前言
在各種游戲中，常常有抽卡這一環節，一般游戲會給出每個物品的掉落概率
但一般稀有物品概率極少，所以需要評估現有的貨幣是否有足夠大的概率抽到卡
概率
設掉落概率為a,次數為x，設f(x)表示x次內抽到的概率（我們一般關注這個值）
考慮反向思維，用1-（x次都抽不中的概率）計算f(x)
抽不中的概率為\(1-a\)
x次就是\((1-a)^x\)
則
\(f(x)=1-(1-a)^x\)
若a取0.02
畫出來大概是（為了可視化將f(x)乘了100）
可以看出開始快速增長，然后逐漸放緩、
期望
除了概率之外，我們還會關注一般要多少次才能抽中，
第i天期望為\(g(i)=a(1-a)^i\)
則總期望為
\(\sum_{i=1}^{\infty} i*a(1-a)^i\)
如果去掉系數i,則就是一個(1-a)為公比的等比數列，考慮變成下面的式子
\(\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=i}^{\infty} a(1-a)^j\)
套用求和公式
\(\sum_{i=1}^{\infty} a*(1-a)^i \ * \ \frac{1-(1-a)^{\infty}}{a}\)
消掉a
\(\sum_{i=1}^{\infty} (1-a)^i \ * \ (1-(1-a)^{\infty})\)
\((1-a)^{\infty}\)趨向於0（因為\(0<1-a<1\)）
所以右邊的乘數趨向於1
原式等於
\(\sum_{i=1}^{\infty} (1-a)^i\)
這又是一個等比數列，（1-a）為公比
則原式等於\(\frac{1-(1-a)^{\infty}}{a}\)
即\(\frac{1}{a}\)
就是一個反比例函數
畫出來像這樣，（為了可視化放大了1000倍，即x坐標為x的對應概率為x/1000）
總結
有了這兩個工具后，在抽卡時就能更理智地分析是否應該投入貨幣去抽，希望對大家有所幫助
update:
其實后面那個結論就是個傻逼結論，
就當是推公式玩吧
列位看官請勿見笑