NOIP樹上問題總結

本文轉載自查看原文 2018-09-12 07:44 739 總結

這幾年考了好幾次樹上問題：

NOIP2012 疫情控制(二分答案+倍增+貪心)

NOIP2013 貨車運輸(最大生成樹+倍增)

NOIP2014 聯合權值(勉強算作樹形dp的傻逼題)

NOIP2015 運輸計划(二分答案+樹上差分+最近公共祖先)

NOIP2016 天天愛跑步(樹上差分+樹上倍增)

可以說除了聯合權值外都有一定的難度，(關鍵是我不抄題解一道也做不出來)

去年沒考樹上的問題所以我感覺今年要考

樹

樹是一種極其優美的結構，樹上兩點之間有且僅有一條路徑。

在近年來oi中常出現關於樹的題目。

樹的直徑

樹的直徑就是樹中最長的一條路徑，處理方法有樹形dp和兩遍dfs或bfs

需要注意的是在存在負邊權的樹中只能用樹形dp來求直徑

1.巡邏

一道畫畫圖就能搞出來的題。。。

首先我們應該想想他讓我們修路有什么用。你隨便畫一棵樹就很容易發現，要想從一個點出發經過所有點一遍再回來，每條邊是要經過兩次的。而我們修路就是為了讓其中一些邊只走一次。

$K=1$：顯然我們隨意連一條邊會形成一個環，環上的邊我們只用經過一次。這樣我們最大化環的的長度就行，也就是找到樹的直徑。

$K=2$：首先我們肯定還是連直徑。但是第二條邊怎么連？顯然我們還可以找次長鏈出來。但如果兩條鏈有重疊怎么辦？

我們可以把第一條鏈在算完長度后將所有邊權賦成-1，這樣就不會算重了。設兩次選的邊長度分別為$l1$,$l2$，那么答案就是$2*n-l1-l2$。

2.消防

首先我們應該想到這條路徑一定在樹的直徑上。這里給出證明：

設直徑的長度為$d$，那么直徑外的邊長度一定小於等於$d/2$（否則該路徑會與直徑的一部分構成一條比直徑還長的路徑）

若該路徑不在直徑上，則直徑的最遠點到該路徑的距離至少為$d/2$

而如果在直徑上，一定存在一段路徑使得樹上所有點的距離到它不超過$d/2$

所以選在直徑上一定是優的，而且在符合題目要求的情況下越長越好。

那么如果我們確定里直徑，我們可以$O(n)$求出直徑上每個點到最遠點的距離，然后左右指針掃直徑，單調隊列維護區間最小值即可。

3.直徑

求直徑的長和直徑並的數量。

直徑當然好求，而直徑並，一定是在一條直徑上。

所以我們可以先求出一條最長鏈。而所有直徑的並一定是最長鏈上連續的一段。

證明很簡單：如果中間有分開而最后又和在一起，顯然會形成一個環。

然后我們對於最長鏈上的每個點，dfs求出其子樹中距離最遠的點，若兩點之間的距離等於該點到直徑一個端點的距離，那么顯然這個點到端點之間這一段就不能用來統計答案了，將它們從答案中刪除即可。

然后我們可以正着做一遍這個操作，反向再做一遍，中間沒被刪除部分即為直徑的並

樹上管理問題

樹上的每個點能管理相鄰一片區域，求最少幾個點能管理整棵樹。

一般考慮從下往上貪心。

1.救火站Gas

又是樹上管理類的問題，我們當然考慮貪心。這個題算是消防站的設立那道題的加強版。

很顯然的一種做法是對於一個點，我們要找一個深度最小的點來覆蓋它。

然后看這個數據范圍$k<=20$，我們可以想到把他當成狀態放進數組里

設$need[i][j]$為以$i$為子樹的$j$級子孫有幾個未覆蓋，$left[i][j]$為以$i$為子樹的$j$級子孫有幾個多出來控制的沒使用

顯然當$need[i][j]$中$j=k$時，我們就必須放消防站來管理了

然后我們還可以用$left$來抵消$need$

2.消防局的設立

有一種很顯然的貪心測略：對於當前深度最大的點，我們選他的爺爺點一定是最優的。

對於最深的點我們選離他最遠但是能管理到他的祖先即可。

樹上倍增&&樹上差分

這幾年考過好幾次樹上倍增，有兩次都是和樹上差分結合在一起的。利用樹上倍增求出兩點的$LCA$，然后兩點$(u,v)$之間邊的信息往往可以轉化為$(u->root)+(v->root)-2*(LCA->root)$，點的信息可以轉化為$(u->root)+(v->root)-LCA->root-fa_LCA->root$。