七、(10分) 设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $AB=0$ 且 $\mathrm{tr}(A^*)=0$, 证明: $A^*B=0$ ...

六、(10分) 设 $n\,(n>1)$ 阶方阵 $A$ 满足: 每行元素之和都等于 $c$, 并且 $|A|=d\neq 0$. 试求 $A$ 的所有代数余子式之和 $\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}$. 解法一 (矩阵性质) 设 $\alpha=(1,1 ...

八、(10分) 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n\,(n>1)$ 阶实对称阵, 满足: 每行元素之和都等于零, 并且非主对角元素都小于等于零. 设指标集 $\Gamma=\{1,2,\cdots,n\}$, 两个指标 $i\neq j$ 称为连通的, 如果存在一列指标 $i=i ...

七、(本题10分) 设 $V$ 为 $n$ 维线性空间, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi\psi=\varphi$. 证明: $\mathrm{Ke ...

八、(10分) 设 $n$ 阶复方阵 $M$ 的全体特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 则 $M$ 的谱半径 $\rho(M)$ 定义为 $\rho(M)=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|$. 设 ...

七、(本题10分) 设 $U,V,W$ 均为数域 $K$ 上的非零线性空间, $\varphi:V\to U$ 和 $\psi:U\to W$ 是线性映射, 满足 $r(\psi\varphi)=r ...

七、（本题10分）设 \(A\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 阶非异阵, 证明: 对任意的对角阵 \(B\in M_n(K)\), \(A^{-1}BA\) 均为对角阵的充分必要条件是 \(A=P_1P_2\cdots P_r\), 其中 \(P_i\) 均为第一类初等阵 (即对 ...

七、(10分) 设 $A$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n\,(n>1)$ 阶方阵, $r(A)=n-1$, $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵. 记齐次线性方程组 $Ax=0$ ...