双线性插值(Bilinear Interpolation)

最近用到插值算法，使用三次样条插值时仿真速度太慢，于是采用算法简单的线性插值。本篇主要介绍一下双线性插值的实现方法。

1. 线性插值

已知坐标 (x₀, y₀) 与 (x₁, y₁)，要得到 [x₀, x₁] 区间内某一位置 x 在直线上的值。

由于 x 值已知，所以可以从公式得到 y 的值

已知 y 求 x 的过程与以上过程相同，只是 x 与 y 要进行交换。

 

2. 双线性插值(Bilinear Interpolation)

在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

图中：红色的数据点与待插值得到的绿色点

假如我们想得到未知函数 f 在点 P = (x, y) 的值，假设我们已知函数 f 在 Q₁₁ = (x₁, y₁)、Q₁₂ = (x₁, y₂), Q₂₁ = (x₂, y₁) 以及 Q₂₂ = (x₂, y₂) 四个点的值。

首先在 x 方向进行线性插值，得到

然后在 y 方向进行线性插值，得到

这样就得到所要的结果 f(x, y)，

双线性插值在三维空间的延伸是三线性插值。

 

以下转自：http://blog.chinaunix.net/uid-26727959-id-3118207.html

双线性插值作为OpenCV中默认使用的图像缩放算法，其效果和速度都是不错的。并且效果也比较稳定，计算复杂度并不算太高。我看了很多网上的算法，自己也没看太懂，下面是从网上找的双线性插值 算法的讲解。
“图像的双线性插值放大算法中，目标图像中新创造的象素值，是由源图像位置在它附近的2*2区域4个邻近象素的值通过加权平均计算得出的。双线性内插值算法放大后的图像质量较高，不会出现像素值不连续的的情况。然而次算法具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。”

双线性插值 算法和最近邻插值算法比较类似。在最近邻插值算法中，目标图像中的某个点(x,y)是去源图像中找最邻近的一个点(x0, y0)即可。目标图像中的点(x, y)对应于源图像中的点(x0',y0')，x0'、y0'很可能不是整数，而是小数，而最近邻插值算法是找其邻近整型值(int(x0'+0.5f),int(y0'+0.5f))（上篇文章中没有进行四舍五入）。我们现在找x0', y0'所在位置旁边的四个点，根据这四个点与(x0',y0')距离的关系计算目标图像中(x,y)一点的像素值。算法描述如下：

 

 

(1)计算源图像与目标图像宽与高的比例
w0 : 表示源图像的宽度
h0 : 表示源图像的高度
w1 : 表示目标图像的宽度
h1 : 表示目标图像的高度
float fw = float(w0-1)/(w1-1);
float fh = float(h0-1)/(h1-1);
(2)针对目标图像的一个点(x, y),计算在源图像中的对应坐标，结果为浮点数。
float x0 = x * fw;
float y0 = y * fh;

int x1 = int(x0);
int x2 = x1 + 1;
int y1 = int(y0);
int y2 = y1+1;

所求的源图像中的四个点坐标为(x1, y1) (x1, y2) (x2, y1) (x2,y2)
(3)求周围四个点所占的权重比值
如上图，
fx1 = x0 - x1;
fx2 = 1.0f - fx1;
fy1 = y0 - y1; 
fy2 = 1.0f - fy1;

float s1 = fx1*fy1;
float s2 = fx2*fy1;
float s3 = fx2*fy2;
float s4 = fx1*fy2;

我们以value(坐标)来代表取得此点的坐标值，则:
value(x0,y0) = value(x2,y2)*s1+value(x1,y2)*s2+value(x1,y1)*s3+value(x2,y1)*s4;

如果 对上述运算不够明白 的话，可以这样来求。
我们先要求得(x0, y1) 和(x0,y2)的像素值。
则float value(x0,y1) = value(x1,y1)*fx2 + value(x2,y1)*fx1;
float value(x0,y2) = value(x1,y2)*fx2 + value(x2,y2)*fx1;
注释：离某点越近，离权重越大，故取其与1的差值。
float value(x0,y0) = value(x0,y1)*fy2 + value(x0,y2)*fy1;
验证后与上边公式一样。