这俩东西听起来很高端，实际上很好写，应用也很多~
线段树合并
线段树合并，顾名思义，就是建立一棵新的线段树保存原有的两颗线段树的信息。
考虑如何合并，对于一个结点，如果两颗线段树都有此位置的结点，则直接合并两结点的信息（如维护最大值则取max，维护和则相加），然后递归处理左右子树；
若只有一个有，直接返回即可。
这样子做时间复杂度取决于重合节点个数，一次最坏复杂度是$O(nlogn)$，因为满二叉树的结点数是$O(n)$，对每个结点进行处理是$O(logn)$，但是实际应用中需要合并的两颗树重合部分一般较少，所以复杂度可以近似看为$O(logn)$的；
如果用动态开点线段树的话，一次合并只需要合并一条链，所以时间复杂度是$O(操作数\times logn)$的
启发式合并
启发式合并核心思想就一句话：把小集合的合并到大的里。
启发式合并思想可以放到很多数据结构里，链表、线段树、甚至平衡树都可以。
考虑时间复杂度，设总共有$n$个元素，由于每次集合的大小至少翻倍，所以至多会合并$logn$次，总的复杂度就是$O(nlogn)$的（结合线段树合并就是$O(nlog^2n)$的）
下面举几道例题：
【BZOJ1483】【HNOI2009】梦幻布丁
链表+启发式合并，每次换颜色直接合并
1 #include<iostream>
2 #include<cstring>
3 #include<cstdio>
4 #include<cmath>
5 using namespace std; 6 int n,m,s,x,y,ans=0,a[1000001],lsh[1000001],head[1000001],nxt[1000001],sum[1000001],pre[1000001]; 7 void work(int x,int y){ 8 for(int tmp=head[x];tmp!=-1;tmp=nxt[tmp]){ 9 if(a[tmp+1]==y)ans--; 10 if(a[tmp-1]==y)ans--; 11 } 12 for(int tmp=head[x];tmp!=-1;tmp=nxt[tmp])a[tmp]=y; 13 nxt[lsh[x]]=head[y]; 14 head[y]=head[x]; 15 sum[y]+=sum[x]; 16 head[x]=-1; 17 lsh[x]=sum[x]=0; 18 } 19 int main(){ 20 memset(sum,0,sizeof(sum)); 21 memset(pre,0,sizeof(pre)); 22 memset(head,-1,sizeof(head)); 23 scanf("%d%d",&n,&m); 24 for(int i=1;i<=n;i++){ 25 scanf("%d",&a[i]); 26 pre[a[i]]=a[i]; 27 if(a[i]!=a[i-1])ans++; 28 if(head[a[i]]==-1)lsh[a[i]]=i; 29 sum[a[i]]++; 30 nxt[i]=head[a[i]]; 31 head[a[i]]=i; 32 } 33 for(int i=1;i<=m;i++){ 34 scanf("%d",&s); 35 if(s==2)printf("%d\n",ans); 36 else{ 37 scanf("%d%d",&x,&y); 38 if(x==y)continue; 39 if(sum[pre[x]]>sum[pre[y]])swap(pre[x],pre[y]); 40 x=pre[x],y=pre[y]; 41 if(!sum[x])continue; 42 work(x,y); 43 } 44 } 45 return 0; 46 }
【BZOJ3123】【SDOI2013】森林
主席树+启发式合并
1 #include<algorithm>
2 #include<iostream>
3 #include<cstring>
4 #include<cstdio>
5 #include<cmath>
6 #define N 1000000000
7 using namespace std; 8 typedef long long ll; 9 struct edge{ 10 int v,next; 11 }a[2000001]; 12 int DYZ_HAS_CHANCE,n,m,t,u,v,w,ans=0,tot=0,cnt=0,rt[1000001],ls[5000001],rs[5000001],siz[5000001],sum[1000001],f[1000001],num[1000001],fa[1000001][20],dep[1000001],head[1000001]; 13 bool used[1000001]; 14 char s[10]; 15 int ff(int u){ 16 return f[u]==u?u:f[u]=ff(f[u]); 17 } 18 void add(int u,int v){ 19 a[++tot].v=v; 20 a[tot].next=head[u]; 21 head[u]=tot; 22 } 23 int lca(int u,int v){ 24 if(dep[u]<dep[v])swap(u,v); 25 int l=dep[u]-dep[v]; 26 for(int i=19;i>=0;i--){ 27 if((1<<i)&l)u=fa[u][i]; 28 } 29 if(u==v)return u; 30 for(int i=19;i>=0;i--){ 31 if(fa[u][i]!