七、(10分) 设 $V$ 为 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $V=U\oplus W$, 其中 $U,W$ 都是 $\varphi$-不变子空间. 证明: ...

八、(10分) 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n\,(n>1)$ 阶实对称阵, 满足: 每行元素之和都等于零, 并且非主对角元素都小于等于零. 设指标集 $\Gamma=\{1,2,\cdots,n\}$, 两个指标 $i\neq j$ 称为连通的, 如果存在一列指标 $i=i ...

八、(10分) 设 $n$ 阶复方阵 $M$ 的全体特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 则 $M$ 的谱半径 $\rho(M)$ 定义为 $\rho(M)=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|$. 设 ...

七、(10分) 设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $AB=0$ 且 $\mathrm{tr}(A^*)=0$, 证明: $A^*B=0$ ...

六、(本题10分) 设 $M_n(K)$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间, $A,B\in M_n(K)$, $M_n(K)$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\ ...

六、(本题10分) 设 $A$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $2n$ 阶反对称阵, $\alpha$ 为 $2n$ 维列向量, $x$ 为未定元, 证明: $$|A+x\alpha\alpha'|=|A|.$$ 证法一(利用行列式的性质) 第一步是将 $|A+x\alpha ...

六、(本题10分) 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, 证明: $A$ 有 $n$ 个不同的特征值当且仅当对 $A$ 的任一特征值 $\lambda_0$ 及对应的特征向量 $\alpha$, 矩阵 $\begin{pmatrix} A-\lambda_0I_n & \alpha ...

八、(本题10分) 设 $A,B$ 为 $n$ 阶实方阵, 使得 $A'B$ 是反对称阵. 证明: $$r(A'B)\leq r(A)+r(B)-r(A+B),$$ 并确定等号成立的充要条件. 证 ...