轉載一個不知出處的博客總結
另一個（擴展）
卡塔蘭數是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。由以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。
卡塔蘭數的一般項公式為 
另類遞歸式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
前幾項為 （OEIS中的數列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
性質
Cn的另一個表達形式為
所以，Cn是一個自然數；這一點在先前的通項公式中並不顯而易見。這個表達形式也是André對前一公式證明的基礎。(見下文的第二個證明。)
卡塔蘭數滿足以下遞推關系
它也滿足
這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。
卡塔蘭數的漸近增長為
它的含義是左式除以右式的商趨向於1當n → ∞。（這可以用n!的斯特靈公式來證明。）
所有的奇卡塔蘭數Cn都滿足n = 2k − 1。所有其他的卡塔蘭數都是偶數。
應用
組合數學中有非常多.的組合結構可以用卡塔蘭數來計數。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一書的習題中包括了66個相異的可由卡塔蘭數表達的組合結構。以下用Cn=3和Cn=4舉若干例：
- Cn表示長度2n的dyck word的個數。Dyck word是一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的部分字串皆滿足X的個數大於等於Y的個數。以下為長度為6的dyck words:
- 將上例的X換成左括號，Y換成右括號，Cn表示所有包含n組括號的合法運算式的個數:
- Cn表示有n+1個葉子的二叉樹的個數。
- Cn表示所有不同構的含n個分枝結點的滿二叉樹的個數。（一個有根二叉樹是滿的當且僅當每個結點都有兩個子樹或沒有子樹。）
證明：
令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的二進制數，滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多於1數。顯然含n個1、n個0的2n位二進制數共有
個，下面考慮不滿足要求的數目.
考慮一個含n個1、n個0的2n位二進制數，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則后面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以后的部分0變成1、1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的二進制數。反之亦然（相似的思路證明兩者一一對應）。
從而
。證畢。
- Cn表示所有在n × n格點中不越過對角線的單調路徑的個數。一個單調路徑從格點左下角出發，在格點右上角結束，每一步均為向上或向右。計算這種路徑的個數等價於計算Dyck word的個數： X代表“向右”，Y代表“向上”。下圖為n = 4的情況：
-
- Cn表示對{1, ..., n}依序進出棧的置換個數。一個置換w是依序進出棧的當S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)遞歸定義如下：令w = unv，其中n為w的最大元素，u和v為更短的數列；再令S(w) =S(u)S(v)n，其中S為所有含一個元素的數列的單位元。
- Cn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的個數. 那么, Cn 永遠不大於第n項貝爾數. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的個數，其中每個段落的長度為2。綜合這兩個結論，可以用數學歸納法證明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.
- Cn表示用n個長方形填充一個高度為n的階梯狀圖形的方法個數。下圖為 n = 4的情況:
百度百科資料:
簡介
中文:卡特蘭數
Catalan數是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。由以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。
原理：
令h(0)=1,h(1)＝1,catalan數滿足遞歸式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + 
+ h(n-1)h(0) (其中n>=2)
該遞推關系的解為：
h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,)
另類遞歸式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
前幾項為 （OEIS中的數列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452,
應用
我總結了一下，最典型的四類應用：（實質上卻都一樣，無非是遞歸等式的應用，就看你能不能分解問題寫出遞歸式了）
1.括號化問題。
矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)
2.出棧次序問題。
一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
類似：
(1)有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
(2)在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來，使得所得到的n條線段不相交的方法數。
3.將多邊行划分為三角形問題。
將一個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她
從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那么有多少條可能的道路？
類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
4.給頂節點組成二叉樹的問題。
給定N個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
(一定是二叉樹!
先去一個點作為頂點,然后左邊依次可以取0至N-1個相對應的,右邊是N-1到0個,兩兩配對相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + + h(n-1)h(0)=h(n))
（能構成h（N）個）