多元复合函数二阶导数与向量微积分的思考 引入 对于形似\(z=f(u_1,u_2,...,u_n),\)其中\(u_i=g_i(x_i)\)的多元复合函数，对其二阶导数的考察常常会经过繁琐而重复的运算，且容易在连续运用链式法则时犯错。本文将提出该类题型的通解以及理论推导过程供参考。 例1：设 ...

令 $f(x)$ 是一个单调递减或单调递增的连续函数，现在来估计和式 $\sum_{j=1}^nf(j)$ 的值。 可以通过积分来近似求和，得出上下界如下： 如果 $f(x)$ 单调递减，那么有 $$\int_m^{n+1}f(x)dx \leq \sum_{j=m}^n f(j) \leq ...

　　定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分 ...

　　不是所有被积函数都能解析地写出原函数。对于那些可能写出来的函数，也需要一定的积分技巧才能随心所欲，分部积分正是其中很重要的一种技巧。 基本公式 　　部分积分演变自积分的乘法法则： 示例1 　　看起来很难对付，现在尝试用部分积分解决。 　　令u = lnx，u’ = (lnx ...

1 一阶线性近似 函数 f(x) 的一阶导数为 ，使用较小变化量代替微分量得 ，令 ，， 进一步整理得 ，当已知 ，则可以求解 的一阶近似解为 y。 2 求解近似解 1）函数 ，求解 f(11) ？ 已知 f(9) = 3，使用线性 ...

微积分第一基本定理 　　如果F’(x) = f(x)，那么： 　　如果将F用不定积分表示，F =∫f(x)dx，微积分第一基本定理可以看作为是两个不定积分赋予特定的值，再用符号连接起来，计算具体的数值。 　　这里引入一个新符号： 　　于是： 示例1 　 示例 ...

微积分第二基本定理 　　这里需要注意t与x的关系，它的意思是一个函数能够找到相应的积分方式去表达。如果F’=f，则： 　　下面是第二基本定理的证明。 　　证明需要采用画图法，如上图所示，曲线是y=f(x)，两个阴影部分的面积分别是G(x)和ΔG(x)，其中： 　　当Δx足够 ...

　　在流体运动中，通量是单位时间内流经某单位面积的某属性量，是表示某属性量输送强度的物理量。在大气科学中，包含动量通量、热通量、物质通量和水通量。 　　本章关于向量和点积的相关知识课参考《线性代数笔记3——向量2（点积）》。 通量 　　通量实际上是一种线积分。如果有一条平面曲线C和这个平面 ...