电学

叉积：

第13章：电场

\(\color{Goldenrod}点粒子的库仑力定律\)：

\[\vec{F}=F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|Q_1Q_2|}{r^2} \]

\(\color{Goldenrod}带电粒子\)
正电子和反质子是反物质。正电子是反电子；如果一个正电子和一个电子相遇，它们就会湮灭，释放出所有能量作为高能光子。因此，在普通物质中找不到反物质。

普通物质由质子、电子和中子（大小和质量与质子大致相同，但不带电）组成。

$\color{Goldenrod}原子的大小和结构 $

一立方厘米的固体金属，包含大约\(1\times 10^{23}\)个原子

中性原子具有相同数量的质子和电子。 质子和中子都存在于原子中心的原子核中。 电子散布在围绕原子核的云中。

一个铁原子，它的原子核有 26 个质子和 30 个中子，周围有 26 个移动的电子。原子核几乎不可见，因为它比电子云小得多，电子云的半径约为$ 1×10^{−10}m$，原子核半径为\(4×10^{−15} m\)。然而，几乎所有原子的质量都在原子核中，因为质子或中子的质量大约是电子质量的 \(2000\) 倍。

\(\color{Goldenrod}电场的定义\)

\[\vec{F}=q\vec{E} \]

这表明粒子上的力由粒子的电荷和附近所有其他带电粒子产生的电场决定。

我们如何测量空间中给定位置的电场？

\[\vec{E}=\vec{F}/q \]

\(\color{Goldenrod}没有自身的力\)

需要注意的是，点电荷不受其自身电场的影响。

物理上讲，这也是有道理的，因为毕竟电荷不能开始自己移动，也没有办法决定它应该朝哪个方向移动。

\(\color{Goldenrod}“场”的物理概念\)

“场”这个词在物理学中具有特殊的含义。 场是一个物理量，在空间的每个位置都有一个值。 它在每个位置的值可以是标量或向量。

例如，房间内的温度是一个标量场。 在房间的每个位置，温度都有一个值，我们可以将其写为 \(T(x,y,z)\)，如果它随时间变化，则可以写为 \(T(x,y,z,t)\)。 房间内的气流是一个矢量场。 在房间的每个位置，空气以特定的速度沿特定的方向流动。 电场是矢量场； 在围绕电荷的空间中的每个位置，电场都有大小和方向。

\(\color{Goldenrod}点电荷的电场\)

\[\vec{E}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{|\vec{r}|^2}\hat{r} \]

其中常数\(\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}=9\times 10^9\text{N}\cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)

\(\color{Goldenrod}电场强度\)

\[\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{|\vec{r}|^2} \]

\(\color{Goldenrod}叠加原理\)

空间中某个位置的净电场是位于其他位置的所有带电粒子贡献的单个电场的矢量和。
带电粒子贡献的电场不受其他带电粒子存在的影响。

这可能看起来很明显，但实际上有点微妙。叠加原理的一个重要结果是物质不能“阻挡”电场。电场“穿透”物质。

\(\color{Goldenrod}偶极子的电场\)

中性物质包含正电荷和负电荷（质子和电子）。 我们可以详细分析的最简单的中性物质是一个“电偶极子”，它由两个相同但带相反电荷的点状物体组成，相隔距离\(s\)。

我们仅查看他们轴上的某点，且不在两个物体中间，设距离两个物体中间\(x\)：

\[\vec{E_1}=\vec{E_+}+\vec{E_-}=\langle\lgroup\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{(x-\frac{s}{2})^2}+\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{(x+\frac{s}{2})^2}\rgroup,0,0\rangle \]

\[|\vec{E}_{\text{on axis}}|=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{2qsr}{(r-\frac{s}{2})^2(r+\frac{s}{2})^2} \]

\[\text{if} ~r\gg s,|\vec{E}_{\text{on axis}}|\approx \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{2qr}{r^3} \]

到这里你可能会产生一个非常奇怪的感觉，虽然我们算出来确实是这个，但，这合理嘛？
我们应该期待它正比于\(1/r^2\)的。
这个结果表达出来，我们得到一个结果：单个电荷的电场与\(1/r^2\)成正比，但是当我们将多个电荷贡献的电场相加时，结果可能具有完全不同的距离依赖性。

你还可以计算中垂线上点的电场，这里不再展开。

电偶极矩

偶极子的电场与乘积 \(qs\) 成正比，称为“电偶极矩”，用 \(p\) 表示。

\[p=qs \]

偶极子是电中性的，因为其组成电荷的总和为零，显然，即使是中性物体也可以在周围空间中产生非零电场。

\(\color{Goldenrod}电场和光速\)
狭义相对论预言，没有任何东西的运动速度能超过光速，甚至信息的运动速度也不能超过光速，而且从来没有人观察到违反这一预言的情况。

考虑一个距离\(9m\)的电荷，光从电荷传输到你身上需要\(30\)纳秒。
假设电荷突然移动到一个新位置，直到\(30\)纳秒过去，你才能观察到电场的变化！

在一段时间内（\(30\)纳秒），电场具有某种真实性和存在性，与最初的场源无关。如果你在\(30\)纳秒的间隔内把一个正电荷放在你的观测点上，你会看到它向右加速，向仍然有效的旧电场方向加速。

在\(30\)纳秒结束时，磁场最终改变，以对应于\(30\)纳秒前电荷移动到的位置。

在你注意到电场变化的同时，你看到了电荷的新位置，因为看到电荷的光当然是以光速传播的。

一个更引人注目的例子涉及远程电偶极子产生的电场。 假设一个电子和一个正电子相隔一小段距离 \(s\)，形成一个偶极子，并在整个空间中产生一个电场。
电子和正电子可能突然聚在一起发生反应，相互湮灭并以不带电荷的高能光子（伽马射线）的形式释放出大量能量：

\[e^-+e^+\rightarrow \gamma+\gamma \]

在湮灭发生后不久，附近不再有任何带电粒子。 但是，如果您监视该区域的电场，即使偶极子不再存在，您仍将继续检测（前）偶极子的场一段时间！ 如果您距离偶极子的原始位置距离 \(r\)，您仍然会在 \(r/c\) 时间内检测到偶极子的电场，这与光从该位置传播到您的位置所需的时间相同。

这意味着，库仑定律仅在低速时是正确的！

第14章：电场和物质

\(\color{Goldenrod}物质中的带电粒子\)

净电荷：物体的净电荷是其所有组成粒子的电荷之和。净电荷为零的物体称为“中性”。具有非零净电荷（正或负）的物体称为“带电”。

偶极子是电中性的，那么显然即使是中性物体也可以在周围空间中产生非零电场。

\(\color{Goldenrod}电荷守恒\)

一个系统加上其周围环境的净电荷不能改变。
电荷守恒是一项基本原则，因为它适用于任何情况下的每个系统。
考虑电子和正电子之间的湮灭反应后，系统的净电荷依然为零。

\(\color{Goldenrod}导体和绝缘体\)

所有材料都是由含有电子和质子的原子组成的。

然而，在微观层面上，当宏观物体暴露于电场时，结构上的差异会导致非常不同的行为。

导体：一些材料含有带电粒子，可以轻松穿过材料。这些材料称为导体。大多数金属，如铜、银、铁、铝和金，都是极好的导体，因为它们含有高度移动的电子。盐水溶液也是导体，因为有移动的正离子和负离子。

绝缘体：在许多材料中，电子与原子紧密结合，没有带电粒子可以穿过材料。这些材料被称为绝缘体，因为它们可以将一个带电物体与另一个带电物体电“绝缘”。例如橡胶、塑料、木材、纸张和玻璃。

\(\color{Goldenrod}物体是如何带电的\)

通过接触充电有多种可能的机制。塑料或头发中的大有机分子可能会以最弱的键断裂，从而使负离子（带负电荷的碎片）沉积在塑料上和/或正离子（带正电荷的碎片）沉积在头发上。电子可以从一个物体移动到另一个物体，特别是如果物体是金属，我们将在后面讨论。众所周知，摩擦对于将电荷从一个物体转移到另一个物体并不是必不可少的：仅仅接触就足够了。然而，摩擦会产生许多接触点，这可能会促进转移。

质子不会从原子核中移除

有一件事是肯定的：你不能通过摩擦从表面原子内部去除裸核或从表面原子核内部去除质子。这样做所需的能量将是巨大的。

去除质子相当于将一种元素转化为另一种元素！

原子核深埋在原子内部，质子紧紧地束缚在原子核中。从原子中除去一个电子，或破坏化学键并将整个离子转移到另一个物体上所需的力要小得多。因此，唯一可以通过接触传递的东西是正离子或负离子，或电子。

\(\color{Goldenrod}原子的极化\)

带正电的物体，就像一块带正电的隐形胶带，不仅会被负极胶带吸引，还会被你的手、桌子、书和附近的所有其他中性物体吸引。对于带负电的物体也是如此，例如一块带负电的隐形胶带。因为这意味着你的中性手必须产生一个非零电场。目前尚不清楚如何或为什么会发生这种情况。

问题 为什么带电物体会被中性物体吸引？

带正电和带负电的隐形胶带对您的手以及其他任何中性物体的吸引力是非常神秘的。中性物体的净电荷为零，因此您的中性手不应产生可作用于带电胶带的电场，您的中性手也不应经历由于带电胶带产生的电场。我们对电相互作用特性的陈述中没有任何内容可以解释这种吸引力！

外部电荷会导致构成中性原子或分子的电荷位置发生变化。 为了清楚地看到这一点，我们需要更详细地研究原子的结构。 我们将考虑氢原子，因为它是最简单的原子，但我们讨论的影响也发生在其他原子上。
在图 14.10 中，我们展示了一种特殊的氢原子图片，它基于描述原子详细结构的量子力学理论。 一个氢原子由一个电子和一个通常由一个质子（并且没有中子）组成的原子核组成。 轻质电子不像地球围绕太阳那样围绕重核遵循明确的轨道。 相反，只有在任何特定位置找到电子的概率。

当一个原子的电子云受到外部电荷的影响而发生移动，从而使电子云不在原子核的中心时，就可以说原子是“极化的”。如果外部的电荷非常接近，那么原子可以分解或与外部电荷发生反应。

极化原子或分子图

在大多数情况下，我们可以近似地计算出极化原子的电荷分布，其中包含一个近似的球形负云，其中心从正核中移位（图14.12）。一个均匀的球形电荷分布的作用就像它是一个位于球体中心的点电荷一样，这既意味着它使球体外的电场与点电荷的电场相同，也意味着它对外加电场的响应就像它是一个点电荷一样。因此，将极化原子建模为偶极子是合理的，偶极子由两个相隔一小段距离的相对点电荷组成。

