order)是预次序关系，并且

  • 反对称性(Antisymmetry)
    如果s <= s', 并且 s' <= s, 则 s = s'。

• 线性有序(linear order)
  线性有序(linear order)是部分有序，并且

  • 可比较性(Comparability)
    要么 s <= s', 要么 s' <= s。

• 派系(clique)
  派系(clique)中的每两个点都是毗邻的(adjacent)。

\[clique \doteq S' \\ where \\ (S, \leqslant) \text{ is a preorder}\\ S' \subseteq S \\ a \leqslant b, \forall a,b \in S' \]

• meet 和 join
  \((S, \leqslant)\)是一个preorder。\(s, t \in S\)
  s和t的meet(the biggest thing smaller than both)是一个元素\(w \in S\)，
  表示为：$ w \cong s \land t $
  具有:

\[w \leqslant s \\ w \leqslant t \\ x \leqslant w \ | \ \forall x \in S, x \leqslant s \ \And \ x \leqslant t \]

s和t的join(the smallest thing bigger than both)是一个元素\(w \in S\)，
表示为：$ w \cong s \lor t $
具有:

\[s \leqslant w \\ t \leqslant w \\ w \leqslant x \ | \ \forall x \in S, s \leqslant x \ \And \ t \leqslant x \]

meet 和 join 不一定是唯一的。任何两个meet一定在同一个派系内。

digraph finite_state_machine {
    rankdir=LR;
    size="8,5"

    node [shape = doublecircle]; S;
    node [shape = point ]; qi

    node [shape = circle];
    qi -> S;
    S  -> q1 [ label = "a" ];
    S  -> S  [ label = "a" ];
    q1 -> S  [ label = "a" ];
    q1 -> q2 [ label = "ddb" ];
    q2 -> q1 [ label = "b" ];
    q2 -> q2 [ label = "b" ];
}

• 反顺序(Opposite order)
  \(S := (S, \leqslant)\)是一个预次序(preorder)，则反顺序\(S^{op} := (s, \leqslant^{op})\),
  有：
  $ s \leqslant s' \iff s' \leqslant s $

• 次序的态射(morphism of orders)
  从\(S := (S, \leqslant)\)到\(S' := (S', \leqslant')\)次序的态射f，表示为\(f: S \to S'\)。

\[\text{if } s_1 \leqslant s_2 \text{, then } f(s_1) \leqslant f(s_2) \]

Database vs Graph

• 路径等价声明(path equivalence declaration)
  图形\(G := (V, A, src, tgt)\), \(Path_G\)为G中所有路径的集合。
  \(p \simeq q | p,g \in Path_G\)为路径等价声明，表示p,g有相同的起点和终点。
  在G上的一个一致(congruence) 是一个在\(Path_G\)上的 等价关系\(\simeq\)，具有:

1. \(\simeq\)是一个等价关系.
2. 如果 \(p \simeq q\)，则src(p) = src(q).
3. 如果 \(p \simeq q\)，则tgt(p) = tgt(q).
4. 假设 \(p,q: b \to c\)是路径，并且\(m: a \to b\)。如果 \(p \simeq q\)，则\(mp \simeq mq\).
5. 假设 \(p,q: b \to c\)是路径，并且\(n: b \to c\)。如果 \(p \simeq q\)，则\(pn \simeq qn\).

\(\simeq\) 是一个集合，定义了图形上的所有约束。

• 引理:假设\(p simeq q : a \to b, r \simeq s: b \to c\)，则\(pr \simeq qs\)。

• Database Schema
  Database Schema \(C := (G, \simeq)\)，G是一个图形，\(\simeq\)是G上的一致。

• Olog = Database Schema

• 实例(instance)
  一个顶点对应的集合，和出入箭头的所有路径上的节点集合。

\[(PK, FK) : C \to Set \text{ is an instance} \\ where \\ C = (G, \simeq) \\ G = (V, A, src, tgt) \\ PK : V \to Set \text{, one set for one vertex} \\ FK(a) : PK(v) \to PK(w) \ | \ v = src(a), w = tgt(a), \forall a \in A \]

• 路径法则(Law 1 - Path through a database)

\[FK(a_m) \circ \dots \circ FK(a_1) (x) = FK(a'_n) \circ \dots \circ FK(a'_1) (x) = PK(w), \forall x \in PK(v) \\ where \\ p = v a_1 a_2 \dots a_m : v \to w \\ q = v a'_1 a'_2 \dots a'_n : v \to w \\ p \simeq q \]

范畴化

如何将一个monoid/order group/group index通过一个函子转化成一个范畴。

Database Schema present categories

参照

• Category Theory for Scientists by David I. Spivak
• Mathematical structure