=fa[v][i]){ 32 u=fa[u][i],v=fa[v][i]; 33 } 34 } 35 return fa[u][0]; 36 } 37 void updata(int k,int &now,int l,int r,int v){ 38 if(!now)now=++cnt; 39 siz[now]=siz[k]+1; 40 if(l==r)return; 41 int mid=(l+r)/2; 42 if(v<=mid)rs[now]=rs[k],updata(ls[k],ls[now],l,mid,v); 43 else ls[now]=ls[k],updata(rs[k],rs[now],mid+1,r,v); 44 } 45 int query(int a1,int a2,int a3,int a4,int l,int r,int v){ 46 if(l==r)return l; 47 int mid=(l+r)/2,ret=siz[ls[a1]]+siz[ls[a2]]-siz[ls[a3]]-siz[ls[a4]]; 48 if(v<=ret)return query(ls[a1],ls[a2],ls[a3],ls[a4],l,mid,v); 49 else return query(rs[a1],rs[a2],rs[a3],rs[a4],mid+1,r,v-ret); 50 } 51 void dfs(int u,int f){ 52 used[u]=true; 53 dep[u]=dep[f]+1; 54 fa[u][0]=f; 55 for(int i=1;i<=19;i++)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1]; 56 updata(rt[f],rt[u],0,N,num[u]); 57 for(int tmp=head[u];tmp!=-1;tmp=a[tmp].next){ 58 int v=a[tmp].v; 59 if(v!=f)dfs(v,u); 60 } 61 } 62 void merge(int u,int v){ 63 int u1=ff(u),v1=ff(v); 64 f[u1]=v1; 65 sum[v1]+=sum[u1]; 66 } 67 int main(){ 68 memset(head,-1,sizeof(head)); 69 memset(used,0,sizeof(used)); 70 memset(rt,0,sizeof(rt)); 71 scanf("%d",&DYZ_HAS_CHANCE); 72 scanf("%d%d%d",&n,&m,&t); 73 for(int i=1;i<=n;i++){ 74 scanf("%d",&num[i]); 75 f[i]=i; 76 sum[i]=1; 77 } 78 for(int i=1;i<=m;i++){ 79 scanf("%d%d",&u,&v); 80 add(u,v); 81 add(v,u); 82 merge(u,v); 83 } 84 for(int i=1;i<=n;i++){ 85 if(!used[i])dfs(i,0); 86 } 87 for(int i=1;i<=t;i++){ 88 scanf("%s",s); 89 if(s[0]=='Q'){ 90 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); 91 u^=ans; 92 v^=ans; 93 w^=ans; 94 int now=lca(u,v); 95 printf("%d\n",ans=query(rt[u],rt[v],rt[now],rt[fa[now][0]],0,N,w)); 96 }else{ 97 scanf("%d%d",&u,&v); 98 u^=ans; 99 v^=ans; 100 int u1=ff(u),v1=ff(v); 101 if(sum[u1]>sum[v1])swap(u,v); 102 add(u,v); 103 add(v,u); 104 merge(u,v); 105 dfs(u,v); 106 } 107 } 108 return 0; 109 }
【BZOJ3545】【ONTAK2010】Peaks
离线，按照困难度从小到大加边，用线段树维护每个联通块，每次合并联通块即可
1 #include<algorithm>
2 #include<iostream>
3 #include<cstring>
4 #include<cstdio>
5 #include<cmath>
6 using namespace std; 7 struct task{ 8 int a,b,c,id,ok; 9 }a[1000001]; 10 struct treenode{ 11 int v,ls,rs; 12 }t[5000001]; 13 int n,m,q,tot=0,num[100001],_num[100001],fa[100001],rts[100001],ans[500001]; 14 bool cmp(task a,task b){ 15 return a.c==b.c?a.ok<b.ok:a.c<b.c; 16 } 17 int ff(int u){ 18 return u==fa[u]?u:fa[u]=ff(fa[u]); 19 } 20 void updata(int &u,int l,int r,int v){ 21 if(!u)u=++tot; 22 t[u].v=1; 23 if(l==r)return; 24 int mid=(l+r)/2; 25 if(v<=mid)updata(t[u].ls,l,mid,v); 26 else updata(t[u].rs,mid+1,r,v); 27 } 28 int query(int u,int l,int r,int p){ 29 if(l==r)return l; 30 int mid=(l+r)/2; 31 if(p<=t[t[u].ls].v)return