就說這個猜想跟素數的分布有關，而素數的重要性被奉為萬數之基。
一句話定義黎曼猜想：
黎曼zeta函數只在下面兩種點上為0值：第一種是負偶數第二種是實部為1/2的復數。
用二維坐標系表示復平面，那么取零值的點只在下面兩條橫縱直線上：
前一種稱為平凡零點，不怎么受人關注，后一種叫“非平凡零點”，據說跟素數的分布有某種神秘的聯系，下面研究看看。
上面的定義看完只能理解表層的數學定義，但是這個東西跟素數有什么關系，背后有什么深意，則完全是一頭霧水，也就是說，只看這個定義，只是相當於該知識的冰山一角。我完全不能滿意，那么下面我將嘗試展開該問題，以求獲得問題的全貌，這是一個困擾人類一百多年至今仍懸而未決的數學難題，我這輩子估計是不可能解出來的，不過解不出來，嘗試理解一下問題本身總可以吧？為了對得起自己的學歷，下面嘗試展開對這個問題做一些分析。
上面的定義中，黎曼zeta函數是什么？代表了什么含義？
黎曼zeta函數用無窮級數定義如下：
重點在於s是復數，且僅在s的實部大於1的情況下，該級數才收斂。
但是黎曼這個神人做了一個“解析拓延”，這是這里面的重中之重，比如上面的級數最初的定義域是在大於1的自然數上定義的，但后來逐步拓展到大於一的實數，然后最終拓展到復平面。總之這里解析拓延是黎曼猜想的重中之重，也是水很深的地方，我只能做這么個粗淺解釋，有興趣可以自己研究 。
用積分形式的定義如下:
看上面的積分形式定義，問題又來了，這個分母中的函數是個什么鬼？怎么念？
這個函數的定義如下：
其實就是個階乘函數，但是偏移掉最大的一個數。
歐拉證明素數無限的方法，:
- If Q is prime, you’ve found a prime that was not in your “list of all the primes”.
- If Q is not prime, it is composite, i.e made up of prime numbers, one of which, p, would divide Q (since all composite numbers are products of prime numbers). Every prime p that makes up P obviously divides P. If p divides both P and Q, then it would have to also divide the difference between the two, which is 1. No prime number divides 1, and so the number p cannot be on your list, another contradiction that your list contains all prime numbers.
求在給定正整數范圍內有多少素數，是一個很有用的函數，記為π(x), 容易理解這個函數是個階梯函數，每當x為素數時階躍1，來看一眼這個函數的圖像，大概也能感覺到素數分布之規律難尋：
素數定理：
用python畫了一下分母的這個函數x/ln(x)的趨勢，如下圖：
把黎曼zeta函數跟素數發生關系的一個公式：歐拉乘積公式（Euler product formula）
右邊的p是所有的素數。
這個結論乍看起來一頭霧水，這樣一個無窮級數怎么能跟素數的某種形式的練乘掛上鈎呢？下面就做一個簡單的證明：
首先對zeta函數（級數形式）兩邊都乘以第二項
然后跟原始的等式按如下方式做差：
其結果就是右邊的項中分母中底數為2的倍數的項都沒了。
再來做類似的操作，等式兩邊乘以右邊第二項：
然后再跟之前的等式兩邊同時做差。得到下式：
說白了這里不過是一些處理無窮級數項的小技巧而已，沒什么復雜的，但是通過不斷地做以上的操作，類推下去，最終會把右邊的項，全部干掉，只剩下1：
然后左邊的項，看剩下的分母中的底數，為2，3，5，7 。。。等，全是素數。為什么會全是素數呢？其實如果知道埃拉托斯特尼篩法，自然就能理解了，原理大概就是例如求100以內的所有素數，只要把2的倍數全部剔除，再把3的倍數全部剔除，順序往下，把沒剔除的數的倍數全部剔除，直到沒得剔了，那么剩下的數就是素數，很直觀的一種方法。
至此，證畢，起碼到此為止的成就是，把素數跟Zeta函數掛上鈎了。但是zeta函數的那些非平凡零點又意味着什么，暫時還不知道。
又仔細研究了下，得到的結論大概是這樣：zeta函數在復平面上的非平凡零點跟素數分布有着緊密聯系，具體怎么聯系的，體現在類似素數定理的誤差項，已經證明的是非平凡零點的實部在0到1的條狀帶內，而黎曼猜想的標書則更強，直接定位在實部等於1/2處，這樣相當於獲得了更強的素數計數函數的誤差項：
那么如果證明出來里面函數會有什么影響？答案我的理解是這樣，考慮到黎曼猜想在結論層面，已經很多人默認它為真並基於它去做一些具體的事了，那么如果最終被證明，對這些已經默認它為真的事情理應是沒啥影響，考慮到現在已經找到的大量的零點都符合黎曼猜想，這個猜想的成立的概率還是挺大的，於是在現實應用層面，證明了更不應該會有什么影響，倒是如果被證偽了，影響會比較大，但在現實應用層面（例如密碼學）影響也有限，不會是顛覆性的。
但是可能的大的影響是來自證明過程的，例如素數定理本身就是研究黎曼猜想的過程中引出來的，那么如果真正證明出黎曼猜想，大概率其過程中會有新的一些重要發現。
牽涉到的一些數學概念：
素數定理， 解析延拓，虛數指數函數的意義， 連續統