为了简化极化原子或分子的绘制并强调其最重要的方面，我们通常将其表示为一个夸张地拉长的斑点，两端带有 + 和 - （图 14.13）。

已通过实验发现，对于几乎所有材料，诱导的极化量（即极化原子或分子的偶极矩 \(\vec{p}\)）与所施加电场的大小成正比。 这个结果可以这样写：

\[\vec{p}=\alpha \vec{E} \]

\(\color{Goldenrod}中性原子和点电荷\)

在上一章中，我们发现由于偶极子的电场与 \(1/r^3\) 成正比，所以偶极子对点电荷施加的力也与 \(1/r^3\) 成正比。由于电力的互易性，点电荷对偶极子的作用力因此也与 \(1/r^3\) 成正比。让我们通过考虑点电荷 q 1 和中性原子的情况来扩展这个分析。

尽管整个过程发生得非常快，但将其分析为好像它是分几个步骤发生的一样具有指导意义。

第1步：在原子的位置，由于点电荷而产生电场\(\vec{E_1}\)。该电场同时影响原子核和电子云，由于它们的球对称性，两者都可以被建模为点电荷。电子云上的力和原子核上的力方向相反。由于电子云和原子核可以相对移动，它们向相反的方向移动，直到达到新的平衡位置。

原子现在被极化，偶极矩\(\vec{p}_2 = \vec{α}\vec{E}_1\)与施加的电场\(\vec{E}_1\)成正比。

第2步：极化原子现在具有偶极矩\(p=q_2s\)。这个原子现在是一个感应偶极子，它在点电荷的位置产生一个电场 \(\vec{E}_2\)。我们可以为\(\vec{E}_2\)的大小写一个表达式：

\[|\vec{E}_2|=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{2p}{r^3}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{2\alpha E_1}{r^3} \]

由于我们知道\(\vec{E}_1\) ，即偶极子位置的点电荷电场，我们可以将其代入方程：

\[E_2=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{2\alpha }{r^3}E_1=(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{2\alpha }{r^3})(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q_1}{r^2})\\=(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0})^2（\frac{2\alpha q_1}{r^5}） \]

第 3 步：感应偶极子对点电荷施加的力是多少？

\[\vec{F}_1=q_2\vec{E_2}=q_1(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0})^2（\frac{2\alpha q_1}{r^5}）\hat{r}=(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0})^2（\frac{2\alpha q_1^2}{r^5}）\hat{r} \]

点电荷对中性原子的作用力是多少？

\[\vec{F}_2=-\vec{F}_1=-(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0})^2（\frac{2\alpha q_1^2}{r^5}）\hat{r} \]

\(\color{Goldenrod}带电物体与中性物质的相互作用\)

我们现在可以解释为什么带正电和带负电的物体都被中性物质强烈吸引。

带正电的胶带会产生一个电场，该电场指向远离胶带的方向。该电场存在于您的手内，并影响您手内的原子、分子和离子。图 14.17 显示了由胶带的电场在手指内部引起的极化。手指中的感应偶极子在胶带的位置产生电场，从而吸引胶带。

您可能已经注意到，中性手和悬挂的带电隐形胶带之间的吸引力随距离的变化（\(1/r^5\) ）比两个带电胶带之间的相互作用（$1/r^2 $）要快得多。

\(\color{Goldenrod}金属中的电荷运动\)
金属是非常好的电导体。在几乎所有金属中，可移动的带电粒子都是电子。

移动电子海
每个金属原子的内部电子都与原子核结合。一些外部电子参与原子之间的化学键（固体的球弹簧模型中的“弹簧”）。这里的外部电子应该是指微观上看上去的，但实际应该属于这个原子。
然而，一些外部电子（通常每个原子一个电子）加入了移动电子的“海洋”，这些电子可以在整个宏观固体金属片中自由移动（图 14.25）。从某种意义上说，整块金属就像一个巨大的分子，其中一些电子散布在整个晶体上。这些电子并不是完全自由的，它们作为一个整体与金属结合，很难从金属中去除。 （例如，当你摇动一块金属时，电子不会滴落！）由于这些移动电子的存在，金属是极好的导体。

移动电子之间没有净相互作用
尽管漫游的电子相互强烈排斥，但这种电子之间的排斥平均会被正原子核（“核心”是中性原子减去它的漫游电子，因此电荷为+e）所施加的吸引力中和。平均而言，平衡的金属片内的净电场为零。
正因为如此，在某些方面，移动电子看起来像一种理想气体：它们在没有电场的区域中移动，因此它们似乎不会相互相互作用或与原子核相互作用。事实上，在一些简单的电子运动模型中，移动电子海被视为理想气体。

E 在金属中并不总是零

不要过度概括我们之前的结论。 金属中的净电场始终为零是不正确的。 当金属处于极化过程中时，金属不处于平衡状态，金属内部存在非零电场，对电子海中的电子产生非零力，如上所示。 在电路中，电池会阻止系统达到平衡。 在这种不平衡的情况下，金属内部可能会产生电场，从而对移动电子海中的电子产生持续的作用力，导致电子海在闭合电路周围不断移动，形成电流。

金属的另一个重要特性（以及电相互作用的 1/r 2 特性，正如我们将在后面章节研究高斯定律时看到的那样）是一块金属或任何导体上的任何多余电荷总是在外表面或内表面上发现。这具有直观的意义，因为任何多余的电荷都会相互排斥，并最终会尽可能远离——在导体表面。导体内部的任何多原子区域的净电荷为零。此外，任何多余电荷之间的相互排斥使移动电子海以这样一种方式重新分配自身，使得电荷几乎立即出现在整个表面（图 14.31）。

\(\color{Goldenrod}塑料和金属棒\)

一个轻质（导电）金属球悬挂在一根（绝缘）塑料棒右侧。两者最初都是不带电的（图 14.32）。

(a) 用羊毛摩擦塑料棒的左端，沉积带电的分子片段，其总（负）电荷为 \(1×10^9\) 个电子。你观察到球向杆移动，如图 14.33 所示。
解释：显示所有多余的带电粒子、极化等，清楚地在图表中。弄清楚你展示的带电粒子是在物体表面还是在物体内部。
(b) 你用一根（导电的）金属棒做了一个类似的实验。
你用带电的金属物体接触棒的左端，在左端沉积 \(1×10^9\) 个多余的电子。然后您移除该对象。如图 14.34 所示，你看到球比 (a) 部分中的塑料杆偏转更多。
解释：显示所有多余的带电粒子、极化等，清楚地在图表中。弄清楚你展示的带电粒子是在物体表面还是在物体内部。

(a) 塑料棒是绝缘体，所以多余的电荷留在棒的左端表面。这种电荷使棒内的分子极化。原始电荷加上极化分子形成了一个使中性金属球极化的场，如图 14.35 所示。极化金属球上的多余电荷在球的表面，因为球是导体。球的内部是中性的。

(b) 多余的负电荷遍布作为导体的金属棒和球的表面。 这种多余的负电荷使金属球极化。 极化的金属球反过来又使带负电的金属棒稍微极化，如图 14.37 所示。

在这种情况下，球的极化更大，因为更多的原始电荷更靠近球。 在这种情况下，球上的净力大于塑料杆。

\(\color{Goldenrod}绝缘体放电\)

您可以通过在任何地方短暂触摸带电的金属箔轻松放电，因为它是导体。带电的隐形胶带条更难放电，它是一种绝缘体，不允许电荷通过胶带。

为了使一块带电的隐形胶带放电，结果证明，人们可以简单地用手指在胶带光滑的一面摩擦。完成此操作后，您会发现磁带不再与您的手等中性物体相互作用，并且本身似乎是中性的。

第16章 电位

\(\color{Goldenrod}电场与电位\)

根据能量守恒我们有：

\[E=-\frac{dV}{dx} \]

\(\color{Goldenrod}变化电场中的\Delta V\)

\[\Delta V=-\vec{E}\cdot \Delta \vec{l} \]

\[\Delta V=-\int_i^f \vec{E}\cdot d\vec{l} \]

\(\color{Goldenrod}点电荷附近的电势差\)

\[V_f-V_i=-\int_{r_i}^{r_f}\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}dr=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r_f}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r_i} \]

\(\color{Goldenrod}某个位置的势能\)

位置\(A\)的电位定义为距离所有带电粒子无限远的位置与位置\(A\)之间的电位差：

\[V_A=V_A-V_{\infty} \]

当然，这个等式只有在无穷远处的势能\(V_{\infty}\)为零时才有意义，并且按照惯例，它被定义为零。这与两个相距无限远的带电粒子系统的势能必须为零的事实是一致的。

在点电荷中：

\[V_r=V_r-V_{\infty}=-\int_{r}^{\infty}\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{x^2}dx=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r} \]

\(\color{Goldenrod}平衡时导体内部的电位\)

我们注意到由于平衡的金属物体内部的净电场为零，因此金属内部任意两个位置之间的电位差必须为零。

\(\color{Goldenrod}避免常见的混淆\)

一个常见的错误是假设某个位置的电场决定了某个位置的电势。事实上，位置\(A\)的电场与位置\(A\)的电势几乎没有关系！ 同样，\(A\)处的电场和\(B\)处的电场与位置\(A\)和\(B\)之间的电位差几乎没有关系；决定\(\Delta V\)的是中间区域的电场。带电球壳在壳内的电场为零，但由于球体上的电荷，壳内的电势不为零。

\(\color{Goldenrod}绝缘体的电位差\)

极化绝缘体内部的情况更为复杂。
电容器内部的均匀场（图 16.45），使绝缘体中的分子极化。这些极化分子本身有助于材料内部的净场。然而，材料内部的电场跟金属不同，不恒为零，据推测，由于极化分子导致的塑料内部电场会根据观察位置而变化。

例如，考虑图 16.46 所示的极化塑料内部的位置\(A\)和\(B\)，我们在其中显示了仅由极化塑料中的感应偶极子贡献的电场（不考虑电容器）。如果我们认为极化分子列类似于电容器（由两个垂直的电荷片组成），则位置\(A\)位于“电容器”\(1\)内部，而位置\(B\)位于“电容器”2 和\(3\)之间。在位置\(A\)处占主导地位偶极子将来自电容器\(1\)中的分子，并且由于偶极子产生的电场将较大且偏向左侧。
在位置\(B\)，最近的两个电容器的边缘场代表偶极子的主要贡献，并且偶极子产生的场将指向右侧并且小于\(A\)处的偶极子产生的场。

