阶乘末尾连续零的个数

十进制中 N! 末尾连续零的个数

1. 首先考虑 800 中有两个连续的零，800=\(8*10^2\)

   首先考虑 50 中有一个连续的零，50= \(5*10^1\)

   从上面可以看出，N! = \(a*10^k\) , 那么 N! 末尾就有 \(k\) 个连续的零

2. 由质因数分解唯一定理，10 可以分解为小于10的质数乘积，即 10=2*5

   所以我们只要统计出现 2，5的次数，取其中最小的即是末尾连续的零的个数

   统计方法：

   可以看出 2*5 产生一个0， 4*25产生两个零,8*125产生三个零，依次类推

   例如：计算 2015! 中有多少连续的零
   第一步，计算1到2015里多少个5,25,125,625
   1、2015÷5=403 记作A1；
   2、2015÷25=80.6取整得80 记作A2；
   3、2015÷125=16.12取整得16 记作A3；
   4、2015÷625=3.224取整得3 记作A4；
   第二步，计算上述A1到A4中重复的部分
   1、能被5整除的数里包含的能被25整除的数，记作B1
   B1=A1-A2=403-80=323；
   2、能被25整除的数里包含的能被125整除的数，记作B2
   B2=A2-A3=80-16=64；
   3、能被125整除的数里包含的能被625整除的数，记作B3
   B3=A3-A4=16-3=13；
   4、能被625整除的数里没有重复其它情况，直接计入结果，记作B4
   B4=A4；
   第三步，最终结果是
   B11+B22+B33+B44=323+128+39+12=502.........(1)
   另一种方法：
   2015÷5+2015÷25+2015÷125+2015÷625=403+80+16+3=502。。。。。(2)

   (1) (2)式子思路完全不同

   (1)还需要使用容斥原理的知识去掉重复的部分

   ​

   (2)式子为什么可以这么计算？

   可以理解为，在计算 5 的个数时候，包含了 5 25， 125， 625

   在计算25的个数时候，包含了 25 125 625

   在计算125的个数时候，包含了125 625

   在计算625的个数时候，包含了625

   最终，5 计算一次，25计算2次，125计算3次，625计算4次

   从上面可以看出来,计算零的个数时候, \(5*1+25*2+125*3+625*4\) ，

   正好和上面每次包含的数量是一致的，一次可以得到正确结果

   对(2)的代码实现

   //一种方法
   
   
   int cnt_R_10_1(int n){
   	int ans=0,mult=5;
   	while(mult<=n){
   		ans+=n/mult;
   		mult*=5;
   	}
   	return ans;
   }
   
   //另一种方式，乘法的逆向思维
   int cnt_R_10_2(int n){
   	int ans=0;
   	while(n){
   		ans+=n/5;
   		n/=5;
   	}
   	return ans;
   }
   
   

M进制中 N! 末尾连续零的个数

1. 有上面的例子我们可以推出

2. 实现代码

#include "../common.h"
const int MAXN = 100;

//素数表
int prime[MAXN]={2};
//保存 alpha
int ind[MAXN]={0};
//保存 alpha·k 的乘积
int cnt[MAXN]={0};

//一种方式
int cnt_R_10_1(int n){
	int ans=0,mult=5;
	while(mult<=n){
		ans+=n/mult;
		mult*=5;
	}
	return ans;
}

//另一种方式，乘法的逆向思维
int cnt_R_10_2(int n){
	int ans=0;
	while(n){
		ans+=n/5;
		n/=5;
	}
	return ans;
}


void init(){
	int k=1;
	for(int i=3;i<=MAXN;i+=2){
		int flag=0;
		for(int j=2;j*j<=i;j++){
			if(i%j==0){
				flag=1; break;
			}
		}
		if(!flag)
			prime[k++]=i;
	}
}


//求 alpha·k 的乘积
int getcnt(int x, int p){
	int ans = 0;
	while(x){
		ans+=x/p;
		x/=p;
	}
	return ans;
}

int cnt_R_M(int n,int M){
	init();

	//看 M 可以被哪些质数分解
	for(int i=0;i<MAXN;i++){
		if(prime[i]){
			while(M % prime[i]==0){
			ind[prime[i]]++;
			M /= prime[i];
			}
		}		
	}


	for(int i=0;i<MAXN;i++){
		if(ind[i]) cnt[i]=getcnt(n,i);
	}

	int ans=1e8;
	for(int i=0;i<MAXN;i++){
		if(cnt[i]) ans=min(ans,cnt[i]/ind[i]);
	}

	return ans;

}


int main(int argc, char const *argv[])
{
	//求解十进制下 N! 中末尾连续零
	// cout<<"1: "<<cnt_R_10_1(2015)<<endl;
	// cout<<"2: "<<cnt_R_10_2(2015)<<endl;


	//2015! 在 M 进制下末尾连续零
	cout<<cnt_R_M(2015,10)<<endl;
	return 0;
}