矩阵非异性的判定是高等代数教学中的一个重点. 一般来说, 判定非异矩阵的常见方法有五种, 分别是: (i) 行列式的计算 (参考高代白皮书第 1 章); (ii) 凑因子法 (参考高代白皮书第 2.2.3 节); (iii) 线性方程组求解理论的应用 (参考高代白皮书第 3.2.6 节 ...

第七大题 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 证明: 存在复数 $c_1,\cdots,c_{n-1}$, 使得 $$A-c_1e^A-c_2e^{2A}-\cdots-c_{n-1}e^{(n-1)A}$$ 是可对角化矩阵. 本题是复旦大学数学学院 18 级高等代数 II 期中考试的第七大题 ...

第五大题 设 $A_1,\cdots,A_n$ 为两两乘法可交换的 2019 阶实方阵, $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是 $n$ 元实系数多项式. 令 $B=f(A_1,\cdots,A_n)$, 证明: 存在 $B$ 的某个特征值 $\lambda_0$, 使得方程 $f(x_1 ...

矩阵秩的估计 (等式或不等式的证明) 是高等代数教学中的一个难点, 我们通常有以下三种方法, 分别是: (i) 从矩阵秩的基本等式和不等式出发, 利用矩阵的初等变换来处理 (参考高代白皮书第 3.2.6 节第 1 部分); (ii) 利用线性方程组的求解理论来处理 (参考高代白皮书 ...

以下是复旦大学数学学院20级高等代数 I 期中考试的四道大题, 它们的高等代数 I 解题思路为: 第四大题第 1 小题利用矩阵乘法直接进行计算, 第 2 小题利用线性方程组的求解理论进行讨论; 第五大题利用行列式的降阶公式进行计算; 第六大题利用矩阵秩的 Sylvester 不等式进行证明; 第七大题 ...

本文收集了复旦大学数学学院 18 级到 19 级高等代数期中考试的精选大题, 其中一部分大题由习题课老师或任课老师自编而来, 一部分大题从兄弟院校的高等代数教材或学习指导书中的习题或考研试题改编而来, 也有一部分大题已经融入到复旦大学高等代数学习指导书 (第三版) 中了. 由于篇幅所限 ...

第六大题 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 证明: $A$ 不可对角化当且仅当存在一元多项式 $f(x)$, 使得 $f(A)$ 非零, $I_n+f(A)$ 可逆, 并且 $(I_n+f(A))^{-1}$ 与 $I_n-f(A)$ 相似. 证明 先证必要性. 考虑 ...

本文收集了复旦大学数学学院 13 级到 17 级高等代数期中考试的精选大题, 其中一部分大题由习题课老师或任课老师自编而来, 一部分大题从兄弟院校的高等代数教材或学习指导书中的习题或考研试题改编而来, 也有一部分大题已经融入到复旦大学高等代数学习指导书 (第三版) 中了. 由于篇幅所限 ...