背景
隨着計算機性能的提升，市面上的加密技術越來越不安全，1024位的RSA私鑰加密已經可以破解，目前有效的手段只是將1024位換成2048位，但隨着技術的進步，RSA算法的破解難度會越來越低，因此需要用更安全的加密算法來代替。隨着加密難度的提高，RSA算法的密鑰長度呈現指數式的增長，然而ECC算法取可以做到使用更短的密鑰獲得同等級別的安全性。
ECC是什么
ECC是Elliptic Curve Cryptography（橢圓曲線密碼學）的縮寫，是一種基於橢圓曲線數學的公開密鑰加密算法，其本質是利用離散對數問題實現加密。
ECC的主要優勢，是在使用更小的密鑰的同時，提供更快的性能和更高等級的安全。
橢圓曲線又是什么
一條橢圓曲線就是一組被 y2 = x3 + ax + b 定義的且滿足 4a3 + 27b2 ≠ 0 的點集。
4a3 + 27b2 ≠ 0 這個限定條件是為了保證曲線不包含奇點（在數學中是指曲線上任意一點都存在切線）。
阿貝爾群
阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一，是一種代數結構，由一個集合以及一個二元運算所組成。
如果一個集合或者運算是群的話，就必須滿足以下條件（+ 表示二元運算）：
1、封閉性（closure），如果a和b被包含於群，那么a+b也一定是群的元素；
2、結合律(associativity)；
3、存在一個單位元（identity element）0，0與任意元素運算不改變其值的元素，即 a+0 = 0+a = a；
4、每個元素都存在一個逆元(inverse)；
5、交換律(commutativity)，即 a+b = b+a；
橢圓曲線中的阿貝爾群
在橢圓曲線上定義一個群：
1、群中的元素就是橢圓曲線上的點；
2、單位元就是無窮處的點0；
3、相反數P，是關於X軸對稱的另一邊的點；
4、二元運算規則定義如下：取一條直線上的三點（這條直線和橢圓曲線相交的三點），P, Q, R（皆非零），他們的總和等於0，P+Q+R=0。
如果P, Q, R在一條直線上的話，他們滿足:
P+(Q+R)=Q+(P+R)=R+(P+Q)=⋯=0。
當P，Q點為同一點時,P=Q，滿足：
這樣，我們可以直觀的證明：+運算符是符合交換律和結合律的，這是一個阿貝爾群。
因為阿貝爾群滿足交換律和結合律，所以點P和點-R的二元運算結果必會在曲線上，即P+P+P的結果必會在曲線上的另一點Q，
以此類推，可以得出得出：
Q=kP(k個相同的點P進行二元運算（數乘）,記做kP)
離散對數問題
描述一條Fp上的橢圓曲線，常用到六個參量：T=(p,a,b,n,x,y)。（p 、a 、b） 用來確定一條橢圓曲線，p為素數域內點的個數，a和b是其內的兩個大數；
x,y為G基點的坐標，也是兩個大數；
n為點G基點的階；
以上六個量就可以描述一條橢圓曲線，有時候我們還會用到h(橢圓曲線上所有點的個數p與n相除的整數部分)。
這幾個參量取值的選擇，直接影響了加密的安全性。參量值一般要求滿足以下幾個條件：
1、p 當然越大越安全，但越大，計算速度會變慢，200位左右可以滿足一般安全要求；
2、p≠n×h；
3、pt≠1 (mod n)，1≤t<20；
4、4a3+27b2≠0 (mod p)；
5、n 為素數；
6、h≤4。
加解密過程
1、選定一條橢圓曲線 Ep(a,b) 並取橢圓曲線上一點，作為基點P。
2、選擇一個大數k作為私鑰，並生成公鑰 Q=kP。
3、將 Ep(a,b) 和點Q、P傳給用戶。
4、用戶接到信息后 ，將待傳輸的明文編碼到Ep(a,b)上的一點M，並產生一個隨機整數r。
5、公鑰加密（密文C是一個點對）：
C={rP, M+rQ}
6、私鑰解密（M + rQ - k(rP) ，解密結果就是點M），公式如下：
M + rQ - k(rP) = M + r(kP) - k(rP) = M
7、對點M進行解碼就可以得到明文
假設在加密過程中，有一個第三者H，H只能知道橢圓曲線 Ep(a,b)、公鑰Q、基點P、密文點C，而通過公鑰Q、基點P求私鑰k或者通過密文點C、基點P求隨機數r都是非常困難的，因此得以保證數據傳輸的安全。
具體：
設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。
公鑰加密：
選擇隨機數r，將消息M生成密文C，該密文是一個點對，即：
C = {rG, M+rK}
其中K為公鑰
私鑰解密：
M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M
其中k、K分別為私鑰、公鑰
橢圓曲線簽名與驗證簽名
橢圓曲線簽名算法，即ECDSA。
設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。
私鑰簽名：
1、選擇隨機數r，計算點rG(x, y)。
2、根據隨機數r、消息M的哈希h、私鑰k，計算s = (h + kx)/r。
3、將消息M、和簽名{rG, s}發給接收方。
公鑰驗證簽名：
1、接收方收到消息M、以及簽名{rG=(x,y), s}。
2、根據消息求哈希h。
3、使用發送方公鑰K計算：hG/s + xK/s，並與rG比較，如相等即驗簽成功。
原理如下：
hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s = r(h+xk)G / (h+kx) = rG