如果我们沿着一条路径从塑料的左侧到右侧，由于偶极子的缘故，\(\vec{E}\)有时会指向\(d\vec{l}\)的方向，有时会与\(d\vec{l}\)的方向相反。考虑这条路径的平均电场会很有用，这意味着我们知道要做多少功，但目前尚不清楚我们将如何计算这样的电场。仅从情况来看，甚至不清楚这个平均场的方向是什么。

考虑从另外一个角度思考问题，尽管电场在材料内部很复杂，但在塑料外部的位置却没有那么复杂。直观地，你可能会看到在塑料外部的位置，由于极化塑料产生的电场将具有与单个偶极子附近的电场相似的模式。

在图 16.47 中，仅由极化塑料引起的电场显示在沿塑料外部路径的位置。 如果我们沿路径顺时针移动，从图中可以清楚地看出\(\vec{E}\cdot d\vec{l}\)恒为正，故\(-\int \vec{E}\cdot d\vec{l}<0\)。
由于分子偶极子由固定点电荷组成，因此由分子偶极子引起的电场的往返路径积分（往返电位差）必须总和为零。所以里面的平均场必须指向左侧。

\(\color{Goldenrod}介电常数和净场\)

塑料内部的净电场是电容器极板产生的电场和塑料中感应偶极子产生的电场之和，正如我们刚才所展示的，它指向与电容器场相反的方向。因此，塑料内部的净场小于仅由电容器引起的场。我们可以非正式地说，绝缘体原本由电容器产生的内部电场被“削弱”了。
请注意，净场与板产生的场的方向依然相同，但幅度较小。

我们定义一个常数\(K\)，称为“介电常数”（电介质是绝缘体的另一个词），作为削弱绝缘体内部净电场的因素：

\[\vec{E}_{\text{insulator}}=\frac{\vec{E}_{\text{applied}}}{K} \]

对于电容器，外加场为\((Q/A)/\varepsilon_0\)，而填充有绝缘体的电容器内部的净场为 \((Q/A)/\varepsilon_0/K\)。介电常数与原子极化率有关，但细节超出了这本入门教科书的范围。注意介电常数\(K\)总是大于\(1\)，因为极化总是削弱绝缘体内部的净电场。分子越容易极化，弱场效应越大，\(K\)值越大。

第17章 磁场

\(\color{Goldenrod}电子电流\)

磁场与移动电荷有关。 电线中的电流提供了一个方便的移动电荷源，并允许我们尝试产生和检测磁场。
在平衡状态下，金属内部的移动电子海没有净运动。 在我们将在本章中构建的电路中，我们可以安排一些东西，使电子海继续不断地运动。 这种连续的电子流动被称为“电子电流”，它表明系统不处于平衡状态。 为了能够谈论影响电子电流的事物，我们需要一个精确的定义：

电子电流\(I\)是每秒进入导体截面的电子数。

在具有稳定电流流动的电路中，电子电流\(i\)在均匀厚度和成分的导线的每个部分中都是相同的（在下一章中，我们将了解原因）。 如果我们可以计算每秒通过电路中特定点的电子数，我们可以直接测量电子电流。 这很难做到，因此我们使用间接测量来确定导线中电子电流的大小。一种这样的间接测量涉及测量由移动电子产生的磁场。

当电子在导线中漂移时，它们会与原子核发生碰撞，这种“摩擦”会加热导线（并阻止电子越来越快地移动）。 加热和磁效应都与电子电流（每秒进入导线的电子数量）成正比。

\(\color{Goldenrod}检测磁场\)

我们可以使用磁罗盘作为磁场探测器。正如带电的隐形胶带片的偏转或永久电偶极子的扭转表明存在电场一样，罗盘指针的扭转表明存在磁场。

但这时候显然存在一个问题：你如何确定指南针不仅仅是对电场作出反应？

在观察指南针的行为时，我们发现：

• 指南针会受到靠近铁或钢物体的影响，即使这些物体是电中性的（因此会同时吸引带正电和带负电的磁带）。它也受到镍或钴的影响，尽管它们不太容易获得。

• 指南针不受由大多数其他元素（包括铝、铜、锌和碳）制成的物体的影响，而带电磁带与这些物体相互作用。

• 如果它不在由铁制物体附近，则指南针指向地球的磁北极，而带电物体和电偶极子都不会这样做。

如果你在指南针附近带一根载流电线
有趣的事情发生了：当电流在电线中流动时，指南针会偏转，但在电线与电池断开时不会。这种效应是丹麦科学家奥斯特在 1820 年偶然发现的。

从这样的实验中，可以得出以下结论：

• 由移动电子电流产生的磁场的大小取决于电流量。
• 没有电流在其中运行的电线不会产生磁场。
• 电流产生的磁场似乎与电流方向垂直。
• 导线下方电流产生的磁场方向与导线上方电流产生的磁场方向相反

\(\color{Goldenrod}BIOT-SAVART 定律：单一移动电荷\)

在库伦定律中，我们有：

\[\vec{E}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{|\vec{r}|^2}\hat{r} \]

单一移动电荷的BIOT-SAVART 定律：

\[\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec{v}\times \hat{r}}{r^2} \]

\(\vec{v}\)是点电荷的速度；\(\hat{r}\)是单位向量，从点电荷指向观察位置。

\(\color{Goldenrod}向量叉积\)

叉积是一种将两个向量组合以产生第三个向量的运算，该向量垂直于由原始向量定义的平面（图 17.10）。两个向量\(\vec{A}\)和\(\vec{B}\)的叉积写为\(\vec{A}\times \vec{B}\)。它的模长：

\[|\vec{A}\times \vec{B}|=|\vec{A}||\vec{B}|\sin \theta \]

你可以用右手测量方向：

\(\color{Goldenrod}单一运动粒子产生的磁场\)

假设载流导线中运动的带电粒子带负电，并沿图 17.15 所示的方向运动，会产生如图磁场。

\(\color{Goldenrod}相对论效应\)

磁场取决于您的参考系：

电场是由电荷产生的，无论是静止的还是移动的。 磁场似乎完全是由移动的电荷产生的——但请考虑以下奇怪的“思想实验”。
假设杰克坐在教室里，课桌边上贴着一条带电的隐形胶带。 由于带电的磁带，他当然可以观察到电场，但他没有观察到任何磁场。 他的指南针不受带电磁带的影响，因为这些电荷没有移动。

另一个人吉尔带着她自己非常灵敏的指南针在教室里高速跑过带电的磁带。 她观察到带电胶带产生的电场。 然而，此外，在她的参考系中，带电磁带正在移动，因此她观察到由于移动电荷而产生的小磁场，这会影响她的指南针！

而在这里\(\vec{v}\)具体怎么应用到BIOT-SAVART 定律，挖个坑，没有看懂。

\(\color{Goldenrod}电子运动和电流\)

观察由移动带电粒子产生的磁场的一种简单方法是启动和维持电流——带电粒子在一个方向上的连续流动。

假设在一根金属导线中，整个移动电子海具有平均“漂移速度”v。假设电流均匀分布在导线的整个横截面上。在很短的时间\(\Delta t\)之后，这部分电子海将向左漂移距离\(v\Delta t\)。

如果该导线的截面积为\(A\)，则在时间\(\Delta t\)内从该导线的左端流出（并流入相邻导线部分）的圆盘状海的体积 是\(Av\Delta t\)。

假设密度为\(n\)，那么总共有\(nAv\Delta t\)的电子，电子通过的速率为：

\[i=nAv \]

电流\(I\)定义为每秒通过的电荷量，则有：

\[I=|q|nAv \]

并且由于\(v=uE\)，有：

\[I=|q|nA(uE) \]

\(\color{Goldenrod}BIOT-SAVART 电流定律\)

让我们计算一下由长度为\(\Delta l\)、横截面积为\(A\)的细小导线中包含的一束移动正电荷引起的磁场。如果每单位体积有\(n\)个移动电荷，则在这个小体积\(A\Delta l\)中有\(nA\Delta l\)个移动电荷。我们将在距离这个小体积足够远的位置测量磁场，以使每个移动电荷在该位置产生大致相同的磁场。

\[\Delta \vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\Delta \vec{l}\times \hat{r}}{r^2} \]

同时容易得到：

\[\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec{v}\times \hat{r}}{r^2} \]

\(\color{Goldenrod}电流分布的磁场\)

对于红色部分，我们有：

\[\begin{aligned} &\vec{r}=\left\langle x,0,0\right\rangle-\left\langle 0,y,0\right\rangle=\left\langle x,-y,0\right\rangle\\ &|\vec{r}|=(x^2+y^2)^{1/2}\\ &\hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}=\frac{\left\langle x,-y,0\right\rangle}{(x^2+y^2)^{1/2}}\\ &\Delta \vec{l}=\Delta y\left\langle 0,1,0\right\rangle\\ &\Delta \vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\Delta \vec{l}\times \hat{r}}{(x^2+y^2)}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\Delta y\left\langle0,1,0\right\rangle}{(x^2+y^2)}\times\frac{\left\langle x,-y,0\right\rangle}{(x^2+y^2)^{1/2}} \end{aligned}\]

计算叉积，我们得到：

\[\left\langle0,1,0\right\rangle\times \left\langle x,-y,0\right\rangle=\left\langle 0,0,-x\right\rangle \]

我们最终结果是：

\[\Delta \vec{B}=-\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Ix\Delta y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \left\langle 0,0,1\right\rangle \]

每个段都会在\(z\)方向贡献一些磁场，因此我们仅需计算\(z\)分量：

\[\begin{aligned} B&=\frac{\mu_0}{4\pi}Ix\int_{y=-L/2}^{y=+L/2}\frac{dy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}Ix\left[\frac{y}{x^2\sqrt{x^2+y^2}}_{y=-L/2}^{y=+L/2}\right]\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{LI}{x\sqrt{x^2+(L/2)^2}}\\ \end{aligned}\]

且有：

\[B\approx \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I}{x}~\text{if} ~L\gg x \]

\[B\approx \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{LI}{x^2}~\text{if} ~x\gg L \]

\(\color{Goldenrod}一个圆形线圈\)

由于有对称性，\(\Delta B_{\perp}\)被抵消，化简得到我们有：

\[\Delta B_z=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IR^2\Delta \theta}{(R^2+z^2)^{3/2}} \]

整个圆圈的磁场为：

\[B=B_z=\int_{0}^{2\pi}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IR^2d \theta}{(R^2+z^2)^{3/2}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2\pi R^2I}{(z^2+R^2)^{3/2}} \]

且有：

\[B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2\pi R^2I}{z^3}~\text{if}~z\gg R \]

\(\color{Goldenrod}磁偶极矩\)

回忆沿电偶极子轴的电场方程，在距离偶极子距离\(r\)处：

\[E_{\text{axis}}\approx \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{2p}{r^3} \]

