快速幂原理解析与其他方法回顾
目录：
一.回顾朴素法与使用库函数，分析利弊。
二.引例：指数的分解，即快速幂的原理。
三.源代码。
正文：
一.回顾
1.1.已知的方法
关于求a的n次方，有几种做法呐？对于初学者来说有两种。如下所示
1 void poww1(int a, int b){ 2 long long ans = 1; 3 for(register int i = 0; i < b; i++) 4 ans *= a; 5 return ans; 6 }
1 #include <cmath>//poww2
2 ans = (long long) pow(a, b);//调用cmath库的pow函数，但是注意返回值不是longlong/int型，是double型
观察poww1，一个明显的问题便是它的时间复杂度比较高，是O(n)的复杂度，即n次方需要乘n次才可得到结果，较慢。
观察poww2，更加明显的问题在于其函数的返回值是个浮点数，这是一个定时炸弹，有可能使用pow(10, 4)时得到9999的答案，让你调试后欲哭无泪。
1.2. 测试对比
测试程序如下：
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <cmath>
4 using namespace std; 5 int main(){ 6 int n = 0; 7 for(int i = 0; i <= 4; i++) 8 n += (i+1)*(int)pow(10, 5-i); 9 cout << n << endl; 10 return 0; 11 }
使用Dev-C++ 5.4.0 与Smart c++ 2013分别运行，得到测试数据：
由于精度问题，结果不同。
有人会说："不要强转成int啊，用long long 就不会丢失精度啦。"
那么将循环改成——
1 for(int i = 0; i <= 4; i++) 2 n += kong[i]*(long long)pow(10, 5-i);
测试结果如下：
根本就没有变哎！
1.3.对比两种方法运行的时间与准确性
利用循环次数更大的测试程序如下：
1 int i; 2 long long n = 0; 3 for(i = 0; i <= 10; i++){ 4 n += (i+3)*(long long)pow(5, 11-i); 5 } 6 cout << n << endl;
1 long long poww(int a, int b){ 2 long long ans = 1; 3 for(int i = 0; i < b; i++) 4 ans *= a; 5 return ans; 6 } 7 int main(){ 8 int i; 9 long long n = 0; 10 for(i = 0; i <= 10; i++){ 11 n += (i+3)*(long long)pow(5, 11-i); 12 } 13 cout << n << endl; 14 return 0; 15 }
运行结果如下：
（上下分别是方法二与方法一）
1.4. 结论
两者优劣一目了然：方法一相对较快且保证在不超范围内一定正确，不过要多打几行代码；方法二短，但是坑。
若选择以上两种方法，自己选吧。。。
那么我们的目标便是继承方法一的优点，改良其缺点：即保持准确性的情况下降低时间复杂度。
二.快速幂引理
2.1.先看效果：
答案一致，时间不到方法一的1/2，并且在当次方数极大的时候，时间会远小于方法一,原因便是因为其时间复杂度为O(logn)（logn通常指log2n）。
2.2引理的数学形式（其实是伪证）
引理：∀ 取X∈N*皆可被分解为形如X = 2^a+2^b+...+2^k(a != b != …… != k);
设2^0+2^1+2^2+…+2^n = m;……(1)式
2^1+2^2+2^3+…+2^(n+1) = 2*m;……(2)式
(2)式-(1) 式= (1)式 = 2^(n+1)-2^0 = 2^(n+1)-1……(*)
当X != 2^m时
∵int X > 0;
∴ X = 2^m - 1 - k(int k >= 0);
if(x%2 == 1) k %2 == 0;
else k%2 == 1;
∵2^m - 1 = 2^0 + 2^1 + … +2^(m-1);
∴若原式成立，则k可分解为2某些次方的和。
当k%2 == 1时，必有2^0,减掉，k为偶数;
那么现在X 就缩小为了正偶数。
观察2 4 8 16 ……我们会发现一点，即第i个数后面的数都2^i有作为因数，而它前面的数因数中则没有2^i，通过这个便可以确定k的分解。
利用递归的思想……X缩小为4的倍数，8的倍数……
2.3例子：
举个例子 : k = 17的分解，按照以下步骤。
int cnt = 1;
while (k){
if(k%(2^cnt) != 0) {
k得到新的分解 : 2^(cnt-1);
k -= 2^(cnt-1);
//此时k%2(cnt) == 0
cnt ++;
}
}
17%2 = 1; => 17 = 2^0 + m; 17-1 = 16;
16%2 = 0; => 16/2 = 8
……
1%2 = 1; =>17 = 2^0 +2^4;
1/2 = 0 终止循环；
那么这种东东对做幂运算有什么用呢？
答案便是 —— 将指数按照此方法分解。
例如：求6^11
我们已知 6^0 = 1 ,a = 6^1 = 6;
11 = 2^0 + 2^1 + 2^3;
所以 6^11 = 6^1 * 6^2 * 6^8;
我们还知道 a^2 = 36;
那么我们将上述分解指数的步骤加入乘法以获得最终解：
curr = 6;ans = 1;
11 % 2 = 1 => ans *= 6^0;curr = 6^2
5 %2 = 1 => ans *= 6^2;curr = 6^4;
2%2 = 0 =>curr = 6^8;
1%2 = 0 ans *=c urr; ans = 6^11;
一共用了ceil(log(2)11) = 4 步
每次curr平方一次，以准备下一次的使用。而当k%2 == 1 时，就意味着需要使用curr将指数进行分解。
2.4.源代码
那么给出源代码:
1 void poww(int a, int b){ 2 long long curr = a,ans = 1, last; 3 while (b){ 4 if(b%2) ans *= curr; 5 curr *= curr; 6 b /= 2;} 8 return ; 9 }
步骤与上面一模一样。
由此，快速幂便完成了。
箜瑟_qi 2016.02.08