汉明码实现原理
汉明码（Hamming Code）是广泛用于内存和磁盘纠错的编码。汉明码不仅可以用来检测转移数据时发生的错误，还可以用来修正错误。（要注意的是，汉明码只能发现和修正一位错误，对于两位或者两位以上的错误无法正确和发现）。
汉明码的实现原则是在原来的数据的插入k位数据作为校验位，把原来的N为数据变为m（m = n +k）位编码。其中编码时要满足以下原则：
2^k - 1 >= m 其中(m = n + k)
这就是Hamming不等式，汉明码规定，我们所得到的m位编码的2^k ( k>=0 && 2^k < m)位上插入特殊的校验码，其余位把源码按顺序放置。
汉明码的编码规则如下：
- 在新的编码的2^(k - 1)( k >= 0)位上填入0（即校验位）
- 把新的编码的其余位把源码按原顺序填入
- 校验位的编码方式为：第k位校验码从则从新的编码的第2^(k - 1)位开始，每计算2^(k - 1)位的异或，跳2^(k - 1)位，再计算下一组2^(k - 1)位的异或，填入2^(k - 1)位，比如：
第1位校验码位于新的编码的第1位(2 ^(1-1) == 1)（汉明码从1位开始），计算1,3,5,7,9,11,13,15,...位的异或，填入新的编码的第1位。
第2位校验码位于新的编码的第2位(2 ^(2-1) == 2)，计算2,3,6,7,10,11,14,15,...位的异或，填入新的编码的第2位。
第3位校验码位于新的编码的第4位(2 ^(3-1) == 4)，计算4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,...位的异或，填入新的编码的第4位。
第4位校验码位于新的编码的第8位(2 ^(4-1) == 8)，计算8-15,24-31,40-47,...位的异或，填入新的编码的第8位。
第5位校验码位于新的编码的第16位(2 ^(5-1) == 16)，计算16-31,48-63,80-95,...位的异或，填入新的编码的第16位。
汉明码编码实例
以10101编码为例，创建一个汉明码编码的空间，并且把源码填入编码的对应位中中，_ _ 1 _ 0 10 _ 1，并留出校验码位（校验位先设为0）。（因为2^4 - 1>= 5+4 && 2^3 - 1 < 5+ 3所以需要4位校验码）
- 计算校验码的第1位（1,3,5,7,9进行异或）: 结果为0，所以汉明码第2^0位为0，结果为0 _ 1 _ 0 10 _ 1
- 计算校验码的第2位（2,3,6,7进行异或）: 结果为0，所以汉明码第2^1位为0，结果为001 _ 0 10 _ 1
- 计算校验码的第3位（4,5,6,7进行异或）: 结果为1，所以汉明码第2^2位为0，结果为0011 0 10 _ 1
- 计算校验码的第4位（8, 9进行异或）: 结果为0，所以汉明码第2^3位为1，结果为0011 0101 1
- 所以最终编码为001101011.
汉明码校验错误实例
我们以上面的编码为例，假设我们现在收到的编码为001101001，我们可以发现汉明码的第8位与原来的汉明码001101011不同，那我们怎么找出这个第8位的错误编码呢？
算法很简单，我们只要在算汉明码校验位的算法的上再算一遍，就得到了汉明码的校验方法，比如计算001101001对应的2^k位。
1,3,5,7,9进行异或，得到0
2,3,6,7进行异或，得到0
4,5,6,7进行异或，得到0
8,9进行异或，得到1
我们把上述结果反着排列，得到1000，即十进制的8，根据汉明码的校验规则，编码出错的地方即在第8位，我们把第8位的0换成1，即可得原来的编码001101011。
上述的例子是出现在2^k的校验位上的，如果出现在非2^k位上，得到的结果也是一样的，比如：
假设收到的编码为001100011，即第6位出了错误，我们根据规则
1,3,5,7,9进行异或，得到0
2,3,6,7进行异或，得到1
4,5,6,7进行异或，得到1
8,9进行异或，得到0
我们把上述结果反着排列，得到0110，即十进制的6，根据汉明码的校验规则，编码出错的地方即在第6位，我们把第6位的0换成1，即可得原来的编码001101011。
汉明码的编码和校验的C++实现
通过原理，我们可以很简单地实现汉明码的编码和校验代码
编码：
auto cal(size_t sz)->decltype(auto) { decltype(sz) k = 0; decltype(sz) cur = 1; while (cur - 1 < sz + k ) { cur <<= 1; k++; } return k; }
bool encode(const string &s, string &d) { d.clear(); auto k = cal(s.size()); d.resize(s.size() + k); for (decltype(d.size()) i = 0, j = 0, p = 0; i!= d.size();i++) { if ((i + 1) == pow(2,p) && p < k) { d[i] = '0'; p++; } else if (s[j] == '0' || s[j] == '1') d[i] = s[j++]; else
return false; } for (auto i = 0; i != k;i++) { int count = 0 ,index = 1 << i; for (auto j = index - 1; j < d.size() ;j += index) for (auto k = 0; k!= index && j < d.size(); k++, j++) count ^= d[j] - '0'; d[index - 1] = '0' + count; } return true; }
解码与校验：
auto antiCal(size_t sz)->decltype(auto) { decltype(sz) k = 0; decltype(sz) cur = 1; while (cur < sz) { cur <<= 1; k++; } return k; } auto decode(string &s, string &d)->decltype(auto) { s.clear(); auto k = antiCal(d.size()); s.resize(d.size() - k); decltype(d.size()) sum = 0; for (decltype(k) p = 0;p != k;p++) { int pAnti = 0; decltype(k) index = 1 << p; for (decltype(d.size()) i = index - 1;i < d.size(); i+=index) { for (auto j = 0; j < index && i < d.size(); i++, j++) pAnti ^= d[i] - '0'; } sum += pAnti << p; } if (sum != 0) d[sum - 1] = (1- (int)(d[sum - 1] - '0')) + '0'; for (decltype(d.size()) i = 0, p = 0,j = 0; i != d.size(); i++) { if ((i + 1) == (1 << p) && p < k) p++; else s[j++] = d[i]; } return sum; }
测试样例：
int main() { string source, dest; while (cin >> source) { if (encode(source,dest)) { cout << "Source: " <<source << endl; cout << "Dest: " << dest << endl; } size_t index; cout << "----input error index : "; cin >> index; auto k = dest.size(); if (index != 0 && index <= dest.size()) dest[index - 1] = (1 - (int)(dest[index - 1] - '0')) + '0'; cout << "Code " << dest <<endl; auto ret = decode(source,dest); if (ret == 0) { cout << "Source: " <<source << endl; cout << "Dest: " <<dest << endl; } else { cout << "Error index "<< ret << endl; cout << "Corret source: " <<source << endl; cout << "Corret dest: " <<dest << endl; } cout << endl; } return 0; } 10101 Source: 10101 Dest: 001101011
----input error index : 8 Code 001101001 Error index 8 Corret source: 10101 Corret dest: 001101011
1001010101010101010111111001101 Source: 1001010101010101010111111001101 Dest: 1111001101010100101010101111110101101
----input error index : 20 Code 1111001101010100101110101111110101101 Error index 20 Corret source: 1001010101010101010111111001101 Corret dest: 1111001101010100101010101111110101101
1 Source: 1 Dest: 111
----input error index : 0 Code 111 Source: 1 Dest: 111