一.什么是二叉堆？
二叉堆本质上是一种完全二叉树，它分为两个类型：
1.最大堆
2.最小堆
什么是最大堆呢？最大堆任何一个父节点的值，都大于等于它左右孩子节点的值。
什么是最小堆呢？最小堆任何一个父节点的值，都小于等于它左右孩子节点的值。
二叉堆的根节点叫做堆顶。
最大堆和最小堆的特点，决定了在最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素；最小堆的堆顶是整个堆中的最小元素。
堆的自我调整
对于二叉堆，如下有几种操作：
插入节点
删除节点
构建二叉堆
这几种操作都是基于堆的自我调整。
下面让我们以最小堆为例，看一看二叉堆是如何进行自我调整的。
1.插入节点
二叉堆的节点插入，插入位置是完全二叉树的最后一个位置。比如我们插入一个新节点，值是 0。
这时候，我们让节点0的它的父节点5做比较，如果0小于5，则让新节点“上浮”，和父节点交换位置。
继续用节点0和父节点3做比较，如果0小于3，则让新节点继续“上浮”。
继续比较，最终让新节点0上浮到了堆顶位置。
2.删除节点
二叉堆的节点删除过程和插入过程正好相反，所删除的是处于堆顶的节点。比如我们删除最小堆的堆顶节点1。
这时候，为了维持完全二叉树的结构，我们把堆的最后一个节点10补到原本堆顶的位置
接下来我们让移动到堆顶的节点10和它的左右孩子进行比较，如果左右孩子中最小的一个（显然是节点2）比节点10小，那么让节点10“下沉”。
继续让节点10和它的左右孩子做比较，左右孩子中最小的是节点7，由于10大于7，让节点10继续“下沉”。
这样一来，二叉堆重新得到了调整。
3.构建二叉堆
构建二叉堆，也就是把一个无序的完全二叉树调整为二叉堆，本质上就是让所有非叶子节点依次下沉。
我们举一个无序完全二叉树的例子：
首先，我们从最后一个非叶子节点开始，也就是从节点10开始。如果节点10大于它左右孩子中最小的一个，则节点10下沉。
接下来轮到节点3，如果节点3大于它左右孩子中最小的一个，则节点3下沉。
接下来轮到节点1，如果节点1大于它左右孩子中最小的一个，则节点1下沉。事实上节点1小于它的左右孩子，所以不用改变。
接下来轮到节点7，如果节点7大于它左右孩子中最小的一个，则节点7下沉
节点7继续比较，继续下沉。
这样一来，一颗无序的完全二叉树就构建成了一个最小堆。
堆的代码实现
在撸代码之前，我们还需要明确一点：
二叉堆虽然是一颗完全二叉树，但它的存储方式并不是链式存储，而是顺序存储。换句话说，二叉堆的所有节点都存储在数组当中。
数组中，在没有左右指针的情况下，如何定位到一个父节点的左孩子和右孩子呢？
像图中那样，我们可以依靠数组下标来计算。
假设父节点的下标是parent，那么它的左孩子下标就是 2*parent+1；它的右孩子下标就是2*parent+2 。
比如上面例子中，节点6包含9和10两个孩子，节点6在数组中的下标是3，节点9在数组中的下标是7，节点10在数组中的下标是8。
7 = 3*2+1
8 = 3*2+2
刚好符合规律。
有了这个前提，下面的代码就更好理解了：
1.二叉堆的代码实现（原文中有错误之处，已修正）
public class HeapOperator { /** * 上浮调整 * @param array 待调整的堆 */ public static void upAdjust(int[] array) { int childIndex = array.length-1; int parentIndex = (childIndex-1)/2; // temp保存插入的叶子节点值，用于最后的赋值 int temp = array[childIndex]; while (childIndex > 0 && temp < array[parentIndex]){ //无需真正交换，单向赋值即可 array[childIndex] = array[parentIndex]; childIndex = parentIndex; parentIndex = (parentIndex-1) / 2; } array[childIndex] = temp; } /** * 下沉调整 * @param array 待调整的堆 * @param parentIndex 要下沉的父节点 * @param parentIndex 堆的有效大小 */ public static void downAdjust(int[] array, int parentIndex, int length) { // temp保存父节点值，用于最后的赋值 int temp = array[parentIndex]; int childIndex = 2 * parentIndex + 1; while (childIndex < length) { // 如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值，则定位到右孩子 if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] < array[childIndex]) { childIndex++; } // 如果父节点小于任何一个孩子的值，直接跳出 if (temp <= array[childIndex]) break; //无需真正交换，单向赋值即可 array[parentIndex] = array[childIndex]; parentIndex = childIndex; childIndex = 2 * childIndex + 1; } array[parentIndex] = temp; } /** * 构建堆 * @param array 待调整的堆 */ public static void buildHeap(int[] array) { // 从最后一个非叶子节点开始，依次下沉调整 for (int i = (array.length-2 )/ 2; i >= 0; i--) { downAdjust(array, i, array.length); } } public static void main(String[] args) { int[] array = new int[] {1,3,2,6,5,7,8,9,10,0}; upAdjust(array); System.out.println(Arrays.toString(array)); array = new int[] {7,1,3,10,5,2,8,9,6}; buildHeap(array); System.out.println(Arrays.toString(array)); } }