其中\(p=qs\)，类似的我们有：

\[B_{\text{axis}}\approx \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2\mu}{r^3} \]

其中\(\mu=IA\)，如果有\(N\)个环，\(\mu=NIA\)，这里\(A\)是环的面积（对于圆形环，\(A=\pi R^2\)）

\(\color{Goldenrod}条形磁铁的磁场\)

磁相互作用与电相互作用有一些相似之处：既可以观察到吸引也可以观察到排斥，叠加原理是有效的，并且相互作用穿过物质。但是，也存在一些重大差异。条形磁铁仅与铁或钢物体相互作用，而带电的隐形胶带与所有物体相互作用。磁铁可以是永久磁性的，但带电的隐形胶带或塑料笔会在相对较短的时间内失去电荷。两个带负电的物体总是相互排斥，而两个磁铁可能会排斥或吸引，这取决于它们的方向。

每个原子内部都有移动的带电粒子。在磁性材料中的原子中，这些亚原子“电流”可能会产生微小的磁偶极矩，这些磁偶极矩加起来会导致每个原子的非零磁偶极矩。

如图 17.46 所示，假设每个原子都有一个不成对的电子，它以恒定的速度沿着圆形路径围绕原子核运行。 每个轨道电子可以被认为是一个微小的电流回路，产生一个偶极子磁场。

第18章

\(\color{Goldenrod}电场和电流\)

根据动量原理，一旦物体处于运动状态，就不需要任何力来保持它以恒定速度运动。鉴于此，为什么需要电场来保持电流流动？

如果金属中的移动电子完全不与带正电的原子核的晶格相互作用，那么一旦电流开始，它就可以永远流动。但是，正如我们所观察到的，存在相互作用。移动的电子确实会向晶格失去能量，从而增加原子的热运动。我们通过观察导线变热来检测这一点——在某些情况下，热到足以发射可见光子。除非存在电场以在碰撞后反复增加移动电子的动量，否则它们的能量将很快消散（因为能量可以通过摩擦消散），电流将停止流动。

电子不能通过导线相互推动
问题有人可能会争辩说，在电路中，每个移动电子都会产生一个电场，该电场会影响它左侧的移动电子（“推”它的邻居），从而导致电流流动。鉴于我们对金属中移动电子海的描述，这种分析有什么问题？

正如我们之前所说，导体内部不可能有多余的电荷（我们稍后会看到这也适用于稳态以及平衡），因此金属线内的移动电子的数量密度必须等于正原子核的数量密度——导线内部是电中性的。左边的移动电子与右边的移动电子的排斥被相邻的正核的吸引力抵消了，因此其他移动电子和正核对移动电子的合力为零.结果是移动电子海的行为更像是一种理想气体，其中没有一个粒子与其他粒子相互作用。电子不能像豌豆一样从管子的一端通过管子不断地推动彼此通过电线。相反，一定是电线外某处的其他电荷在整个电线上形成电场，持续驱动电子电流。在我们分析的这一点上，尚不清楚这些电子的确切位置。

\(\color{Goldenrod}电路不同元件中的电场和漂移速度\)

我们通过实验证实，在稳态下，串联电路（没有并联支路的电路）各处的电流都是相同的。然而，我们知道电子电流 i 取决于导线的横截面积 A，因为 i = nAv。灯泡钨丝的截面积远小于电路中铜连接线的截面积。
为了简化对这种情况的思考，让我们首先考虑一个电路，其中一根导线引向另一根相同材料的较细导线（图 18.7）。

问题 细线中移动电子的漂移速度与细线中移动电子的漂移速度相比如何？
粗线？由于粗线和细线中的电流必须相同，因此细线中的电子漂移速度必须更大。

请注意，这与高速公路交通等“可压缩”流非常不同。在高速公路上，汽车的密度（它们彼此之间的距离）可能会有所不同。例如，当高速公路从两条车道变窄为一条时，汽车通常在狭窄区域行驶较慢，但相应地更靠近（更高密度）。因为金属中的电子海几乎是不可压缩的（它的密度不会发生显着变化），所以在稳定状态下，电子必须在狭窄区域中走得更快。铜中移动电子的密度 n 在两条导线中是相同的。

由于较细导线中的漂移速度必须更大，因此较细导线中的电场也必须更大。

\(\color{Goldenrod}电线中的电场方向\)

在每个位置都与电线平行——即使电线曲折

\(\color{Goldenrod}证明电线内的磁场和电流是均匀的\)

由于电场与电线平行，根据往返电势差为零，可以证明任意位置电场强度相等，由于漂移速度与\(E\)成正比，在稳态下，我们发现电流确实均匀分布在横截面上。这个结果只适用于均匀的横截面和均匀的材料。

\(\color{Goldenrod}是什么电荷使电线内部产生电场？\)

我们得出结论，在稳态电路中：
导线中必须存在非零电场。
E 的大小必须在整个均匀交叉的导线中相同
截面和材料。
每个位置的电场方向必须沿着导线，因为电流沿着导线流动。

考虑一个非常简单的电路，它由一个用长电线连接到电池的灯泡组成（图 18.12）。我们得出的结论是，金属灯泡灯丝内部一定有一个电场，迫使电子通过灯丝，将其加热到发光。由于电场是由电荷产生的，因此在某处必须有多余的电荷才能在电路中的导线内产生电场。这些费用可能在哪里？什么样的电荷分布可以产生沿着导线的电场模式？

导体内部是否有多余的电荷？

灯泡灯丝和电线是导体，因此灯泡灯丝和电线内部不会有多余的电荷。在这些金属物体中，有相同数量的移动电子和正原子核。多余的电荷不能在电线内部，因此它们必须在其他地方。

电池是否有多余的电量？

有人可能会合理地假设产生电场的电荷在电池内部和电池上，因为这是电路中的有源元件。也许电池的 + 端有 + 电荷，而 - 端有 - 电荷？在这种情况下，电池产生的场将类似于偶极子的场。

问题 假设灯泡距离电池 10 厘米，并且发亮（图 18.12）。将灯泡移动到距离电池约 1 厘米的位置，让电线弯曲（图 18.13）。非常粗略地说，在这个更近的位置，电池产生的电场大约有多大？

问题 既然电池在灯泡灯丝位置产生的电场已经增加了 1000 倍左右，那么灯泡带中的电流会发生什么变化？灯泡的亮度会怎样？

对于普通金属，电子电流与电场成正比：i = nAv = nAuE。因此，电子电流应该增加大约 1000 倍。灯泡应该比以前亮得多！然而这并没有发生。正如您在使用简单电路时所见，移动灯泡对灯泡亮度或指南针指示的电流量完全没有影响。

“电池充电”假设的另一项测试也失败了。为了驱动电流通过灯泡灯丝，电场必须有一个平行于灯丝的分量。然而，如果您旋转灯泡，您不会看到灯泡亮度有任何变化（图 18.14）。如果负责产生电场的电荷仅在电池内部和电池上，旋转灯泡应该会对亮度产生很大影响——灯泡甚至可能会熄灭。

灯泡在向电池移动时不会变亮，并且在旋转时不会熄灭，这证明了电池内和电池上的电荷不能成为灯泡灯丝中电场的唯一贡献者。其他地方一定有其他电荷（这些电荷不能在电线或灯泡丝内，或者，那里没有净电荷，平均超过几个原子直径）。这是非常令人费解的。

电池产生的场

图示表面电子的移动，那么对应其应有的电场发现，显然在位置\(3\)、\(4\)、\(5\)，电池的场强不会导致如此。我们被迫得出结论，在稳态中，一定有其他电荷对净电场有贡献，使得电场指向上游各处

导线表面的电荷积聚

请记住，金属内部的移动电子海中的电子实际上不会相互作用，因为它们的相互排斥平均会被正原子核的吸引力抵消，因此它们不能通过导线相互推动。其他一些电荷必须对负责推动电子通过导线的电场有所贡献。

如果板上只有电荷，则电子电流将从两个相邻部分流向左弯。在这里，我们有一段电线，其中有电子电流流入但没有流出。

问题 这会对电线的这一部分产生什么影响？
尽可能具体，记住电线是由金属制成的。说明你对图 18.16 副本的想法。
如果电子从两端流入一段导线，该部分将获得负电荷。由于导线由金属制成，电子可以自由移动，所有多余的电荷都会移动到导线的表面。在第 14 章中，我们断言多余的电荷会到达金属表面。这种说法是有道理的，因为金属内部的多余电荷相互排斥朝向表面。
更准确地说，过量的负电荷使移动电子海膨胀，使得一些海露出表面，产生负表面电荷。
过多的正电荷使电子海收缩，使正核能够从表面窥视。要严格证明所有多余的电荷都会到达金属表面，需要高斯定律，我们将在第 21 章进行研究。
因此，负电荷积聚在左弯的表面上。

\(\color{Goldenrod}反馈\)

考虑一个直线段，它在某些时候输入的电子电流比输出的电子电流多，导致在这部分导线的表面上积聚过多的负电荷。
这种表面电荷积累将趋于平衡输入和输出电子电流。这段导线的外表面变得更负，而这种负表面电荷往往会阻碍进入的电子并趋于加速离开的电子，从而使进入和离开的电子电流 i = nAv 更接近彼此相等。这个反馈过程将一直持续到两个电流完全相等。到那时，表面电荷不会有进一步的变化。

问题 如果输入的电子电流小于输出的电流，这部分导线的外表面会发生什么？

在这种情况下（图 18.45），这部分导线变得更正，这加速了进入的电子并减慢了外出的电子，因此进入的电子电流增加而外出的电子电流减少。同样，这种反馈机制的作用是使流入和流出一段电线的电流均衡。
因此，无论输入电流和输出电流之间如何平衡，由于表面电荷变化的自动反馈机制，这两个电流将很快彼此相等。之前您看到，在稳态下，串联电路中各处的电流都是相同的。现在您可以看到反馈机制如何创建和维持这种稳定状态。

\(\color{Goldenrod}电阻\)

与将电阻器连接到电池的粗线相比，对电流的抵抗力。
对于包含电阻器的电路的简单示例，我们将再次考虑电池和高电阻镍铬合金线，但我们将使镍铬合金线的一部分比线的其余部分细得多（图 18.47）。我们将狭窄的部分称为“电阻器”，有两条粗线将电阻器连接到电池。
在连接电路之后但在建立稳态表面电荷之前，窄电阻器中的电场可能暂时与相邻粗线中的电场大致相同，导致两个部分的漂移速度 v 相当.然而，每秒试图进入电阻器的电子数是大数 nAthickv，而每秒通过电阻器的电子数是小数 nAthinv，因此电子堆积在位置 3，即电阻器的入口处。 （请记住，导线和电阻器中的移动电子密度 n 相同，因为在我们的示例中它们都是由镍铬合金制成的。）

