1. 代数系统 1.1 运算律 　　我们已经知道函数的概念，它表示集合间的一种映射关系。多数场景里，像和原像往往是同一个集合，这里就讨论这样的函数。一元函数\(f:A\mapsto A\)也被称为集合\(A\)上的变换，其中双射的变换也称为置换。一般如下式的多元函数，也被称为集合 ...

抽象代数学习笔记（8）循环群 在讲子群的时候，我们提出了生成子群的概念 \(<S>\)，特别的，如果 \(S=\{s\}，有<S>=<s>\)。根据这些，我们可以引出循环群的概念： 群\(G\)称为循环群，如果有 \(g\in G\)使得\(G=< ...

有限群表示论的一些基本定理：1、有限群的不同的（非等价的）不可约表示的个数是有限的，并且等于这个群的共轭元素类的个数。 1a、只有有限多不可约表示，它的数目正好等于有限群G的共轭类的数目。 1b、G的不可约表示的个数（确切到同构）等于G的共轭类的个数。G的两个元素t和t'说是共轭的，如果存在s ...

是古老算术的推广和发展，在初等代数中开始用变量代替具体的数字，它的中心是解方程 抽象代数(abs ...

习题 4.证明：置换群$G$中若含有奇置换，则$G$必有指数为$2$的子群. 证明 易知$G$中若有奇置换，则奇偶置换各半.不妨设$G$的偶置换为 $${\rm id}=\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{m}$$ 而奇置换$\phi_ ...

抽象代数的课程我是第二次上了，可是在群论部分知识点还是缺乏理解、融会和梳理，而且有一种知识点零碎无规律的感觉。我缺乏一种宏观上俯视全局的经验，因此被老师上课抄板书式的讲课带得“迷惘、疲劳而无所得”。这里，我希望提供一个全局的视角，将抽象代数中的群论、群表示论和一些李代数稍作梳理汇总。 注意本文完全 ...

1. 同态与理想 　　同态定理和正规子群在分析群的结构中起到了重要的作用，我们可以对环进行同样的讨论。若环\(R_1\)到另一个系统\(R_2\)有映射\(f:R_1\mapsto R_2\)，满足公式（1），这样的映射称为同态映射。若映射为满的，则称\(R_1,R_2\)同态，记作\(R_1 ...

1. 陪集 　　现在继续研究群的分解，先来讨论一般子群之间、以及子群和父群的关系。首先根据子群的判定条件，如果\(H,K\leqslant G\)，则很容易有\(H\cap K\leqslant G\)。那么\(H\cup K\)呢?当然这里\(H,K\)都是真子群，并且不互相包含。从\(H ...