有序拆分：
可重：
把n拆成k个数：
- 可以看成求$\sum_{i=1}^{k}x_i=n 的正整数解组数，由组合数学公式得方案数为：C_{n-1}^{k-1} $
把n拆成若干个数：
- 可以求$\sum_{k=1}^{n}C_{n-1}^{k-1} $，由二项式定理得方案数为\(2^{n-1}\)
- 也可以递推，方程为：$f(n)=1+\sum_{i=1}^{n-1}f(n-i) ，解得通项公式为f(n)=2^{n-1} $
把n拆成最大数不超过k的若干个数或把n拆成最大数为k的若干个数：
- 可类似上述递推方法求得
不可重或其它限制：
- 二维递推方程
- 无序拆分的排列
无序拆分：
可重：
性质一
- 把整数n拆分成最大数为k的拆分数，和把n拆分成k个数的拆分数相等。
性质二
- 把整数n拆分成最多不超过m个数的拆分数，和把n拆分成最大不超过m的拆分数相等。
Ferrers图像:
把n拆成k个数：
- $f[n][k]=f[n-1][k-1]+f[n-k][k] $
- 可以理解为把\(n-1\)个数拆成\(k-1\)个再在后面加一个\(1\)和把\(n-k\)拆成\(k\)个数再给每个数加\(1\)
把n拆成不超过k个数：
- 拆成\(k\)个数求和
- 利用性质2，完全背包：$f[n][k]=f[n-k][k]+f[n][k-1] $
不可重：
把n拆成k个数：
- $f[n][k]=f[n-k][k-1]+f[n-k][k] $
- 可以理解为把\(n-k\)个数拆成\(k-1\)个后给每个数加\(1\)再在后面加一个\(1\)和把\(n-k\)拆成\(k\)个数再给每个数加\(1\)
- 由于不可重，所以可以跳过$n<\sum_{i=1}^ki $的情况
把n拆成不超过k个数：
- 拆成\(k\)个数求和
把n拆成最大不超过k的若干个数：
- 01背包：$f[n][k]=f[n-k][k-1]+f[n][k-1] $
在给出的k种数中选择一些组合成n的方案数：
每种数有无数个：
- 完全背包：$f[n][k]=f[n-v[k]][k]+f[n][k-1] $
第k种数有a[k]个：
- 多重背包