类似地，电子不足或 + 电荷在位置 4（电阻器的出口）处累积，因为与从电阻器中移除电子的粗线中的电子电流相比，每秒从电阻器中出现的电子数量很小。
地区。

问题稍后，在稳态下，粗线中的电子电流与电阻器中的电子电流相比如何？
为什么？
一旦建立了稳定状态，电流必须变得相同。矛盾的原因：如果电流在稳态下不一样，表面电荷会在电阻器上积聚，这意味着我们还没有达到稳态。电荷堆积起来，直到电阻器中产生的增加的电场提供足够高的漂移速度以产生等于粗线中的电子电流的电子电流。一旦这两个电流相同，就不会再发生堆积。

\(\color{Goldenrod}并联\)

由于环的电位差为零，对并联上两部分作两个环，不经过彼此，其他部分重叠，这两个环均为零，作差得到并联部分电位相等。

\(\color{Goldenrod}什么决定了灯泡的亮度？\)

对于由于电场 E 而通过长度为 L 的导线的每个电子，系统的电势能（电子加导线）减少量 eΔV = eEL。这种电势能的损失等于电子动能的增加，电子在与导线中的原子碰撞中消散，从而增加了导线的热能和温度。随着电线温度的升高，能量传递到周围环境的速率以发光的形式增加。一旦温度足够高以至于发射能量（作为光）的速率变得等于导线中能量耗散的速率，导线的温度就会停止上升。

第19章 电路元件

\(\color{Goldenrod}电容\)

电容的定义：

\[Q=C|\Delta V| \]

证明在具有面积\(A\)和间距\(s\)的平行板电容器中\(C=(\varepsilon_0 A)/s\)：

间隙中的电场为：

\[E=(Q/A)/\varepsilon_0 \]

故势能为：

\[|\Delta V|=[(Q/A)/\varepsilon_0]s \]

这表明

\[C=Q/|\Delta V|=(\varepsilon_0A)/s \]

\(\color{Goldenrod}电路中的电容器\)

包含电容器的电路表现出一种可称为“准稳态”的行为。电容器电路中的电流在短时间内大致稳定，但只是大致上：电流缓慢减小并最终变为零——达到平衡。

我们能够根据电容器的边缘场与其他电荷（电池电荷和表面电荷）的电场竞争来理解电容器电路的行为。电容器上的电荷越多，边缘场越大。当对电容器充电时，当电容器上的电荷如此之多以至于边缘场大到足以抵消对电场的其他贡献时

\(\color{Goldenrod}电池\)

我们一直将电池视为理想的设备：也就是说，就好像它们总是设法在自身之间保持相同的电位差，而不管它们连接到什么。然而，由于“内阻”——电池本身对电流通过的电阻，真正的电池并不能完全成功地保持与电池电动势相等的电位差。我们将展示一个真正的电池可以建模为与电池内阻串联的理想无电阻电池再次考虑我们的机械“电池”，该电池由两个大充电板组成，其电荷通过在电池上传输电子不断补充传送带从 + 板到 - 板。
电机驱动皮带上的电子受到电机施加的非库仑力 FNC 和板上电荷施加的库仑力 \(\vec{F}_C = -e\vec{E}_C\) 的作用。这两种力量相互对立（图 19.31）。

\(\color{Goldenrod}交流和直流\)

由电池和电阻组成的电路中的稳定恒定电流称为“直流电”。落地灯等家用电器使用“交流电”。墙上插座的两个插槽提供正弦变化电压。（出于安全原因，第三个墙壁插座连接接地。）在包括美国在内的许多国家/地区，频率为 \(60 \text{Hz}\)（\(60\) 赫兹意味着每秒 \(60\) 个正弦波周期，周期 \(T = 1/60 s\)）。许多其他国家，包括欧洲国家，使用 \(50 \text{Hz}\) 交流电。
由于下面讨论的原因，所谓的“\(110\) 伏交流电”实际上是在 \(-155\) 伏和 \(+155\) 伏之间正弦变化的电压。

尽管白炽落地灯中的电流呈正弦曲线上升和下降，但由于两个原因，灯光似乎不会闪烁。
首先，人类很难感知每秒发生 \(50\) 或 \(60\) 次的闪烁。例如，电影以每秒 \(24\) 张静态图片的形式呈现，但你感知的是连续图像。
其次，白炽灯泡灯丝的温度不能快速变化；在 \(60 \text{Hz}\) 周期的一小部分中，灯丝没有时间冷却。但是，使用荧光灯时，光是与施加的电压同步，是以非热方式产生的，如果你在通过手指注视灯时快速来回摆动手指，可能会看到类似频闪的手指图像。

在 \(-155 V\) 和 $+155 V $之间变化的正弦曲线被称为“110 伏交流电”的原因是它在一秒钟内提供的能量与恒定的 $110 V $相同。

我们有电压\(\Delta V=\Delta V\max \cos(\omega t)\)。我们将对一个周期内的瞬时功率进行积分（周期\(T\)和\(\omega=2\pi/T\)），并查看在一个周期内向电阻器\(R\)传递了多少能量：

\[\begin{aligned} \text{energy}&=\int_0^T \frac{\Delta V^2}{R}dt\\ &=\frac{\Delta V_{\text{max}}^2}{R}\int_0^R \cos(\omega t)^2dt\\ &=\frac{\Delta V_{\text{max}}^2}{R}\int_0^T \frac{1}{2}[1+\cos (2\omega t)]dt\\ &=\frac{\Delta V_{\text{max}}^2}{R}\frac{1}{2}T\\ \end{aligned}\]

平均功率：

\[\frac{1}{2}\frac{\Delta V_{\text{max}}^2}{R} \]

\(\color{Goldenrod}金属的电子\)

你有没有问过自己，为什么金属中可移动的带电粒子是电子，不是质子呢？

托尔曼和斯图尔特在 1916 年至 1917 年进行了一种实验，结果表明金属中的移动电荷载流子确实是电子，这在他们的实验之前是不确定的。

假设我们加速了一根金属棒，这意味着我们加速了彼此绑定的原子核。
平均而言，移动电子通常感觉不到力；移动电子的相互排斥被原子核的吸引力有效地抵消了。因此，当条形核和原子核加速时，移动电子被抛在后面。
结果，它们堆积在金属棒的尾端。这使棒极化，后表面带负电荷，前表面带正电荷（电子缺失）。
表面电荷在左侧产生电场\(E\)，这意味着在金属内部的电子上存在向右的力\(eE\)。
随着极化的增加，\(E\)增加，直到电动力\(eE\)等于电子质量乘以金属棒的加速度，此时移动电子的加速度与棒的加速度匹配，然后极化不再增加。

他们使用电压表测量了金属棒一端到另一端的电位差\(\Delta V\)。条形左端的电位较低，这表明移动电荷载流子是负的。这是非常有力的证据，证明金属中的电流由移动的电子组成。

尽管该实验没有给出移动粒子的电荷和质量的单独值，但它确实提供了比率\(q/m\)的测量值。

若金属棒长度是\(L\)，用测量值\(a\)和\(\Delta V\)可以表示\(q/m\)：

\[\frac{q}{m}=\frac{aL}{\Delta V} \]

第20章：磁力

\(\color{Goldenrod}磁力\)

先回忆一下Biot–Savart定律：

\[\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec{v}\times \hat{r}}{r^2} \]

\[\Delta \vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\Delta \vec{l}\times \hat{r}}{r^2} \]

在本章中，我们将研究磁场的影响。 通常我们的分析需要两个步骤：首先，找到由移动电荷或电流形成的位置的场，其次，找到该场对不同移动电荷的影响。正如电荷产生的电场不会影响源电荷本身一样，移动电荷产生的磁场也会影响其他移动电荷，而不是源电荷。

实验表明：

对于一个移动的电荷，\(\vec{B}\)是施加的磁场，所受到的力为：

\[\vec{F}_{\text{magnetic}}=q\vec{v}\times \vec{B} \]

根据这个方程，当你把一块带电荷的隐形胶带靠近磁铁时，它应该受到磁力的作用。
然而，带电磁带使金属极化，使其间有电力，磁力与电力相比非常小。

同时能得到：

\[\begin{aligned} &|\frac{d\vec{p}}{dt}|=qvB\sin \theta\\ &|\frac{d\vec{v}}{t}|=\frac{q}{m}vB\sin \theta(v\ll c) \end{aligned}\]

\(\color{Goldenrod}磁场中的圆周（或螺旋）运动\)

如果有足够大的均匀磁场区域，电荷可以绕一圈又一圈运动，电子轨迹的弯曲部分是圆弧（如果磁场相当均匀）。磁场中带电粒子的圆形轨道还有许多其他例子，包括粒子加速器中的粒子轨迹，以及产生北极光的高空电子在地球磁场中的轨道。

在图 20.4 中，质子以速度\(v\)在大范围内均匀垂直向上的磁场中水平运动（忽略小得多的重力影响）。磁力\(F=q\vec{v}\times \vec{B}\)垂直于速\(\vec{v}\)，这意味着磁力会改变速度的方向而不改变速度的大小（速度\(v\)），并且磁力不做功在这个情况下。如果运动不是水平的，平行于磁场的速度分量不会改变，因此粒子的路径将是螺旋（螺旋）而不是圆形。

\(\color{Goldenrod}任意速度的圆周运动\)

我们来研究一下以任意速度（包括接近光速）下的圆周运动状态：

回想一下我们有：

\[|\frac{d\vec{p}}{dt}|=p(\frac{v}{R})~(p=\gamma mv) \]

同时有\(v/R\)等于角速度\(\omega\)，故：

\[p(\frac{v}{R})=\omega p=\omega \gamma mv \]

由于\(\vec{F}=q\vec{v}\times B\)，故：

\[\omega \gamma mv=|q\vec{v}\times \vec{B}| \]

在\(\vec{v}\)与\(\vec{B}\)垂直下时，有：

\[\omega \gamma mv=|q|vB \]

\[\omega =\frac{|q|B}{\gamma m} \]

\(\color{Goldenrod}确定粒子的动量\)

在已知磁场的区域，我们可以通过测量其在磁场中运动的曲率半径来找到已知电荷的粒子（即使是以接近光速的速度行进的粒子）的动量。

\[|\frac{d\vec{p}}{dt}|=p(\frac{v}{R})=|q|vB~~~~\text{at~any~speed,so}~~~~p=|q|BR \]

\(\color{Goldenrod}通电导线上的磁力\)

