抽象代数基础扫盲 发现自己真的是对代数一无所知啊qwq。 本文没有什么实际性的内容，都是一些基本定义 代数的发展历程 算术(arithmetic) 算术是数学中最古老的部分，算术的最大特点是关注具体数字 初等代数(elementary algebra) 初等代数 ...

定义：设\((R,+,*)\)是个环，\(S\)是\(R\)的一个非空子集。如果\(+\)和\(*\)也是\(S\)的运算，且\((S,+,*)\)也是个环，则说\((S,+,*)\)是\((R ...

抽象代数学习笔记（8）循环群 在讲子群的时候，我们提出了生成子群的概念 \(<S>\)，特别的，如果 \(S=\{s\}，有<S>=<s>\)。根据这些，我们可以引出循环群的概念： 群\(G\)称为循环群，如果有 \(g\in G\)使得\(G=< ...

1. 代数系统 1.1 运算律 　　我们已经知道函数的概念，它表示集合间的一种映射关系。多数场景里，像和原像往往是同一个集合，这里就讨论这样的函数。一元函数\(f:A\mapsto A\)也被称为集合\(A\)上的变换，其中双射的变换也称为置换。一般如下式的多元函数，也被称为集合 ...

1. 同态与理想 　　同态定理和正规子群在分析群的结构中起到了重要的作用，我们可以对环进行同样的讨论。若环\(R_1\)到另一个系统\(R_2\)有映射\(f:R_1\mapsto R_2\)，满足 ...

1. 陪集 　　现在继续研究群的分解，先来讨论一般子群之间、以及子群和父群的关系。首先根据子群的判定条件，如果\(H,K\leqslant G\)，则很容易有\(H\cap K\leqslant ...

　　抽象代数不是为了抽象而抽象，它所研究的代数系统都有着广泛的实例原型。群论的学习中我们已经看到很多系统同时存在着两个运算，而且它们是相互关联的，这就迫使我们来研究这种代数系统的结构和特点。从另一方面看，运算之间的互相牵连也会导致单个运算的特殊性质，你将会在后面的讨论中看到这一点。 1. 环 ...

1. 素域和单扩域 1.1 素域 　　域是一种比较“完整”的结构，它的限制条件比较多，结构自然也就不是很多样。现在我们来初步研究一下域的结构，研究的方法当然是从小域向大域扩展，若\(F\)是\(E ...