流密码应用

1 例 2-3

已知线性反馈移位寄存器的初始状态为 \(\{1,0,0,1,1\}\)，转移函数为 \(f(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=a_1\oplus a_4\)，求输出状态和周期。

1.1 图标法

画表：

\(a_1\)	\(a_2\)	\(a_3\)	\(a_4\)	\(a_5\)	\(f\)
1	0	0	1	1	0
0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	1	0
1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0
1	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	1
0	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1
0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	0	1
1	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	1
1	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1
1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	0
1	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	0
1	1	0	0	0	1
1	0	0	0	1	1
0	0	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	0
1	1	1	1	0	0
1	1	1	0	0	1
1	1	0	0	1	1

周期为 31，输出序列为 1001101001000010101110110001111。

1.2 程序法

#include<bits/stdc++.h>
#define n 5
using namespace std;
int main()
{
	bitset<n>bint(19);
	bitset<n>str(bint);
	string s1;
	cout << "初始状态为："<<bint.to_string() << endl;
	int co=0;
	do
	{
		s1 += bint[4]+'0';
		int j = bint[4] ^ bint[1];
		bint.operator<<=(1);
		bint[0] = j;
		co++;
	} 
	while (str.to_string() != bint.to_string());
	cout<<"输出序列为："<<s1<<endl;
	cout<<"周期为："<<co<<endl;
	return 0;
}

运行结果：

1.3 特征多项式法

其特征多项式为 \(p(x)=x^4+x+1\)，其输出序列的递推关系为 \(a_k=a_{k-2}\oplus a_{k-5}，k>=5\)
则可以轻松得到输出序列 1001101001000010101110110001111。
相比之下这种方法比较简单。

2 习题 2.1

3级线性反馈寄存器在\(c_3=1\)时可有 4 种线性反馈函数，设其初始状态 \(\{a_1,a_2,a_3\}=(1,0,1)\)，求各线性反馈寄存器的输出序列及周期。
解：其特征多项式可能为 \(p(x)=x+1\)、\(p(x)=x^3+x+1\)、\(p(x)=x^2+x+1\)、\(p(x)=x^3+x^2+x+1\)，依次讨论：

\[当\ p(x)=x+1时\ a_k=a_{k-3} \\ 输出序列:101101 \dots \ p=3 \\ 当\ p(x)=x^3+x+1时\ a_k=a_{k-1}\oplus a_{k-3} \\ 输出序列:10100111010011\dots \ p=7 \\ 当\ p(x)=x^2+x+1时\ a_k=a_{k-2}\oplus a_{k-3} \\ 输出序列:10111001011100\dots \ p=7 \\ 当\ p(x)=x^3+x^2+x+1时\ a_k=a_{k-1}\oplus a_{k-2}\oplus a_{k-3} \\ 输出序列:1010\dots \ p=2 \]

3 习题 2.3

设 \(n=4，f(a_1,a_2,a_3,a_4)=a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus a_4\)，初始状态为 \((a_1,a_2,a_3,a_4)=(1,1,0,1)\)，求此非线性反馈移位寄存器的输出序列及周期。
解：

\(a_1\)	\(a_2\)	\(a_3\)	\(a_4\)	\(f\)
1	1	0	1	1
1	0	1	1	1
0	1	1	1	0
1	1	1	0	1
1	1	0	1	1

输出序列为 11011101……，周期为 4。

4 习题 2.4

设密钥流是由 \(m=2s\) 级 LFSR 产生，其前 \(m+2\) 个比特是 \((01)^{s+1}\)，即 \(s+1\) 个 \(01\)。问第 \(m+3\) 个比特有无可能是 \(1\)，为什么？
解：
由题知该 LFSR 状态转移图为

\(f_1\)	\(0\)	\(1\)
\(s_0\)	1	-
\(s_1\)	-	0

\(f_2\)	\(0\)	\(1\)
\(s_0\)	\(s_1\)	-
\(s_1\)	-	\(s_0\)

输出序列的周期为 2，输出序列为 01 的循环，且第 \(m+2\) 个比特为 1 ，由状态转移方程得第 \(m+3\) 个比特为 0，不可能为 1。

5 习题 2.5

设密钥流是由 n 级 LFSR 产生，其周期为 \(2^n-1\)，\(i\) 是任一正整数，在密钥流中考虑一下比特对：
\((S_{i},S_{i+1}),(S_{i+1},S_{i+2}),\cdots ,(S_{i+2^n-3},S_{i+2^n-2}),(S_{i+2^n-2},S_{i+2^n-1})\)
问有多少形如 \((S_{i},S_{i+1})=(1,1)\) 的比特对？证明你的结论。