我们通常对施加在通过电路中导线的大量电荷上的磁力感兴趣。 因为系统（导线）上的净力是作用在其各个组件上的所有力的总和，所以将这些力相加将得出整根导线上的净力。

让我们计算一下长度为\(\Delta l\)、横截面积为\(A\)的小体积中包含的一束移动正电荷的磁力。 它们的平均漂移速度\(\vec{v}\)。 如果每单位体积有\(n\)个移动电荷，则在这个小体积中有\(nA\Delta l\)个移动电荷。

那么所受的力为：

\[(nA\Delta l)(q\vec{v}\times \vec{B})=(qnAv)(\Delta \vec{l}\times \vec{B})=I\Delta \vec{l}\times \vec{B} \]

\(\color{Goldenrod}运动电势\)

磁场对载流导线施加力。电线移动，通过磁场，使电流在电线中流动，这提供了一种通过机械功发电的方法。

初始瞬态：极化发展 考虑一个长度为\(L\)的金属棒，它正在穿过一个均匀磁场区域\(\vec{B}\)。 因为移动金属棒内的移动电子向右移动，所以它会受到磁力。

移动棒上的磁力使棒极化，使其在顶部变为负，在底部变为正。结果，金属内部有一个向上的电场\(\vec{E}\)（图 20.26）。由于该电场以及磁力，金属内部的移动电子受到电场力的影响。

极化一直持续到电场变得如此之大以至于净向上力 (\(evB-eE\)) 为零。因此在稳定状态下，我们有\(E=vB\)。

\(\color{Goldenrod}运动电动势可以驱动电流\)

这看起来像一个电池，因为从一端到另一端的电荷分离是通过非库仑力来维持的，在这种情况下是磁力。

要详细了解运动电动势，我们将从静止开始，因此没有电动势也没有电流，我们将逐步推理。首先，您向右侧施加一个\(F\)大小的力以开始杆移动。

因为金属中移动电子上的净电力实际上为零，所以当棒开始向右移动时发生的第一件事是移动电子被抛在后面。如图 20.29 所示，棒几乎瞬间变得极化。现在移动电子上有一个非零的电力，由于棒已经极化，所以电子开始向右移动。

此时，由于我们的移动\(v_{\text{bar}}\)，会产生一个\(+y\)方向上向上的磁力\(F_{\text{mag,y}}=ev_{\text{bar}}B\)，此时它的速度用矢量速度写：\(\vec{v}_{\text{electron}}=\left\langle v_{\text{bar}},v,0\right\rangle\)

此时又\(\vec{F}_{\text{mag}}=-e\vec{v}_{\text{electron}}\times \vec{B}=\left\langle -evB,ev_{\text{bar}}B,0\right\rangle\)

在力\(F\)施加到棒上时，棒上的净力的\(x\)分量为\(F_{\text{net},x}=F-NevB\)（\(N\)是棒上移动电子的数量）

只要\(F_{\text{net},x}\)不为零，棒将继续向右移动，更高的速度意味着磁力的垂直分量更大，增加了电子速度的分量\(v\)，继而向左的力\(NevB\)更大。

随着时间的推移，作用在杆上的净力越来越小。最终，净力变为零，杆以恒定速度移动。当继续拉的时候，产生的效果是电荷分离。

磁力从棒的一端移动到另一端所做的功是\(ev_{\text{bar}}BL\)，那么电动势为\(ev_{\text{bar}}BL/e=v_{\text{bar}}BL\)。

在以地球为惯性的系统中，棒中的电子的移动实际上是向右上角。
有趣的是，虽然磁力的垂直分量对移动电子做正功，但水平分量做功，总功为零，这与以下事实一致：磁力总是垂直于电子的速度。

\(\color{Goldenrod}移动参考系中的磁力\)

移动电荷产生的磁场取决于电荷的速度，这导致了一个奇怪的结果，即静止的鲍勃可能会观察到与移动的爱丽丝看到的不同的磁场。假设 Bob 持有一个固定电荷，它当然会产生纯电场而没有磁场。如果爱丽丝从鲍勃身边跑过，她会看到由对她来说是移动的电荷产生的电场和磁场的混合。

我们考虑一种简单情况：

两个移动的质子

我们现在可以对这些奇怪的影响进行详细的计算。 我们将考虑两个质子最初以相同的速度\(v\)平行移动，相距\(r\)，电力：

\[F_{\text{21,e}}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2} \]

此时质子\(1\)对质子\(2\)施加的磁力如图

\[\vec{B}_1=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q_1\vec{v}_1\times \hat{r}}{r^2} \]

\[\vec{F}_{\text{21,m}}=q_2\vec{v}_2\times \vec{B}_1=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{e^2v^2}{r^2} \]

\[\begin{aligned} \frac{\vec{F}_{\text{21,m}}}{F_{\text{21,e}}}&=\frac{\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{e^2v^2}{r^2}}{\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}}\\ &=\frac{v^2}{\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}/\frac{\mu_0}{4\pi}}\\ &=\frac{v^2}{9\times 10^9/1\times 10^{-7}}\\ &=\frac{v^2}{(3\times 10^8)^2}\\ &=\frac{v^2}{c^2} \end{aligned}\]

这是一个非常意外的惊喜，光速为什么出现在这里？

该结果表明在普通速度（\(v\ll c\)）下，两个带电粒子之间的磁相互作用比电相互作用弱得多。 但是，如果\(v\)接近光速\(c\)，则磁力可能与电力相当。 尽管在低速时磁力与电力相比本质上是弱的，但磁力在许多工业应用中更为重要，因为载流导线上的磁力通常远大于导线上的电力，因为导线的电荷几乎为零（忽略少量的表面电荷）。

磁相互作用比电相互作用小，则其展现为排斥，磁力较小的事实可能看起来无害，但它产生了惊人的后果。
假设 Bob 坐着不动，看到质子经过。质子沿着弯曲的路径相互排斥，磁效应稍微减弱了力。
假设 Alice 在质子旁边以与质子最初的速度相同的速度运行。她看到两个质子彼此分离。排斥是纯电的，这种电排斥没有减弱（电子没有相对移动）。

让Alice和Bob都使用精确的计时器来测量质子撞击房间地板和天花板所需的时间，从地板和天花板的中间开始。考虑到垂直加速质子的力的不同，哪个观察者会测量出更短的质子到达地板和天花板的时间？

Alice看到了纯电排斥，而Bob看到了电排斥部分地被磁吸引力抵消了。举一个具体的例子，假设 Bob 的计时器在这个过程中提前了 20 ns。Alice的计时器可能只提前 15 纳秒（如果 v 是光速的很大一部分），这与她的观察相对应，即质子由于更大的排斥力而在更短的时间内到达地板和天花板。

但这太疯狂了！爱丽丝和鲍勃肯定不会为同一个过程测量不同的时间，不是吗？正是爱因斯坦对这个和相关的悖论进行了非常深入的思考，并得出结论，这很违反常识，Alice的计时器对Bob来说似乎比他自己的计时器跑得慢！

这听起来完全荒谬，但各种各样的测量都同意爱因斯坦的激进提议，即不同观察者的时间以不同的速率运行。爱因斯坦被驱使到这些奇怪概念的原因之一是，当他提出狭义相对论（1905 年）时，很明显，现有的电学和磁学理论似乎导致了悖论，正如我们所见在 Alice 和 Bob 的观察中。事实上，爱因斯坦 1905 年关于相对论的论文的标题是“论运动物体的电动力学”。
Bob 观察到的净力（电减磁）总是小于 Alice 观察到的纯电动力，Alice 和 Bob 在质子分开需要多长时间以及他们的计时器是否正确标记时间方面​​存在分歧。然而，爱丽丝和鲍勃都可以正确预测在质子撞击地板和天花板期间他们自己的计时器将提前多少。

我们计算的细节是不正确的，因为没有考虑到场的相对论方面。快速移动电荷的电场和磁场都不同于库仑定律和 Biot-Savart 定律对慢速移动电荷给出的场。然而，两个场都被相同的因子\(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\) 修改，因此对于所有速度，磁力与电力的比率都等于\(v^2/c^2\)。 Alice 和 Bob 对于同一个过程确实会观察到不同的时间。

\(\color{Goldenrod}磁偶极子\)

挖坑

\(\color{Goldenrod}发电机和马达\)

挖坑

\(\color{Goldenrod}空气中产生火花\)

当你拨动开关、拔下电源线或将粘在干衣机中的衣服分开或在冬天将毯子从床单上拉开时，你可能偶尔会看到火花。在火花中，电荷从一个物体转移到另一个物体。空气中怎么会产生这样的火花？

要解释一个火花，我们必须解释现象的这些方面：
电荷如何在空气中移动？
为什么火花只能持续很短的时间？
为什么会发光？
最后，空气怎么会被电离？

假设我们有两个金属球，一个带负电，一个带正电。 当两个球靠在一起（但不接触）时，它们之间会产生火花。 这是如何以及为什么会发生的？

模型 2：正离子和电子在电离空气中移动
如果空气中的许多氧和氮分子被电离，我们就会得到一种由带电粒子组成的气体，所有这些都可以自由移动。
换句话说，空气现在将包含自由电子和正 N2+ 和 O2+ 离子，因此将成为导体。暂且不谈空气如何电离的问题，让我们考虑电离空气中电荷转移的机制。就像在金属线上一样，现在有一个移动带电粒子的“海洋”。

问题 图 20.59 中的电子会朝哪个方向移动？正离子会朝哪个方向移动？
电离空气中的所有自由电子都将与电场相反，朝着带正电的球移动。正离子海将被电场驱向带负电的球。
问题 负面球如何变得不那么负面？积极的球如何变得不那么积极？
当附近的正离子与负球接触时，它们可以获得电子，再次形成中性分子。因此，负球变得不那么负了。正极球附近的自由电子可以与球接触并加入金属中的自由电子海，使球的正极性降低。

问题 是否有任何粒子从一个球跳到另一个球？
不，因为每个球附近都有大量带电粒子，自由电子和正离子的海洋只需要移动很小的距离即可提供足够的电荷来中和两个球。
模型 2（电离空气）似乎明显优于模型 1（跳跃电子），因为在电离空气模型中，没有粒子的传播距离超过一个平均自由程。不过，我们仍然需要回答空气如何电离的问题；我们很快就会回到这个

