通過三條直線求出圍成三角形的面積

背景

眾所周知，三角形是三條相交的直線圍成的圖形，就像這樣：

 

這篇博客的靈感和上一篇一樣，同樣是來自於初二一次函數的常考題型：一直一條直線，求出它與x軸和y軸圍成三角形的面積。

這個問題是很好解決的，只需要將 x=0 和 y=0 代入直線的解析式，算出與坐標軸的交點坐標A和B。因為兩條坐標軸相互垂直，兩個交點離原點的距離就是兩條直角邊的長，再根據三角形面積公式，就可以求出三角形的面積。 

 

直到，我又看到了另一道題，要通過兩條直線求它們與坐標軸圍成的三角形的面積。

解決這個問題，要求出兩條直線的交點。可以通過方程求出，然后再求出它們與坐標軸的交點，這樣一來，我們就成功得到了底和高。

於是，我干脆繼續拓展，通過三條直線確定圍成三角形的面積，就有了這個我搞了大半個月的項目和一直咕咕的博客。

大致思路

• 為保證精度，程序中所有關於點、線、面積的操作全部使用分數。不過C艹並不支持分數，於是我就手寫了一個（突然感覺python的魔法方法（相當於C中的運算符重載）真香～）
• 先求出三條直線形成的三個交點
• 求出包含這個三角形的，四條邊與坐標軸平行的，且面積最小的長方形的面積，然后減去三個比要求的三角形多出來的小三角形的面積。說的這么復雜，實際上就是初中生都學過的割補法。。
• 長方形的四條邊，分別是最靠上，靠下的點所在的與x軸平行的直線，和最靠左，靠右的點與y軸平行的直線。

后兩條更直觀一點，就是這樣：

 

 

 

 

 

推導過程

先求交點

設兩條直線的斜率和截距分別為：k1，b1， k2， b2

可得方程：k1*x+b1=k2*x+b2

通過簡單的移項可得：

再通過將x帶入到其中一個函數中求得y

 

 以此類推，求出三個交點的坐標。

求長方形面積

(橫坐標值最大的點的橫坐標值-橫坐標值最小的點的橫坐標值)*(縱坐標值最大的點的縱坐標值-縱坐標值最小的點的縱坐標值)

說白了就是找出最靠上的點和最靠下的點，最靠左的點與最靠右的點，然后算出長方形的長和寬。

求小三角形的面積

對於每兩個交點，都可一確定一個以這條邊為斜邊的直角三角形的面積。

兩個點的橫坐標的差的絕對值和縱坐標的差的絕對值，就是這個三角形的兩條直角邊的長度，再根據公式求出面積。

求大三角形的面積

長方形面積 - 三個小三角形面積之和

局限性&解決辦法

這種方法非常的簡單易懂，但是對於鈍角三角形並不適用，就比如這個：

 

解決這個問題也比較簡單：當你知道兩個點的坐標時，就可以利用勾股定理算出它們的距離，也就是三角形的邊長，再套用海倫公式，就可以算出來面積

但是我還沒有搞懂海倫公式，再說哪個出題的會出這么難且geliao的題啊。。

 

 等我證出來了海倫公式在搞這個吧。。

 

代碼

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

struct fenshu{
    int fz, fm;
};
struct fenshu k[4], b[4], x12, y12, x23, y23, x13, y13, xmax, ymax, xmin, ymin;
int tp;

int gcd(int a, int b){
    if(b==0) return a;
    return gcd(b, a%b);
}
fenshu build(int a, int b){
    fenshu fs;
    int gc=gcd(a, b);
    fs.fz=a/gc; fs.fm=b/gc;
    if(fs.fm<0){
        fs.fz=-fs.fz;
        fs.fm=-fs.fm;
    }
    return fs;
}
fenshu add(fenshu a, fenshu b){
    return build(a.fz*b.fm+b.fz*a.fm, a.fm*b.fm);
}
fenshu sub(fenshu a, fenshu b){
    return build(a.fz*b.fm-b.fz*a.fm, a.fm*b.fm);
}
fenshu multi(fenshu a, fenshu b){
    return build(a.fz*b.fz, a.fm*b.fm);
}
fenshu divi(fenshu a, fenshu b){
    return build(a.fz*b.fm, a.fm*b.fz);
}
int cmp(fenshu a, fenshu b){
    if(a.fz*b.fm>b.fz*a.fm){
        return 1;
    }
    else if(a.fz*b.fm==b.fz*a.fm){
        return 0;
    }
    else{
        return -1;
    }
}
fenshu abs(fenshu a){
    if(a.fz<0) a.fz=-a.fz;
    return a;
}

int main(){
    
    freopen("data.in", "r", stdin);

    for(int i=1; i<=3; i++){
//        printf("輸入函數%d的斜率和截距:", i);
        scanf("%d", &tp);
        if(tp==0){
            scanf("%d", &k[i].fz);
            k[i].fm=1;
        }
        else{
            scanf("%d/%d", &k[i].fz, &k[i].fm);
        }
        scanf("%d", &tp);
        if(tp==0){
            scanf("%d", &b[i].fz);
            b[i].fm=1;
        }
        else{
            scanf("%d/%d", &b[i].fz, &b[i].fm);
        }
    }
/*    for(int i=0; i<3; i++){
        printf("%d/%d %d/%d\n", k[i].fz, k[i].fm, b[i].fz, b[i].fm);
    }*/

    x12=divi(sub(b[2], b[1]), sub(k[1], k[2]));
    xmax=x12; xmin=x12;
    x23=divi(sub(b[3], b[2]), sub(k[2], k[3]));
    xmax=(cmp(xmax, x23)<0?x23:xmax);
    xmin=(cmp(xmin, x23)>0?x23:xmin);
    x13=divi(sub(b[3], b[1]), sub(k[1], k[3]));
    xmax=(cmp(xmax, x13)<0?x13:xmax);
    xmin=(cmp(xmin, x13)>0?x13:xmin);

    y12=add(multi(k[1], x12), b[1]);
    ymax=y12; ymin=y12;
    y23=add(multi(k[2], x23), b[2]);
    ymax=(cmp(ymax, y23)<0?y23:ymax);
    ymin=(cmp(ymin, y23)>0?y23:ymin);
    y13=add(multi(k[3], x13), b[3]);
    ymax=(cmp(ymax, y13)<0?y13:ymax);
    ymin=(cmp(ymin, y13)>0?y13:ymin);

/*    printf("xmax:%d/%d\n", xmax.fz, xmax.fm);
    printf("xmin:%d/%d\n", xmin.fz, xmin.fm);
    printf("ymax:%d/%d\n", ymax.fz, ymax.fm);
    printf("ymin:%d/%d\n", ymin.fz, ymin.fm); */

    fenshu TwoFirst, Srect, S1213, S1323, S1223, Stri;
    TwoFirst.fz=2; TwoFirst.fm=1;
    Srect=multi(sub(xmax, xmin), sub(ymax, ymin));
    S1213=divi(multi(abs(sub(x12, x13)), abs(sub(y12, y13))), TwoFirst);
    S1323=divi(multi(abs(sub(x13, x23)), abs(sub(y13, y23))), TwoFirst);
    S1223=divi(multi(abs(sub(x12, x23)), abs(sub(y12, y23))), TwoFirst);
    Stri=sub(Srect, add(S1213, add(S1323, S1223)));

    if(Stri.fm==1){
        printf("%d\n", Stri.fz);
    }
    else{
        printf("%d/%d\n", Stri.fz, Stri.fm);
    }

    return 0;
}