query(t[u].ls,l,mid,p); 32 else return query(t[u].rs,mid+1,r,p-t[t[u].ls].v); 33 } 34 int merge(int u,int v){ 35 if(!u||!v)return u|v; 36 if(!t[u].ls&&!t[u].rs){ 37 t[u].v+=t[v].v; 38 return u; 39 } 40 t[u].ls=merge(t[u].ls,t[v].ls); 41 t[u].rs=merge(t[u].rs,t[v].rs); 42 t[u].v=t[t[u].ls].v+t[t[u].rs].v; 43 return u; 44 } 45 int main(){ 46 scanf("%d%d%d",&n,&m,&q); 47 for(int i=1;i<=n;i++){ 48 scanf("%d",&num[i]); 49 _num[i]=num[i]; 50 fa[i]=i; 51 } 52 sort(_num+1,_num+n+1); 53 for(int i=1;i<=n;i++){ 54 num[i]=lower_bound(_num+1,_num+n+1,num[i])-_num; 55 } 56 for(int i=1;i<=m;i++){ 57 scanf("%d%d%d",&a[i].a,&a[i].b,&a[i].c); 58 a[i].ok=0; 59 } 60 for(int i=m+1;i<=m+q;i++){ 61 scanf("%d%d%d",&a[i].a,&a[i].c,&a[i].b); 62 a[i].ok=1; 63 a[i].id=i-m; 64 } 65 sort(a+1,a+m+q+1,cmp); 66 for(int i=1;i<=n;i++)updata(rts[i],1,n,num[i]); 67 for(int i=1;i<=m+q;i++){ 68 if(a[i].ok==0){ 69 int u=ff(a[i].a),v=ff(a[i].b); 70 if(u!=v){ 71 fa[u]=v; 72 rts[v]=merge(rts[u],rts[v]); 73 } 74 }else{ 75 int u=ff(a[i].a); 76 if(t[rts[u]].v<a[i].b)ans[a[i].id]=-1; 77 else ans[a[i].id]=_num[query(rts[u],1,n,t[rts[u]].v-a[i].b+1)]; 78 } 79 } 80 for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",ans[i]); 81 return 0; 82 }
【BZOJ2212】【POI2011】Tree Rotation
直接从下往上线段树合并即可
1 #include<algorithm>
2 #include<iostream>
3 #include<cstring>
4 #include<cstdio>
5 #include<cmath>
6 using namespace std; 7 typedef long long ll; 8 struct treenode{ 9 ll v; 10 int ls,rs; 11 }t[6000001]; 12 int n,tot=0,cnt=1,num[2000001],ls[2000001],rs[2000001],rts[2000001]; 13 ll ans=0,ans1,ans2; 14 void read(int u){ 15 scanf("%d",&num[u]); 16 if(!num[u]){ 17 read(ls[u]=++cnt); 18 read(rs[u]=++cnt); 19 } 20 } 21 void updata(int &u,int l,int r,int v){ 22 if(!u)u=++tot; 23 if(l==r){ 24 t[u].v=1; 25 return; 26 } 27 int mid=(l+r)/2; 28 if(v<=mid)updata(t[u].ls,l,mid,v); 29 else updata(t[u].rs,mid+1,r,v); 30 t[u].v=t[t[u].ls].v+t[t[u].rs].v; 31 } 32 int merge(int u,int v){ 33 if(!u||!v)return u|v; 34 ans1+=(ll)t[t[u].rs].v*t[t[v].ls].v; 35 ans2+=(ll)t[t[u].ls].v*t[t[v].rs].v; 36 t[u].ls=merge(t[u].ls,t[v].ls); 37 t[u].rs=merge(t[u].rs,t[v].rs); 38 t[u].v=t[t[u].ls].v+t[t[u].rs].v; 39 return u; 40 } 41 void dfs(int u){ 42 if(!u)return; 43 dfs(ls[u]); 44 dfs(rs[u]); 45 if(!num[u]){ 46 ans1=ans2=0; 47 rts[u]=merge(rts[ls[u]],rts[rs[u]]); 48 ans+=min(ans1,ans2); 49 } 50 } 51 int main(){ 52 scanf("%d",&n); 53 read(1); 54 for(int i=1;i<=cnt;i++){ 55 if(num[i])updata(rts[i],1,n,num[i]); 56 } 57 dfs(1); 58 printf("%lld",ans); 59 return 0; 60 }
现在搞专题沉迷摸鱼，一天平均只有两道题，颓废力max