为什么火花只持续很短的时间？
假设空气可以以某种方式被电离（我们还没有解释如何），有大量的移动电子和离子，接下来会发生什么？电子向正极球漂移，而正离子向负极球漂移（慢得多）。由于低质量电子移动得更快，电离空气的传导方式与金属中的导电方式非常相似。有一个自由电子“海洋”在空气中飘荡。单个电子有一种“起停”运动，它被加速直到它与分子碰撞并几乎停止，然后再次加速。这种加速的“启停”运动具有一定的平均速度，称为“漂移速度”。请注意与金属中移动电子的 Drude 模型的相似性。
问题 当电子与正极金属球碰撞时会发生什么？球之间空气中的电场是否发生变化？
电子填充带正电的金属球中的电子缺陷，使球带正电较少。结果，球体之间空气中所有位置的电场强度略有下降。
问题 当离子与负金属球碰撞时会发生什么？离子会发生什么？球之间空气中的电场是否发生变化？
离子可以从带负电的金属球中拾取一个多余的电子，离子变成普通的中性空气分子。带负电荷的球现在带负电荷较少。同样，结果是，球体之间空气中所有位置的电场强度略有下降。
我们稍后会看到为什么只要整个空气区域的电场大于约 3×106 V/m，空气就会保持高度电离，但如果电场变得太小，离子和电子相互复合，气体不再是导体。
问题 为什么火花只持续很短的时间？
两个金属球上的多余电荷迅速减少到不足以产生足够大的电场以使空气保持高度电离的量，然后火花熄灭。但是，如果您通过将金属球连接到电池或电源来不断地为金属球充电，您可能能够保持稳定的火花。一个引人注目的例子是探照灯或商业电影放映机（“碳弧”灯）中两个碳电极之间保持的非常明亮的火花。一个更温和的例子是在霓虹灯中看到的持续发光，其中包含低压霓虹灯。

模型 2：正离子和电子在电离空气中移动
如果空气中的许多氧和氮分子被电离，我们就会得到一种由带电粒子组成的气体，所有这些都可以自由移动。
换句话说，空气现在将包含自由电子和正 N2+ 和 O2+ 离子，因此将成为导体。暂且不谈空气如何电离的问题，让我们考虑电离空气中电荷转移的机制。就像在金属线上一样，现在有一个移动带电粒子的“海洋”。

问题 图 20.59 中的电子会朝哪个方向移动？正离子会朝哪个方向移动？
电离空气中的所有自由电子都将与电场相反，朝着带正电的球移动。正离子海将被电场驱向带负电的球。
问题 负面球如何变得不那么负面？积极的球如何变得不那么积极？
当附近的正离子与负球接触时，它们可以获得电子，再次形成中性分子。因此，负球变得不那么负了。正极球附近的自由电子可以与球接触并加入金属中的自由电子海，使球的正极性降低。

问题 是否有任何粒子从一个球跳到另一个球？
不，因为每个球附近都有大量带电粒子，自由电子和正离子的海洋只需要移动很小的距离即可提供足够的电荷来中和两个球。
模型 2（电离空气）似乎明显优于模型 1（跳跃电子），因为在电离空气模型中，没有粒子的传播距离超过一个平均自由程。不过，我们仍然需要回答空气如何电离的问题；我们很快就会回到这个

为什么火花只持续很短的时间？
假设空气可以以某种方式被电离（我们还没有解释如何），有大量的移动电子和离子，接下来会发生什么？电子向正极球漂移，而正离子向负极球漂移（慢得多）。由于低质量电子移动得更快，电离空气的传导方式与金属中的导电方式非常相似。有一个自由电子“海洋”在空气中飘荡。单个电子有一种“起停”运动，它被加速直到它与分子碰撞并几乎停止，然后再次加速。这种加速的“启停”运动具有一定的平均速度，称为“漂移速度”。请注意与金属中移动电子的 Drude 模型的相似性。
问题 当电子与正极金属球碰撞时会发生什么？球之间空气中的电场是否发生变化？
电子填充带正电的金属球中的电子缺陷，使球带正电较少。结果，球体之间空气中所有位置的电场强度略有下降。
问题 当离子与负金属球碰撞时会发生什么？离子会发生什么？球之间空气中的电场是否发生变化？
离子可以从带负电的金属球中拾取一个多余的电子，离子变成普通的中性空气分子。带负电荷的球现在带负电荷较少。同样，结果是，球体之间空气中所有位置的电场强度略有下降。
我们稍后会看到为什么只要整个空气区域的电场大于约 3×106 V/m，空气就会保持高度电离，但如果电场变得太小，离子和电子相互复合，气体不再是导体。
问题 为什么火花只持续很短的时间？
两个金属球上的多余电荷迅速减少到不足以产生足够大的电场以使空气保持高度电离的量，然后火花熄灭。但是，如果您通过将金属球连接到电池或电源来不断地为金属球充电，您可能能够保持稳定的火花。一个引人注目的例子是探照灯或商业电影放映机（“碳弧”灯）中两个碳电极之间保持的非常明亮的火花。一个更温和的例子是在霓虹灯中看到的持续发光，其中包含低压霓虹灯。

为什么要放光？
是什么导致了我们看到的火花发出的光（为什么会发出光子）？ 实际上，光的发射是空气电离的一种副作用。 有时，自由电子足够靠近正离子（不一定是原始离子）以被吸引并与离子重新结合以形成中性分子。 当自由电子和离子复合时（图 20.60），从高能非束缚态（自由电子和离子）转变为低能束缚态（图 20.61），发射光子。

重要的是要了解光的发射与通过电离空气的电荷传导同时进行。 我们稍后会看到，只要施加的电场足够大，中性分子就会不断地被电离，同时一些自由电子和离子会重新结合形成中性分子（伴随着光的发射）。
虽然我们看到的光是火花最明显的方面，但光基本上可以被认为是气体传导的副作用。
我们现在已经看到了电离气体中火花的主要方面。 火花通常被称为“气体放电”，净电荷为零的高度电离气体称为“等离子体”。 等离子体物理学是当代研究的一个重要领域。

仍然存在一个大问题，首先气体是如何电离的？这是其余部分的主题。

空气是如何被电离的？两种型号

实验观察到，大约 3 × 106 V/m 的电场足以电离空气并使其成为导体。我们将尝试提出这个过程的模型。为了确定我们的模型是否是一个好的模型，我们将模型的预测与实验观察进行比较——特别是临界场值为 Ecrit = 3×106 V/m 的观察。
正如我们对空气中传导模型所做的那样，我们将探索两种不同的可能模型来了解空气如何被电离。首先，我们将检查一个看似合理的模型，然后证明这个电离模型不起作用。同样，即使您不知道正确的解释是什么，通常也可以排除提出的解释，这是科学的一个重要而强大的方面。在放弃第一个电离模型之后，我们将讨论另一个解释火花许多方面的模型。

模型 2A：强电场将电子从分子中拉出
由于原子或分子被电场极化，我们可以假设 3 × 106 V/m 的电场大到足以将一个电子完全拉出空气分子，从而产生一个正离子和一个自由电子。 让我们检查一下这个模型。
问题 了解你对原子的了解后，估计需要多大的电场才能将外层电子从中性原子中剥离出来。
如果您无法进行此计算，请再考虑一下，然后再继续阅读。 你真的知道足够的知识来做这个计算。 特别要记住，原子的半径约为 1×10−10 m。 为简单起见，您可能需要考虑氢原子。

您知道球形带电物体的作用类似于点电荷（在球体之外）。 想象一个外层电子被原子的其余部分吸引，它的电荷为 +e（图 20.62）。 作用于外层电子的 +e 电荷所产生的电场为

\[E=1.4\times 10^{11}\text{V/m} \]

其中 \(r = 1×10^{−10} m\) 是原子的近似半径。 我们必须至少施加那么大的场才能将外层电子从原子中拉出。
实验观察到的 \(3 × 10^6 V/m\) 场与我们的模型预测的电场值之间的巨大差异
必须使原子电离意味着我们可以排除外加电场直接使原子电离的可能性。 这是科学优势之一的一个很好的例子：即使我们无法找到更好的解释，通常也可以排除为一个过程提出的模型。
排除了外加电场直接原子电离后，我们还能想到什么其他过程？

模型 2B：快速移动的带电粒子敲击电子
脱离原子 将空气电离需要一个戏剧性的事件，因为它需要非常大的力才能将电子从空气分子中剥离出来。与原子或分子碰撞的快速移动的带电粒子可以敲除一个电子，留下一个单独电离的离子。如此高能的带电粒子从何而来？恰巧，此时此刻，有快速移动的带电粒子穿过你的身体，电离了你体内的一些原子和分子！其中一些带电粒子是宇宙射线在大气层顶部的核反应中产生的“μ子”。其他是电子、正电子或 α 粒子（氦核），它们是由您体内和周围物质中微量存在的放射性同位素发射的。
这个过程是一些潜在危险事件的原因。 DNA 中的中性原子突然变成离子会导致生化破坏和基因突变。快速移动的带电粒子通过计算机芯片中微小且非常敏感的组件可能会改变内存位，从而产生潜在的灾难性后果。为了防范此类灾难，DNA 和计算机电路都内置了检查功能，以试图补偿由于高速带电粒子不可避免地通过而造成的损害。

来自外太空的入侵者

“宇宙射线”主要由来自太阳系外的高能质子组成，撞击地球上层大气中的分子核。 由此产生的核反应会产生其他粒子的喷雾。 这些反应的许多产物是质子、中子和介子等粒子，它们与空气分子中的其他原子核相互作用非常强烈。 出于这个原因，这些粒子通常不会穿过高层大气很远。 能够穿透大气层并到达地球表面的主要是正负μ子（μ+和μ-）和中微子。

电子、μ子和中微子不通过强相互作用与原子核相互作用。带电的电子和μ子确实与原子和原子核发生电相互作用。电子的质量很小，以至于它们会发生很大的偏转，并且不会在空气中传播很远。介子本质上只是大质量电子，除了质量约为电子质量的 200 倍之外，几乎在所有方面都表现得像电子一样。由于它们的质量很大，介子的偏转很小，可以在空气中长距离传播。
没有电荷的中微子与物质没有任何电相互作用，并且像电子和μ子一样，它们与物质的非电相互作用极弱。中微子与物质的相互作用是如此微弱，以至于它们中的大多数直接穿过整个地球，从另一边出来，没有任何变化！
当快速移动的带电介子向下穿过空气时，它们有足够的能量偶尔将电子从空气分子中敲出，产生自由电子和正离子（图 20.63）。每个 μ 子都会留下轻微电离空气的痕迹。宇宙射线产生的μ子并不是空气中电离的唯一原因。你周围的材料含有微量的放射性原子核，可以发射高速电子、正电子或 α 粒子（氦原子核，He2+）。这些快速移动的带电粒子也可以使空气电离。
如果电离广泛，空气在任何时候都是良导体，但宇宙射线μ子和自然放射性产生的自由电子和离子的数量太少，无法使空气成为良导体。但是，在下一节中，我们将看到以这种方式产生的少量电离可以作为大规模电离的触发器。
令人惊讶的是，μ子实际上设法到达地球表面，因为静止的正或负μ子在分裂（衰变）成正电子（如果μ+）或电子（如果μ- )、一个中微子和一个反中微子。即使以接近光速的速度运动，一个 μ 子在衰变之前预计也只能行进大约 (3 × 108 m/s)(2 × 10−6s) = 600 m，这距离太短而无法到达从产生μ子的大气层顶部研磨。