插入时上浮，删除时下沉，构建时下沉
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二.什么是堆排序？
让我们回顾一下二叉堆和最大堆的特性：
1.二叉堆本质上是一种完全二叉树
2.最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素
当我们删除一个最大堆的堆顶（并不是完全删除，而是替换到最后面），经过自我调节，第二大的元素就会被交换上来，成为最大堆的新堆顶。
正如上图所示，当我们删除值为10的堆顶节点，经过调节，值为9的新节点就会顶替上来；当我们删除值为9的堆顶节点，经过调节，值为8的新节点就会顶替上来.......
由于二叉堆的这个特性，我们每一次删除旧堆顶，调整后的新堆顶都是大小仅次于旧堆顶的节点。那么我们只要反复删除堆顶，反复调节二叉堆，所得到的集合就成为了一个有序集合，过程如下：
删除节点9，节点8成为新堆顶：
删除节点8，节点7成为新堆顶：
删除节点7，节点6成为新堆顶：
删除节点6，节点5成为新堆顶：
删除节点5，节点4成为新堆顶：
删除节点4，节点3成为新堆顶：
删除节点3，节点2成为新堆顶：
到此为止，我们原本的最大堆已经变成了一个从小到大的有序集合。之前说过二叉堆实际存储在数组当中，数组中的元素排列如下：
由此，我们可以归纳出堆排序算法的步骤：
1. 把无序数组构建成二叉堆。
2. 循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶。
2.代码实现堆排序
public class HeapOperator2 { /** * 下沉调整 * @param array 待调整的堆 * @param parentIndex 要下沉的父节点 * @param parentIndex 堆的有效大小 */ public static void downAdjust(int[] array, int parentIndex, int length) { // temp保存父节点值，用于最后的赋值 int temp = array[parentIndex]; int childIndex = 2 * parentIndex + 1; while (childIndex < length) { // 如果有右孩子，且右孩子大于左孩子的值，则定位到右孩子 if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] > array[childIndex]) { childIndex++; } // 如果父节点大于任何一个孩子的值，直接跳出 if (temp >= array[childIndex]) break; //无需真正交换，单向赋值即可 array[parentIndex] = array[childIndex]; parentIndex = childIndex; childIndex = 2 * childIndex + 1; } array[parentIndex] = temp; } /** * 堆排序 * @param array 待调整的堆 */ public static void heapSort(int[] array) { // 1.把无序数组构建成二叉堆。 for (int i = (array.length-2)/2; i >= 0; i--) { downAdjust(array, i, array.length); } System.out.println("二叉堆："+Arrays.toString(array)); // 2.循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶。 for (int i = array.length - 1; i > 0; i--) { // 最后一个元素和第一元素进行交换 int temp = array[i]; array[i] = array[0]; array[0] = temp; // 下沉调整最大堆 downAdjust(array, 0, i); } } public static void main(String[] args) { int[] arr = new int[] {1,3,2,6,5,7,8,9,10,0}; heapSort(arr); System.out.println("排序后："+Arrays.toString(arr)); } }
二叉堆的节点下沉调整（downAdjust 方法）是堆排序算法的基础，这个调节操作本身的时间复杂度是多少呢？
假设二叉堆总共有n个元素，那么下沉调整的最坏时间复杂度就等同于二叉堆的高度，也就是O（logn）。
我们再来回顾一下堆排序算法的步骤：
1. 把无序数组构建成二叉堆。
2. 循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶。
第一步，把无序数组构建成二叉堆，需要进行n/2次循环。每次循环调用一次downAdjust方法，所以第一步的计算规模是n/2 * logn，时间复杂度 O（nlogn）。
第二步，需要进行n-1次循环。每次循环调用一次downAdjust方法，所以第二步的计算规模是（n-1） * logn ，时间复杂度O（nlogn）。
第二步，需要进行n-1次循环。每次循环调用一次downAdjust方法，所以第二步的计算规模是（n-1） * logn ，时间复杂度O（nlogn）。
两个步骤是并列关系，所以整体的时间复杂度同样是O（nlogn）。
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三：优先队列
队列的特点是什么？
聪明的小伙伴们都知道，是先进先出（FIFO）。
入队列：
出队列：
那么，优先队列又是什么样子呢？
