牛顿迭代法求平方根

一、什么是牛顿迭代法？

　　牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

　　多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法使用函数  的泰勒级数的前面几项来寻找方程  的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程  的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。（摘自百度百科）

二、牛顿迭代公式

　　设  是  的根，选取  作为  的初始近似值，过点  做曲线  的切线  ， ，则  与  轴交点的横坐标  ，称  为  的一近似值。过点 做曲线  的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标  ，称  为r的二次近似值。重复以上过程，得  的近似值序列，其中，  称为  的  次近似值，上式称为牛顿迭代公式。（摘自百度百科）

　　以下是图解步骤：

　　1. 以y = (x - 2) * (x - 2) 函数为例，先任意选取一点A，在曲线上做A点的切线，交X轴与B点，在B做X轴的垂线，交曲线于C点。　　

　　2. 在曲线上做C点的切线，交X轴与D点，在D点做X轴的垂线，交曲线于E点。我们可以看到D点比B点更加接近方程(x - 2) * (x - 2) = 0的根（x = 2）

　　

　　3. 在曲线上做E点的切线，交X轴与F点，在F点做X轴的垂线，交曲线于G点。可以看到G点比D点更加接近方程的根

　　4. 按照这个方式不断迭代会离方程的根越来越近，以此得到近似根。

三、牛顿迭代法求平方根代码实现

　　要求是这样：输入一个数，输出其对应的平方根。

　　假设输入的数是 m，则其实是求一个 x 值，使其满足 x² = m，令 f(x) = x² - m ，其实就是求方程 f(x) = 0 的根。那么 f(x) 的导函数是 f'(x) = 2x。

　　那么 f(x) 函数的曲线在 (x_n，x_n² - m) 处的切线的斜率是：2x_n，因此切线方程是：y = 2x_n (x - x_n) + x_n² - m。故切线与x轴的交点是：x_n+1 = (x_n + m / x_n ) / 2

　　根据牛顿迭代法，首先应该在曲线 f(x) 上任意选取一点，做切线。那么，我们直接把输入的数 m，作为选取的点的横坐标，即 x₀ = m，然后根据上式进行迭代。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

// err 是允许的误差
const double err = 1e-8;

double NtSqrt(const double num)
{
    if (num < 0)
    {
        return -1;
    }
    else
    {
        double root = num;
        // 如果原值减去近似根的平方大于误差，继续循环
        while (abs(num - root * root) >= err)
        {
            // 得到下一个近似根
            root = (num / root + root) / 2.0;
        }
        return root;
    }
}

int main()
{
    double num;
    cout << "请输入一个数: ";
    cin >> num;
    double ans = NtSqrt(num);
    if (ans == -1)
    {
        cout << "负数没有平方根" << endl;
    }
    else 
    {
        cout << num << " 的平方根是 " << ans << endl;
    }
    return 0;
}