然而，正如我们在第 20.6 节中看到的，爱因斯坦的狭义相对论预测，对于快速移动的物体，时间流逝得更慢，因此在 μ 子的参考系中，到达地面所需的时间不到 2 µs，而许多 μ 子 每分钟穿过你的房间。

连锁反应

如果空气中碰巧有一个自由电子（由于 μ 子或自然放射性），它可以通过附近的带电物体（例如前面所示的带电金属球）施加的电场加速（图 20.64）。

如果电子在与空气分子碰撞之前足够快，它可以将另一个电子从该分子中撞出，因此现在有两个自由电子和两个离子（图 20.65）。
这两个自由电子可以再敲出两个电子，所以自由电子的数量迅速增长：2、4、8、16、32、64，以此类推。这是雪崩或“连锁反应”。空气被大量可移动的带电粒子显着电离，现在是一种相当好的导体（图 20.66）。请注意，空气总体上仍然是中性的，就像金属线的内部总体上是中性的一样。

当然，分子电离时产生的正离子也受到外加电场的影响，也在电场的影响下开始运动。然而，由于它们的质量比电子的质量大得多，这些离子的移动速度要慢得多。因此，关注自由电子是有意义的，因为当它们与分子碰撞时，它们的碰撞会使分子电离。

触发连锁反应所需的电场
由于宇宙射线和放射性导致的少数自由电子经常撞上中性空气分子，但这些碰撞不会引发连锁反应，除非电子的移动速度足够快，可以将电子从分子中剥离出来。让我们看看我们是否可以从基本原理和物质结构中预测临界电场 Ecrit 的大小，这是为自由电子提供足够高的动能以触发连锁反应所需的。

\(\color{Goldenrod}相对论场变换\)

挖坑

第21章：空间场模式

\(\color{Goldenrod}电通量的定义\)

很明显，封闭表面上的电场模式与该表面内的电荷量之间存在某种联系，但我们如何才能将其转化为定量关系呢？我们需要定义整个表面上电场的数量和方向的定量测量。这种测量称为“电通量”。我们将列出电通量的定量定义应具有的属性列表。

属性一：电场方向

显然，“电通量”的一个特性是，电场指向盒子外的地方应该是正的，电场指向盒子的地方应该是负的，电场不穿透表面的地方应该是零。这样，图 21.6 中第三个框的总通量将由右侧的 +1 个单位、左侧的 -1 个单位和其他面上的 0 组成，总共为零，这对应于盒子内的零电荷。

属性 2：电场强度

电通量如何取决于电场的大小？
问题 上面的盒子含有电荷 Q. 如果电场矢量在下面的盒子表面上是两倍长，那么下面的盒子里面有多少电荷？
电荷量加倍会使该电荷产生的电场加倍。
显然，下面的盒子包含一个电荷量 2Q，所以电通量的定义应该具有两倍的场给出两倍的通量的性质。

电通量：

\[\Phi_{el}=\sum\limits_{surface} \vec{E}\cdot \hat{n}\Delta A \]

其中\(\Delta A\)是表面积，\(\hat{n}\)是表面积法向量。

我们用\(\oint\)表示封闭曲面积分，则可以写为：

\[\Phi_{el}=\oint \vec{E}\cdot \hat{n}d A \]

高斯定律：

\[\oint \vec{E}\cdot \hat{n}~\text{dA}=\frac{q_{inside}}{\varepsilon_0} \]

为了证明高斯定律，我们需要做什么？
证明比例常数确实是 1/ε0。
表明表面的大小和形状无关紧要。
证明对于表面内任意数量的点电荷都是正确的。
表明表面外的电荷贡献零净通量。
以下部分给出了高斯定律正确性的正式证明，

\(\color{Goldenrod}证明金属的一些重要性质\)

\(\color{Goldenrod}磁场模式：安培定律\)

有一种关系称为安培定律，它是 Biot-Savart 定律的替代版本，就像高斯定律是库仑定律的替代版本一样。安培定律指的是闭合路径而不是闭合曲面。我们将研究安培定律，以了解它提供的关于电流和磁场之间关系的额外见解，以及使用安培定律最容易获得的某些重要结果。此外，安培定律在相对论上是正确的，高斯定律也是如此。更重要的是，在第 23 章中，我们将研究麦克斯韦对安培定律的扩展，它将时变电场和磁场联系起来，从而了解光的本质。

磁场模式

移动电荷会产生磁场，我们知道如何计算或估计由于移动电荷或电流的特定分布而产生的磁场的大小和方向。然而，有时从另一个方向推理是有用的：从观察到的磁场模式，可能可以推断出是什么电流导致了这种模式。

量化磁场模式

很明显，沿闭合路径的磁场模式与通过该路径所包围区域的电流量之间存在某种联系，但如何才能将这种关系转化为定量关系呢？我们需要定义沿整个闭合路径的磁场量和方向的定量测量。让我们考虑一条距导线距离为 r 的很长的载流导线的磁场（图 21.41），我们在第 17 章中使用 Biot-Savart 定律计算了该磁场：

考虑到导线周围磁场的卷曲特性，沿导线周围的往返圆形路径积分 ∫⃗B•d ⃗ l 可能很有用，看看我们得到了什么：

\[\oint \vec{B}\times d\vec{l}=(\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I}{r})\oint dl=(\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I}{r})(2\pi r)=\mu_0I \]

这就是安培定律：磁场的路径积分等于 µ 0 乘以通过路径所包围区域的电流。 （这类似于高斯定律，其中电场的表面积分等于闭合表面内电荷的 1/ε 0 倍。）为了获得电流和磁场之间这种定量关系的一般证明，我们需要证明我们可以遵循围绕电流的任何路径，并且路径外的电流对路径积分的贡献为零。

由于我们有：

\[B\approx \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I}{x}~\text{if} ~L\gg x \]

\(B\)同\(1/x\)成正比，故任意路径的积分均为\(\mu_0I\)。同理易得路径外电流对其影响为零。

故我们得到，安培定律：

\[\oint \vec{B}\times d\vec{l}=\mu_0\sum I_{\text{inside~path}} \]

尽管形式非常不同，但安培定律本质上等同于它所源自的 Biot-Savart 定律。 但是，在某些情况下，使用安培定律比使用 Biot-Savart 定律要容易得多。 此外，安培定律在相对论上是正确的，而 Biot-Savart 定律则不正确，因为它不包括延迟。 这就像高斯定律和库仑定律之间的关系。

第22章：法拉第电磁感应

如果电流恒定，则\(B\)是恒定的，在螺线管外某处运动的电荷不会受到电力或磁力，
因为螺线管外的电场和磁场基本上为零。
然而，如果我们改变电流，就会发生一些不寻常的事情，从而使螺线管内的磁场 \(B\)随时间而变化（图 22.2）。螺线管外部仍然几乎没有磁场，但我们观察到螺线管内部和外部都有一个卷曲的电场。这种不寻常的电场围绕螺线管的轴卷曲（图 22.3）。电场与磁场变化率\(dB/dt\) 成正比。我们称这个电场为非库伦电场。

在螺线管内部，电场与\(r\)成正比，\(r\) 是距轴的距离（靠近轴的距离较小）。螺线管外部的卷曲电场与 $1/r $成正比；离螺线管越远，电场越小。

问题：我们都说这是磁产生的电场，那为什么这不能由固定电荷的排列产生呢？

电荷排列产生的电场往返积分为零。

图 22.4 显示了在四种不同情况下通过实验观察到的情况

非库伦电场可以驱动电流

电动势：

\[E=\int\vec{E}\text{d}\vec{l}=E(2\pi r) \]

由于\(E\)与\(\frac{1}{r}\)成正比，故螺旋管外圆环对于任何半径均相等，事实上，任何电路周围都得到相同的电动势。

法拉第定律

到目前为止，我们有一个确定卷曲电场方向的右手定则，但我们没有办法计算非库仑电场的大小。 法拉第定律说明了磁场变化率与非库仑电场大小之间的定量关系。 为了建立这种定量关系，原则上我们可以通过观察卷曲电场对单个带电粒子的影响来改变磁场并测量电动势，但很难跟踪单个带电粒子的路径。 或者，我们可以沿着我们期望非库仑电场的路径构建一个电路，并测量电路中的电流作为 dB/dt 的函数。

通过实验，得到：

\[|E|=|\frac{d}{dt}(B\pi r^2)| \]

其中\(B\pi r^2\)被称为电路所环绕区域上的磁通量\(\Phi\)

特殊的，对于两个线圈，线圈1对线圈2造成关于\(\dfrac{dB}{dt}\)的电流，那么当\(\dfrac{dB^2}{d^2t}\neq 0\)时，线圈2也会产生非库伦电场。

一个半径R和长度为d≫R的非常长的塑料圆柱体缠绕着N个紧密排列的线圈：

\[B=\mu_0NI/d \]

\(\color{Goldenrod}电感\)

半径\(R\)，长度\(d\gg R\)

自感电动势：

\[\text{emf}=|\frac{d\Phi}{dt}|=\frac{d}{dt}[\frac{\mu_0NI}{d}\pi R^2]=\frac{\mu_0N^2}{d}\pi R^2\frac{dI}{dt} \]

该串联电路遵循：

\[\begin{aligned} \Delta V_{\text{battery}}+\Delta V_{\text{resistor}}+\Delta V_{\text{inductor}}\\ \text{emf}_{\text{battery}}-RI-L\frac{dI}{dt}=0 \end{aligned}\]

我们有\(I=f(t)\)的微分方程：

\[\text{emf}_{\text{battery}}-Rf(t)-L\frac{df(t)}{dt}=0 \]

解得：

\[I=\frac{\text{emf}_{\text{battery}}}{R}[1-e^{-(R/L)t}] \]

断电自感：

\[L\frac{dI}{dt}=RI \]

\(I=f(t)\)，有\(f(0)=\dfrac{\text{emf}_{\text{battery}}}{R}\)

解得：

\[I=\frac{\text{emf}_{\text{battery}}}{R}e^{-(R/L)t} \]

第23章：电磁辐射

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