优先队列不再遵循先入先出的原则，而是分为两种情况：
最大优先队列，无论入队顺序，当前最大的元素优先出队。
最小优先队列，无论入队顺序，当前最小的元素优先出队。
比如有一个最大优先队列，它的最大元素是8，那么虽然元素8并不是队首元素，但出队的时候仍然让元素8首先出队：
要满足以上需求，利用线性数据结构并非不能实现，但是时间复杂度较高，最坏时间复杂度O（n），并不是最理想的方式。
至于为什么最坏时间复杂度是O（n），大家可以思考下。
让我们回顾一下二叉堆的特性：
1.最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素
2.最小堆的堆顶是整个堆中的最小元素
因此，我们可以用最大堆来实现最大优先队列，每一次入队操作就是堆的插入操作，每一次出队操作就是删除堆顶节点。
入队操作：
1.插入新节点5
2.新节点5上浮到合适位置。
出队操作：
1.把原堆顶节点10“出队”
2.最后一个节点1替换到堆顶位置
3.节点1下沉，节点9成为新堆顶
3.代码实现优先队列
package com.ch.interfacemanager.controller; import java.util.Arrays; public class PriorityQueue { private int[] array; private int size; public PriorityQueue(){ //队列初始长度32 array = new int[32]; } /** * 入队 * @param key 入队元素 */ private void enQueue(int key) { //队列长度超出范围，扩容 if(size >= array.length){ resize(); } array[size++] = key; upAdjust(); } /** * 出队 */ private int deQueue() throws Exception { if(size <= 0){ throw new Exception("the queue is empty !"); } //获取堆顶元素 int head = array[0]; //最后一个元素移动到堆顶 array[0] = array[--size]; downAdjust(); return head; } /** * 上浮调整 */ private void upAdjust() { int childIndex = size-1; int parentIndex = (childIndex-1)/2; // temp保存插入的叶子节点值，用于最后的赋值 int temp = array[childIndex]; while (childIndex > 0 && temp > array[parentIndex]) { //无需真正交换，单向赋值即可 array[childIndex] = array[parentIndex]; childIndex = parentIndex; parentIndex = (parentIndex-1) / 2; } array[childIndex] = temp; } /** * 下沉调整 */ private void downAdjust() { // temp保存父节点值，用于最后的赋值 int parentIndex = 0; int temp = array[parentIndex]; int childIndex = 1; while (childIndex < size) { // 如果有右孩子，且右孩子大于左孩子的值，则定位到右孩子 if (childIndex + 1 < size && array[childIndex + 1] > array[childIndex]) { childIndex++; } // 如果父节点大于任何一个孩子的值，直接跳出 if (temp >= array[childIndex]) break; //无需真正交换，单向赋值即可 array[parentIndex] = array[childIndex]; parentIndex = childIndex; childIndex = 2 * childIndex + 1; } array[parentIndex] = temp; } /** * 下沉调整 */ private void resize() { //队列容量翻倍 int newSize = this.size * 2; this.array = Arrays.copyOf(this.array, newSize); } public static void main(String[] args) throws Exception { PriorityQueue priorityQueue = new PriorityQueue(); priorityQueue.enQueue(3); priorityQueue.enQueue(5); priorityQueue.enQueue(10); priorityQueue.enQueue(2); priorityQueue.enQueue(7); System.out.println("出队元素：" + priorityQueue.deQueue()); System.out.println("出队元素：" + priorityQueue.deQueue()); System.out.println("出队元素：" + priorityQueue.deQueue()); System.out.println("出队元素：" + priorityQueue.deQueue()); System.out.println("出队元素：" + priorityQueue.deQueue()); } }
代码中采用数组来存储二叉堆的元素，因此当元素超过数组范围的时候，需要进行resize来扩大数组长度。
详细原理请查看程序员小灰：
http://www.sohu.com/a/253291836_479559 （什么是二叉堆？）
https://yq.aliyun.com/news/176800 （什么是堆排序？）
http://www.sohu.com/a/256122485_479559 （什么是优先队列？）