解：
共 \(((i+2^n-2)-(i))/2=(2^{n-1}-1)\) 对比特对，包含的比特位总数 \(=2^n-1\) ，为 1 周期
假设前 \(2^{n-2}-1\) 对比特对均为形如 \((S_{i},S_{i+1})=(0,0)\) 的比特对，由定理 2-7 可得，\({1}\) 出现的次数为 $ 2^n-1\ -\ {0出现的次数} = 2^{n-1}$，即剩下的比特对均为形如
\((S_{i},S_{i+1})=(1,1)\) 的比特对，即答案为 \(2^{n-2}\)。
下面证明一般性：
由定理 2-7-(2) 可得，长为 \(i\) 的游程有 \(2^{n-i-1}/2\) 个，且 \(0、1\) 各半，长为 \(n\) 的 \(1\) 游程一个而长为 \(i\) 的 \(1\) 游程，可组成 \(i-1\) 个形如 \((S_{i},S_{i+1})=(1,1)\) 的比特对。
\(N=\sum_{i=2}^{n-2}2^{n-i-1}/2*(i-1)+n=2^{n-2}\)

6 习题 2.6

已知流密码的密文串 \(1010110110\) 和明文串 \(0100010001\) ，而且已知密钥流是使用三级线性反馈移位寄存器产生的，试破译该密码系统。

解：参考例 2-6 ，将密文串与明文串异或运算得到密钥流 \(1110100111\) ，取密文串与明文串前六个字符建立如下方程

\[(a_4a_5a_6)=(c_3c_2c_1)* \begin{bmatrix} {a_1} & {a_2} & {a_3}\\ {a_3} & {a_4} & {a_5}\\ {a_4} & {a_5} & {a_6} \end{bmatrix} \\ (010)=(c_3c_2c_1)* \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ 从而得到\\ (c_3c_2c_1)=(111) \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}=(101)\\ 即a_k=a_{k-1}\oplus a_{k-3} \]

7 习题 2.7

若 GF(2) 上的二元加法流密码的密钥生成器是 n 级线性反馈移位寄存器，产生的密钥是 m 序列。2.5 节已知，敌手若是知道一段长为 \(2n\) 的明密文对就可破译密钥流产生器。如果敌手仅仅知道长为 \(2n-2\) 的明密文对，问如何破译密钥流生成器。

解：敌手对于未知的 \(2n-1，2n\) 穷举可能的情况为 \(\{00,01,10,11\}\) ，对 4 种情况逐一尝试，即可破译。

8 习题 2.8

设 JK 触发器中 \(\{a_k\}\) 和 \(\{b_k\}\) 分别为 3 级和 4 级 m 序列密，且

\[\{a_k\}=11101001110100\cdots\\ \{b_k\}=001011011011000001011011011000\cdots\\ \]

求输出序列 \(\{c_k\}\) 及周期。

解
\(gcd(3,4)=1，周期 p=(2^3-1)*(2^4-1)=7*15=105\)
由JK触发器的表达式

\[c_k = \begin{cases} {a_k} &\text{if } {c_{k-1}=0} \\ {not\ b_k} &\text{if } {c_{k-1}=1} \end{cases} \]

令 \(c_{-1}=0\) 输出序列为:{110010010101111110100101100011110001100100111110010101101111110101100010111110100100101111110101101100111}
C++ 实现 JK 触发器:

#include<bits/stdc++.h>
#define N 105 
using namespace std;
int main(){
	string a="1110100";
	string b="001011011011000"; 
	while(a.size()<=N)a+=a;
	while(b.size()<=N)b+=b;
	int tmp=a[0]-'0';
	cout<<tmp;
	for(int i=1;i<N;++i,tmp=tmp==0?a[i]-'0':b[i]=='0'?1:0)cout<<tmp;
	return 0;
}

p.s. JK触发器好像在数电里学过……(望天)

9 习题 2.9

设基本钟控序列产生器钟 \(\{a_k\}\) 和 \(\{b_k\}\) 分别为 2 级和 3 级 \(m\) 序列，且
\(\{a_k\}=10101\cdots\)
\(\{b_k\}=10011011001101\cdots\)
求输出序列 \(\{c_k\}\) 及周期。

解:
序列 \(\{a_k\}\) 的周期为 3，序列 \(\{b_k\}\) 的周期为 7，则序列 \(\{c_k\}\) 的周期为 \(3*7=21\)

\[j=0\\ c_k = \begin{cases} {c_{k-1}} &\text{if } {a_{k}=0} \\ {b_{++j}} &\text{if } {a_{k}=1} \end{cases} \]

输出序列为：100011100111000111011
C++实现：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 21
using namespace std;
int main(){
	string a="101";
	string b="1001101"; 
	while(a.size()<=N+1)a+=a;
	while(b.size()<=N+1)b+=b;
	int j=0;
	int tmp=b[j]-'0';
	for(int i=0;i<N;++i){
		cout<<tmp;
		if(a[i]=='1')tmp=b[++j]-'0';
	}
	return 0;
}

10 习题 2.2

设 n 级线性反馈移位寄存器的特征多项式为 \(p(x)\)，初始状态为 \((a_1,a_2,\cdots ,a_n)=(00\cdots 01)\)，证明输出序列的周期等于 \(p(x)\) 的阶

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